1、熱學 電子教案(分子運動論部分參照了陳信義編的Word版內容） 大學物理1第二章 氣體分子運動論 (Kinetic theory of gases) 2.1 理想氣體的壓強與溫度 2.2 能量均分定理 2.3 麥克斯韋速率分布律 2.4 麥克斯韋速率分布律的實驗驗證 2.5 玻耳茲曼分布律 2.6 實際氣體等溫線 2.7 范德瓦爾斯方程 2.8 氣體分子的平均自由程 2.9 輸運過程2 2.1 理想氣體的壓強與溫度本節是典型的微觀研究方法。 一般氣體分子熱運動的概念： 分子的密度 31019 個分子/cm3 = 3千億個億； 分子之間有一定的間隙，有一定的作用力； 分子熱運動的平均速度約 v

2、= 500m/s ； 分子的平均碰撞次數約 z = 1010 次/秒 。TV:布朗運動.一. 微觀模型二理想氣體壓強公式的推導三理想氣體的溫度和分子平均平動動能3一. 微觀模型 1. 對單個分子的力學性質的假設分子當作質點，不占體積； （因為分子的線度0)vx2= ni vxi2inP=dIdt dA = nm vx2 = 13nm v223 n( m v2 )=12= 23n t思考：推導過程中是否應考慮小柱體內，會有速度為ivr的分子被碰撞出來而未打到dA面上?這里的壓強只是統計概念8三理想氣體的溫度和分子平均平動動能P = n kT t =32kT平均平動動能只與溫度有關理想氣體溫標或熱

3、力學溫標溫度是統計概念，只能用于大量分子，溫度標志物體內部分子無規運動的劇烈程度。方均根速率 v2= m3kT3RT=例.在0oC時，H2分子smv/18361002.2273 31.8332=-O2分子smv/4611032273 31.8332=-9 2.2 能量均分定理研究氣體的能量時，氣體分子不能再看成質點，微觀模型要修改，因為分子有平動動能，還有轉動動能，振動動能。自由度：確定一個物體的空間位置 所需要的獨立坐標數目。N個 原子組成的分子 總自由度= 3N，其中分子整體平動自由度 =3 ，整體轉動自由度= 3若 N 個原子都在一條直線，整體轉動自由度=2 N 個原子振動自由度 = 3

4、N - 6，直線型分子振動自由度= 3N - 5能量均分定理：由經典統計力學描述的氣體在絕對溫度 T 時 處于平衡，其能量的每個獨立平方項的平均 值等于 kT/2。10由理想氣體模型單原子分子： 121212E = mvx2 + mvy2 + mvz2 12平均熱能 = 3 kT 每個平動自由度分配平均能12 kT 剛性雙原子分子除平動能，還有轉動能：1212E轉動 = IX x2 + IY y2 z每個轉動自由度分配平均能12 kT 非剛性雙原子分子除平動能、轉動能，還有振動能：1212E振動 = r 2 + kr 2 每個振動自由度分配平均能 2 倍12 kT 振動自由度 = 111設平動

5、自由度 t ，轉動自由度 r，振動自由度 v，平均總動能：K=（t + r +2 v） 12 kT 剛性雙原子分子K=52 kT 單原子分子 K=32 kT 非剛性雙原子分子K=72 kT 理想氣體內能E = N K=（t + r +2 v） N2 kT = （t + r +2 v） 2 RT 理想氣體內能只是溫度的函數，與熱力學溫度成正比。12 2.3 麥克斯韋速率分布律單個分子速率不可預知，大量分子的速率分布是遵循統計規律，是確定的，這個規律也叫麥克斯韋速率分布律。速率分布函數：按統計假設分子速率通過碰撞不斷改變，不好說正處于哪個速率的分子數多少，但用某一速率區間內分子數占總分子數的比例為

6、多少的概念比較合適，這就是分子按速率的分布。設總分子數N，速率區間 v v+dv，該速率區間內分子數 dNv則dNvN= f(v)dv速率分布函數速率 v 附近單位速率區間內分子數占總分子數的百分比。顯然 f(v)dv=1 0歸一化條件13麥克斯韋速率分布函數f(v)= 4 m2 kT3/2v2e -m v /2kT2f(v)f(vp)vvpvv+dv面積= dNVN最概然速率 vpf (v) = 0vp =2kTm=2RT14f(v)f(vp3)vvpf(vp1)f(vp2)T1T3T2溫度越高，速率大的分子數越多15不要問速率剛好等于某一值的分子數多少，沒有意義。平均速率 viNiN =

7、vdNv/N = v f(v)dv0v =v =8kT m=8RT 方均根速率 v2iNiN = v2dNv/N = v2 f(v)dv0v2 =v2 = 3kT/mv2 =3kTm=3RT16麥克斯韋速度分布函數速度 v （vx ，vy ，vz）設總分子數N，速度分量區間 vx vx+dvx ，該速度分量區間內分子數 dNvxdNvxN= g(vx)dvx速度分量分布函數g(vx)=m2 kT1/2e -m v /2kT2x同理對 y、z 分量 g(vx)dvx=1 +- 17既，區間 v v + dv ，分子數dNv速度在區間 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+d

8、vzdNvN= g( v ) dv =g(vx) g(vy) g(vz) dvx dvydvzg( v )=m2 kT3/2 e - m v /2kT2平均速度 vixNiN = vxdNvx/N = vx g(vx)dvx = 0+-vx =同理對 y、z 分量，故平均速度為零。18 2.4 麥克斯韋速率分布律的實驗驗證OD蒸汽源檢測器R抽氣抽氣Lv=rRLlv =L給定 v =v = r lv小孔充分小，改變，測D上的沉積厚度，就可測氣體速率分布19從小孔出射的氣體分子數目單位時間內打到單位面積上的分子數目（分子數密度n） 61nv速率在 v v+dv 的分子數目瀉流的速率分布率v dtd

9、Ax或 vdtv(v)dv 61 f(v)dv nv (v) v3 e - m v /2kT 2嚴格推導速度在 v v+dv ，斜柱體內的分子數目 g(v)dv n dA dt vx 20只有vx0的才打到墻壁 (v)dv = n g(vx) vx dvx=n =0+kT2 m=41nv壓強P= 2mvx(v)dv = n 2mg(vx) vx2 dvx 0+= n mg(vx) vx2 dvx=nm vx2 = -+31nm v2(v)dv = n g(v) vx dv 以上推導用到 g(vy)dvy= +- g(vz)dvz=1 +- 21 2.5 玻耳茲曼分布律假如氣體分子有勢能 Ep

10、= Ep( x，y，z )， E = Ep+ Ek玻耳茲曼推廣：氣體分子速度在區間 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+dvz ， 位置在區間 x x+dx，y y+dy，z z+dz 分子數目為在麥克斯韋速度分布率中，有一因子e - m v /2kT 2e -E /kT k 即dNe -E /kT dvx dvy dvz dx dy dz為準確描述玻耳茲曼統計，引入一概念 - 微觀狀態22微觀狀態：一氣體分子處于速度區間 vx vx+dvx ， vy vy+dvy ， vz vz+dvz ，位置區間 x x+dx，y y+dy，z z+dz， 稱該分子處于一種微觀狀態

11、， dvx dvy dvz dxdydz 所限 定的區域稱為狀態區間。玻耳茲曼統計：溫度T 的平衡狀態下，任何系統的微觀粒子按 狀態的分布，即在某一狀態區間的粒子數與該 狀態區間的一個粒子的能量 E有關，而且與 e -E /kT 成正比。玻耳茲曼因子其它情形，如原子處于不同能級的原子數目E0E3E2E1 ni e -E /kTi23Ek =21m（vx2+ vy2+ vz2）代入上式，歸一化分子數 dN 處于位置區間 x x+dx，y y+dy，z z+dzdNe -E /kT dx dy dzpdNdx dy dz=C e -E /kT p令 Ep =0 處 氣體密度 n0 n = n0 e

12、 -E /kT= n0 e - mgh /kT= n0 e - gh /RTp氣體密度隨高度變化重力場中的氣體分子按位置分布dNe -（E +E ） /kT dvx dvy dvz dx dy dzkp24恒溫氣壓公式（高度計）設溫度不隨高度變化 P = P0 e - gh /RT根據壓強變化測高度，實際溫度也隨高度變化，測大氣溫度有一定的范圍，是近似測量。25 2.6 實際氣體等溫線在非常溫或非常壓的情況下，氣體就不能看成理想氣體了。v（10-3 l /mol）CO2等溫線液汽液共存汽氣P（atm）95.50455072.3KABC48.1 OC31.1 OC21 OC13OCVP理想氣體2

13、6飽和蒸汽壓（汽液共存時的壓強）與體積無關臨界點以下汽體可等溫壓縮液化，以上氣體不能等溫壓縮液化 實際氣體的等溫線可以分成四個區域:汽態區(能液化)，汽液共存區，液態區，氣態區(不能液化)。例. 設P0=1 atm.恒壓下加熱水，起始狀態為a點。ab: P = P0 不變，t 增加，直到到達 t =1000C的等溫線上的b點。 這時液體中有小汽泡出現（汽化）。27再繼續加熱，液體中有大量汽泡產生-沸騰。但溫度仍是t=1000C，它就是1大氣壓下水的沸點。bc: 繼續加熱，水與水汽共存，溫度保持不變，水吸收汽化熱，直到全部變為水蒸氣。cd: 繼續加熱，水蒸氣的溫度升高。如果在壓強 P P0 的條

14、件下加熱水，因為飽和蒸汽壓比較小，水的沸點也比較小，水在不到1000C的條件下保持沸騰狀態（比如900C），溫度上不去，飯就煮不熟。用高壓鍋制造一個局部高壓，沸點就提高了。28 2.7 范德瓦爾斯方程實際氣體要考慮分子大小和分子之間的相互作用兩個分子之間的相互作用勢r0 稱作分子半徑 10 -10 m平衡位置s 有效作用距離 10-9m分子“互不穿透性”rV(r)2r0s29分子為剛性球，氣體分子本身占有體積 ，容器容積應有修正一摩爾氣體P =v-bRT理論上 b 約為分子本身體積的 4 倍估算 b 值 10 -6 m3通常 b 可忽略，但壓強增大，容積與 b 可比擬時，b 的修正就必須了。

15、實際 b 值要隨壓強變化而變化。30分子間引力引起的修正ss器壁附近分子受一指向內的引力，降低氣體對器壁的壓力，稱為內壓強。器壁分子對氣體分子的引力，增大氣體分子的沖量，加大對器壁的壓強，但同時，氣體分子對器壁分子的引力減少對器壁的壓強，這兩個量剛好互相抵消。P =v-bRT- Pi31內壓強與器壁附近吸引氣體分子的氣體密度成正比，同時與在器壁附近被吸引氣體分子的氣體密度成正比。Pi n2av2Pi =P =v-bRTav2-(P + av2)( v - b ) = RT質量為 M 的氣體(P + aV2)( V - b ) = RT2M2MM上兩式就是范德瓦耳斯方程對氮氣，常溫和壓強低于 5

16、107 Pa范圍a = 0.84 105 Pa l2/mol b = 0.0305 l/mol1v232v范德瓦耳斯等溫線液汽液共存汽氣PKABCFEEFCF 過熱液體遇汽化核心 - 汽化氣泡室BC 虛線實際氣體等面積原理 EF 實際不可實現BE 過飽和蒸汽遇凝結核心 - 液化云室人工降雨33 2.8 氣體分子的平均自由程氣體分子自由程線度 10-8m一個分子連續兩次碰撞之間經歷的平均 自由路程叫平均自由程 一個分子單位時間里受到平均碰撞次數叫平均碰撞頻率 Z單位時間內分子經歷的平均距離 v ，平均碰撞 Z 次 =Zv34平均碰撞頻率 Z設分子 A 以相對平均速率 u 運動，其它分子可設為靜止

17、運動方向上，以 d 為半徑的圓柱體內的分子都將與分子A 碰撞該圓柱體的面積 就叫 碰撞截面 = d2Addduu35單位時間內分子 A 走 u ，相應的圓柱體體積為 u ， 則Z = n u 統計理論可計算 u= 2 vZ = 2 d2 v n平均自由程 =Zv= 2 d2 n1= 2 d2 PkT對空氣分子 d 3.5 10 -10 m標準狀態下 Z 6.5 10 9s ， 6.9 10 -8 m 氣體容器線度小于平均自由程計算值時，實際平均自由程就是容器線度的大小。36u = v - v平方u = v + v - 2 v v222取平均u = v + v - 2 v v 2 22各個方向隨

18、機運動，故為零u = v + v 222相等u = 2 v22設 均方根速率與平均速率的規律相似，則由上式 u= 2 v37 2.9 輸運過程最簡單的非平衡態問題：不受外界干擾時，系統自發地從非平衡態向物理性質均勻的平衡態過渡過程 - 輸運過程。系統各部分的物理性質，如流速、溫度或密度不均勻時，系統處于非平衡態。非平衡態問題是至今沒有完全解決的問題，理論只能處理一部分，另一部分問題還在研究中。介紹三種輸運過程的基本規律：內摩擦熱傳導擴散38內摩擦AB現象：A盤自由，B盤由電機帶動而轉動，慢慢A盤也跟著轉動起來。解釋：B盤轉動因摩擦作用力帶動了周圍的空氣層，這層又帶動鄰近層，直到帶動A盤。這種相鄰的流體之間因速度不同，引起的相互作用力稱為內摩擦力，或粘滯力。x zu = u (z)dSdf df流速不均勻，沿 z 變化（或有梯度）不同流層之間有粘滯力39設，dS 的上層面上流體對下層面上流體的粘滯力為 df，反作用為 df ，這一對力滿足牛頓第三定律。實驗測得df = dzduz=z0dS 稱為粘滯系數20 oC 時，水為 1.005 10-3 Pa s空氣為 1.71 10-7 Pa s流速大的流層帶動流速小的流層，流速小的流層后拖流速大的流層。用分子運動論應該可以從微觀推導出上面公式。40微觀上，這種粘滯力是動量傳遞的結果下層 平均自由程 l 的區域，單位時間通