1、人教版數學必修二第三章直線與方程重難點解析第三章課文目錄3.1直線的傾斜角與斜率2直線的方程3.3直線的交點坐標與距離公式重難點：1、傾斜角、斜率、過兩點的直線的斜率公式。2、直線方程的兩點式、截距式的推導及運用。3、兩點間的距離公式和它的簡單應用。4、點到直線距離公式，會求兩條平行直線間的距離。一、直線的傾斜角與斜率直線的傾斜角一條與x軸相交的直線，如果把x軸繞著交點按逆時針方向旋轉到和直線重合時所轉的最小正角記為a,那么a叫做直線的傾斜角。一條直線與x軸平行或重合時，規定它的傾斜角a為0。直線傾斜角的取值范圍是：0Wa180。直線的斜率：傾斜角不是90。的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線

2、的斜率，記為k,即k=tana。說明:(1)a=0=k=0(2)0a90=k0(3)90a180=k0(4)a=90k不存在。注意:斜率k可以是任意實數，每條直線都存在唯一確定的傾斜角，但不是每條直線都有斜率。過兩點的直線的斜率公式：直線經過兩點P(x,y),P(x,y),(xMx)。它的斜率丁叫。11122212對于上面的斜率公式要注意下面五點：當x1=x2時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角a=90,直線與x軸垂直；k與P1、P2的順序無關，即y1,y2和x1,x2在公式中的前后次序可以同時交換，但分子與分母不能交換；斜率k可以不通過傾斜角而直接由直線上兩點的坐標求得；當y1=y2

3、時，斜率k=0,直線的傾斜角a=0。，直線與x軸平行或重合.求直線的傾斜角可以由直線上兩點的坐標先求斜率而得到.典型例題：例題1：已知A(3,2),B(-4,1),C(0,-1),求直線AB,BC,CA的斜率，并判斷它們的傾斜角是鈍角還是銳角(用計算機作直線，圖略)分析：已知兩點坐標，而且x1工x2,由斜率公式代入即可求得k的值；解析：而當k=tana0時，傾斜角a是鈍角；而當k=tana0時，傾斜角a是銳角；而當k=tana=0時，傾斜角a是0.直線AB的斜率k1=1/70,所以它的傾斜角a是銳角；直線BC的斜率k2=-0.50,所以它的傾斜角a是鈍角；直線CA的斜率k3=10,所以它的傾斜

4、角a是銳角.求l,12的斜率。例題2：已知直線丄12，且I】的傾斜角為懇,匸1=壬且丄TOC o 1-5 h z解析：1勺斜率角&,上=tan更=”k2則-12的斜率分別為63點評：已知直線的傾斜角，可以由定義式直接得出直線的斜率。例題3：求出過兩點A(-2,0),B(-5,3)的直線的傾斜角和斜率。I”互解析：(刃，即tana=-1,而aWO,n),4點評：已知直線的斜率，可以直接得出傾斜角，但要注意角的范圍。例題4:已知點P(a,b)(a,b不同時為0),0為坐標原點，求直線0P的斜率和傾斜角。解析：當b=0時，由aM0,則OP的傾斜角a=0，斜率k=0。,hbA;=0a=arctan當a

5、,b同號時，門，門bhyt=Una=x十arctan當a,b異號時，。7Ca=當a=0時，由bM0,貝92,k不存在。負與零，傾斜角的表達方式不同,點評：斜率是否存在，與P點位置有關；斜率的正、這是因為傾角的范圍造成的。sin3七）cos八3七）55例題5：如圖，直線1的傾斜角a=30。，直線1丄1，解析：/的斜率件=tan30=3-,1112的傾斜角以=90+30=120TOC o 1-5 h z2的斜率k=tana=tan120=r3 HYPERLINK l bookmark4 o Current Document 22例題6：已知Q和k分別是1的傾斜角和斜率，當（1）cosa=-3時，分

6、別求直線1的斜率k.33解析：當sina=時，0a180，:k=tana=5434當cosa=時，0a180，.0a90，.k=tana=34當cosa=-時，.0a180，:90a0，直線斜率X十17CKk=1,GEan若入0，直線斜率二空綜上所述，l的傾角的范圍是p-l=0原方程變形為以入為主變量的方程：(x-1)入2+2入y+(x-l)=O，令，可知此方程與入無關的解為x=1,y=0。故直線l恒過定點(1,0)。二、直線的方程直線方程的四種形式：點斜式：已知：直線l經過定點Po(xo，yo),且斜率為k,則直線l的方程為:y-yo=k(x-xo),稱為直線的點斜式方程。特別地，當l的傾斜

7、角為o時，k=tano=o,此時，l的方程為y=yo。如果直線l的斜率為k,與y軸的交點為(o,b)，代入點斜式得l的方程為：y=kx+b(其中，b叫直線l的縱截距)，這便是直線的斜截式。注意:斜截式是點斜式的特例，兩者均不能表示與x軸垂直的直線方程。換句話說,斜率存在的直線才可以用點斜式或斜截式表示，斜率不存在的直線的方程可寫成x=xo的形式(直線經過Po(xyo)。此外，斜截式中的b不是指距離，而是直線與y軸交點的縱坐標。b可正可負，也可為o。兩點式：已知：直線l過兩點P(x,y),P(x,y),(xMx),則利用斜率公式和點斜式可得11122212l的方程為：P一尹1=疋瑪兒乃忑】(其中

8、xMx,yMy)。12丿1丿2這便是直線方程的兩點式。兩點式不能表示與坐標軸垂直的直線，但把兩點式化為整式形式：(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)，就可以利用它求出平面內過任意兩個已知點的直線方程：若X=x2，y1My2時，則有x-x1=0,即：x二xj若y=y2,XMx2時，則有yyo,即:y=y1O截距式：如果直線l在x軸,y軸上的截距分別為a和b(aMo,bMo),則l的方程為：心。這便是直線方程的截距式，顯然，截距式是兩點式的特例，它不能表示與坐標軸垂直及過原點的直線。一般式：方程Ax+By+C=o(A、B不全為零)叫做直線方程的一般式。任何一條直線的方程都可以化成

9、一般式。直線的方程都是二兀一次方程；任何一個關于x,y的二兀一次方程都表示一條直線。這就是直線與二元一次方程的關系。ic=-b=-當BMo時：直線Ax+By+C=o的斜率序，在y軸上的截距衣。當B=0時：直線Ax+By+C=0的斜率不存在，在X軸上的截距綜上所述，兩個獨立條件確定一條直線，所以求一條直線的方程，必須給出兩個獨立的條件。一般說來，確定一條直線主要有兩種方法。第一個方法，由直線上的一點和直線的方向確定。而直線的方向由斜率確定，這便是直線方程的點斜式的由來(斜截式是點斜式的特例)。第二個方法，由兩點確定一條直線，這便是兩點式的由來，當然兩點式也可以由點斜式而來，截距式可看作是兩點式的

10、特例。四種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式)進行比較:直線名稱已知條件直線方程使用范圍示意圖點斜式P(X,y),k111y-y=k(x-x)k存在斜截式k，by=kx+bk存在兩點式(x,y)11(x,y)22y-yx-x11x豐x,y豐y1212yyxx2121截距式a,b蘭+2=1aba豐0,b豐0典型例題:例題1：求滿足下列條件的直線方程：經過點p(-2,3)，傾斜角是直線$民十1的傾斜角的一半。經過點P(-2,3)，且在兩坐標軸上截距相等。經過兩點A(-2,3),B(4,-1)。經過點P(-2,3)，且與兩坐標軸圍成三角形的面積為4。解析：(1)由題設直線方程為y-3=k(x+2)

11、。因為直線廠辰+1中知二血-啟，.：此直線傾斜角a=120,由題所求直線的傾斜角0=60，則：泌0”=朽，所以方程為+即:廠屆+亦+3就是所求方程。(2)當直線過原點時：設直線為y=kx，由于過P(-2,3)，則3=-2k，則？，則3V=K為直線方程。當直線不過原點時：設直線為，由于過P(-2,3)，貝9，：a=l,所以，方程為x+y=l,即：x+y-l=O就是所求方程。P3=忑斗由兩點式得，即：2x+3y-5=0。由題可設方程為y-3=k(x+2)，分別令x=0得縱截距b=2k+3；y=0得橫截距TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark75 o Current D

12、ocument 13 HYPERLINK l bookmark35 o Current Document -|(2+3X-2)|=4心又由題得：，解之得即：x+2y-4=0或9x+2y+12=0。y3=-(j:十2j/-3故所求方程為：和要根據不同的條件，選擇適當的方程形式。點斜式和斜截式中，都有斜率k,常把k作為定。距相等，要注意區分截距是否為零，即是否過(4)直線方程的最后結果要求寫成斜截式或者一般式的形式。例題6:已知點P(x,y),A(X,yi),B(x2,yj,(xx?)則點P在直線AB上的充要條件是()。1十入加十入出A、B、1+X提示：本題復習充分條件和必要條件；直線的方程和方程

13、的直線；定比分點坐標公式并滲透參數方程等內容，但作為選擇題，只要熟悉概念，不難判斷：A：P不能取A點，B：不能取A點和B點，D：不能取A點和B點，故只能選C。事實上，對于C：當t=0時，表示B點，當t=l時，表示A點。當t工0,1時,由定比分點公式知，它可以表示直線AB上所有異于A、B的點（反之亦然）。例題7：過點P（2,l）作直線l交x,y正半軸于AB兩點，當IPAI-1PBI取到最小值時,求直線l的方程.解析：設直線l的方程為：y-1=k（x-2）,（k豐0）令y=0解得x=2-；令x=0，解得y=1-2kk.*.A(2，0)，B(0，12k)，kIPAI-1PBI=(1+丄)(4+k2)

14、k2=8+4(k2+丄);8+4x2二4k2當且僅當k2=1即k=1時，IPAI-1PBI取到最小值.又根據題意k0,k=-1所以直線1的方程為：x+y一3=0點評：此題在求解過程中運用了基本不等式，同時應注意結合直線與坐標軸正半軸相交而排除k=1的情形例題8：一直線被兩直線l:4x+y+6=0，l:3x-5y-6=0截得的線段的中點恰12好是坐標原點，求該直線方程.解析：殳所求直線與ll的交點分別是A、B,設人（x,y），則B點坐標為（-x，-y）120000因為A、B分別在11，12上，所以4x+y+6=000-3x+5y-6=000+得：x+6y=0，即點A在直線x+6y=0上，又直線x

15、+6y=0過原點,00所以直線l的方程為x+6y=0例題9:直線Ax+By-1=0在y軸上的截距是一1,而且它的傾斜角是直線j3x-y=的傾斜角的2倍，貝y（）A.A=f3，B=1B.A=i：3，B=1C.A=*3，B=1D.A=：3，B=1A1解析：將直線方程化成斜截式y=x+.BB1因為=1，B=1，故否定A、D.B又直線x-y=3、運的傾斜角a=才，2兀直線Ax+By-1=0的傾斜角為2a=丁，A2兀乃斜率=tan=-3，B3A=、.:3，B=1,故選B例題10：若直線Ax+By+C=0通過第二、三、四象限，則系數A、B、C需滿足條件（）A.A、B、C同號B.ACVO,BCVOC.C=0

16、，ABVOD.A=0，BCVOAC解法一:原方程可化為y=-x-(BM0)BB直線通過第二、三、四象限，AC其斜率小于0,y軸上的截距小于0,即0，且0,B即A、B同號，B、C同號.用、B、C同號，故選A解法二：（用排除法）ACA若C=0,AB0.B此時直線經過原點，位于第一、三象限，故排除C.CC若A=0,BCV0,則原方程化為y=.由BCV0,得一0.BB此時直線與x軸平行，位于x軸上方，經過一、二象限故排除D.若ACV0,BCV0,知A、C異號，B、C異號.A、B同號，即AB0.此時直線經過第一、二、四象限，故排除B.故A、B、C同號，應選A例題11：直線y=ax+b(a+b=0)的圖象

17、是()解法一：由已知，直線y=ax+b的斜率為a，在y軸上的截距為b又因為a+b=0.a與b互為相反數，即直線的斜率及其在y軸上的截距互為相反數圖A中，a0,b0；圖B中，a0,b0,b=0故排除A、B、C.選D.解法二：由于所給直線方程是斜截式，所以其斜率a工0,于是令y=0,解得x=-a又因為a+b=0,.a二一b，.:x=-=1a直線在x軸上的截距為1,由此可排除A、B、C,故選D三、直線的交點坐標與距離公式1、兩點間的距離公式+(打-yi2、點到直線距離公式：Ax+By+C點P(x0,y0)到直線1:Ax+By+C=0的距離為：d=.；A2+B23、直線的交點如果兩條直線Ax+Biy+

18、C=0和A2x+B2y+C2=0相交，由于交點同時在兩條直線A2x+B2y+C2=0的解，反之，如果上面方程組只有一個解，那么這個解為坐標的點就是直線Aix+Biy+Ci=O和A2x+B2y+C2=0的交點。說明若無解，則兩直線平行；若有無數解，則兩直線重合。在x軸上求一點，使|pa|=|pb|，并典型例題：例題1:例1：以知點A(-1，2)，B(2,J7求|pa|的值。解：設所求點P(X，0)，于是有+1)2+(0-2)22匕+C、訂)pa=pb得X2+2X+5=X2-4X+11解得x=1。求點P0(-1,2)到下列直線的距離.2x+y10=0；(2)3x=22x(1)+210|解析：根據點

19、到直線的距離公式得D=2鶯522+1225因為直線3x=2平彳丁于y軸，所以D=|3(1)|=3評述：此例題(1)直接應用了點到直線的距離公式，要求學生熟練掌握；(2)體現了求點到直線距離的靈活性，并沒局限于公式.所以，所求點P(1，0)且|PA|=：(1+1)2+(02)2=2邁通過例題，使學生對兩點間距離公式理解。應用。打12+0解法二：由已知得，線段AB的中點為M-，一-一，直線AB的斜率為12丿k=2+化亠厶AT(1+(02心邁322I2丿3線段AB的垂直平分線的方程是y-1)X2丿在上述式子中，令y=0,解得x=l。所以所求點P的坐標為(1,0)。因此|PA|=J(l+21+(02)

20、2=2湮:2x+3y一10=0的距離.2例題2:求兩平行線I】：2x+3y-8=0,解法一：在直線l上取一點P(4,0),因為/,112TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark145 o Current Document x4一3x0+1022.所以點P到1的距離等于1與1的距離.于是d=13212v22+321313解法二：l112又C1=-8,C2=-10由兩平行線間的距離公式得d=匕凹=羊 HYPERLINK l bookmark151 o Current Document 4解析：(1)d=pa-4x6-2詩+(-4)2=4解得a=2或a46T3a+4x62

21、46d=4,解得aV2或aJ32+(4)23例題7：求下列兩直線交點坐標L1：3x+4y-2=0L1：2x+y+2=0解析：解方程組:+4y2-02x+2y+2二0得x=-2,y=2證交點不可能在第一象限及x軸上.分析：先通過聯立方程組將交點坐標解出,再判斷交點橫縱坐標的范圍.TOC o 1-5 h za2+1a+1解析：解方程組若0,則a1.當a1時，一V0,此時交點在第二象 HYPERLINK l bookmark200 o Current Document a-1a-1限內.a2+1又因為a為任意實數時，都有a2+110,故工0a-1因為a工1(否則兩直線平行，無交點)，所以，交點不可能

22、在x軸上，得交點(一a+1a2+11，1)a-1a-1例題9:求下列兩條直線的交點：L1:3x+4y-2=0,L2:2x+y+2=0.解析：解方程組2+y+2=0.L1與L2的交點是M(-2,2).例題10:已知兩條直線：11:x+my+6=0,12:(m-2)x+3y+2m=0.當m為何值時，11與12:(1)相交，(2)平行，(3)重合.解析：將兩直線的方程組成方程組畫十my+6=0,-2)+2m=0.A_1總_intn-2?3令學二4可得丄晉A.：lh-.-,m-2二解得m=-1或m=3.AR當m-1且n#堿盞工詮方程組有唯一解，1屜相交.當m=-1時，方程組為rx-y+6=0(-強亠S

23、y-2=0.魚=蟲魚.方程無解，11與12平行.當m=3時，方程組為惡+刖+&=0,s+3y+6=0.兩方程為同一個方程，11與12重合.直線方程單元檢測題滿分150分，考試時間120分鐘一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.并把答案寫在答題卡1、過點(一1,3)且垂直于直線x2y+3=0的直線方程為A.2x+y1=0B.2x+y5=0C.x+2y5=0D.x2y+7=01“m=”是“直線(m+2)x+3my+1=0與直線(m2)x+(m+2)y3=0垂直”的()2A.充分必要條件B.充分而不必要條件C.必要而不充分條件D.既不

24、充分也不必要條件3三直線ax+2y+8=0,4x+3y=10,2xy=10相交于一點，則a的值是A.2B.1C.0D.14、直線xcos9+y+m=0的傾斜角范圍是冗3冗4,45、如直線l、iB.U3-)0-一,-L4L4丿C.C-3-0-D.uL4J)l的斜率是二次方程x24x+1=0的兩根,2那么l和l的夾角是（12B.-D.-6.已知直線3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行，則它們之間的距離是（）A.45J3C.26D.A;13267、過點A(l,2)且與原點距離最大的直線方程是()A.x+2y-5=0B.2x-y-4=0Cx+3y-7=0D.3x+y-5=0&已知直線1的方程

25、是ax-y+b=0,l2的方程是bx-y-a=0（abZ0,aMb）,則下列各示意圖形中，正確的是（）29.直線y=3x繞原點逆時針旋轉900，再向右平移1個單位，所得到的直線為（）TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark236 o Current Document 11a.y=B.y=一一x+1c.y=3x-3D.y=x+1x+y-5=0上移動,310.若動點AW，兒）、Bq，打分別在直線l1:x+y一7=0和12則AB中點M到原點距離的最小值為A.3邁B.2訂11.點A（1，3），B（5，2），點P在x軸上使IAPIBPI最大，則P的坐標為（）A.(4,0)B.

26、(13,0)C.(5,0)D.(1,0)設a,b,c分別是AABC中，ZA,ZB,ZC所對邊的邊長，則直線sinAx+ay+c=0與bx-sinBy+sinC=0的位置關系是（）A.平行B.重合C.垂直D.相交但不垂直填空題：本大題4小題，每小題4分，共16分.把正確答案填在答題卡的橫線上.）13、直線l：x+my+6=0與l2：(m2)x+3y+2m=0，若12則m=過點（1,2）且在兩坐標軸上的截距相等的直線的方禾TOC o 1-5 h z直線y=2x關于直線x=1對稱的直線方程是;已知點P（2,-3）,Q（3,2），直線ax+y+2=0與線段pq相交，則實數a的取值范圍 HYPERLIN

27、K l bookmark238 o Current Document 是；答題卷一、選擇題（60分）題號123456789101112答案二、選擇題：（16分）TOC o 1-5 h z;14.;15.;16.解答題（74分）17、（12分）根據下列條件，求直線方程（1）經過點A（3,0）且與直線2x+y5=0垂直（2）經過點B（2,1）且與直線5x+2y+3=0的夾角等于4518（12分）ABC中，A（3,1）,AB邊上的中線CM所在直線方程為：6x+10y59=0,ZB的平分線方程BT為：x4y+10=0，求直線BC的方程.19、（12分）過點（2，3）的直線L被兩平行直線Li：2x5y+9=0與L2:2x5y7=0所截線段AB的中點恰在直線x4yl=0上，求直線L的方程20（12分）過點P（4,1）作直線l分別交x軸的正半軸和y軸的正半軸于點A、B,當AAOB（O為原點）的面積S最小時，求直線l的方程，并求出S的最小值21.（12分）