1、精選優質文檔-傾情為你奉上精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業專心-專注-專業精選優質文檔-傾情為你奉上專心-專注-專業全等三角形之手拉手模型與半角模型目 錄 TOC o 1-6 h z u 手拉手模型定義如上圖所示，手拉手模型是指有公共頂點（A）、頂角相等（）的兩個等腰三角形（ABE，AB=AE；ACD，AC=AD），底邊端點相互連接形成的全等三角形模型（ABDAEC）。因為頂角相連的四條邊（腰）可形象地看成兩雙手，所以通常稱為手拉手模型。說明：左、右手的定義將等腰三角形頂角頂點朝上，正對我們，我們左邊為左手，右邊為右手。拉手的方式：左手拉左手，右手拉右手。構成手拉手模型的3個條件：兩

2、個等腰三角形有公共頂點頂角相等全等三角形的構成方式：由“頂點+雙方各一只手”構成：“頂點+左手+左手”，“頂點+右手+右手”。搞清這一點，有助于我們快速找到全等三角形。等腰三角形的底邊（BE、CD）不是必須的，可以不連接，所以圖中用虛線表示。這就是為什么做題時發現有時并不存在等腰三角形卻仍然用手拉手模型的原因。任意等腰三角形下的手拉手模型下面，將給出一些重要結論，熟悉這些結論有助于我們快速解題。需要強調的是，這些結論不能直接用，需要證明，所以要記住以下每個結論的證明。結論1：ABDAEC說明：這里的全等三角形的構成方式為“頂點+雙方各一只手”構成。證明：（等角+公共角相等）在ABD和AEC中

3、ABDAEC（SAS）結論2：BD=EC（左手拉左手等于右手拉右手）證明：ABDAECBD=EC結論3： +BOC=180說明：BOC是手拉手形成的角，我們稱O為“手拉手交點”。證明：ABDAECADB=ACE又APC=OPD（對頂角相等） COD=180-OPD-ADB（三角形內角和） CAD=180-APC -ACE（三角形內角和）COD=CAD= +BOC=180結論4：OA平分BOC證明：如圖，連接AO，過點A做AMBD于M，ANCE于NABDAECBD = EC，SABDSAEC 1 2BDAM = 1 2ECAN AM =AN（AM、AN 分別是BD、EC 邊上的高，全等三角形的對

4、應邊上的對應中線、角平分線、高線分別相等） OA平分BOC（角平分線的判定）等邊三角形下的手拉手模型等邊三角形是等腰三角的一種特例，自然也有相應的手拉手模型，具有任意等腰三角形下的手拉手模型的結論1結論4。但由于等邊三角形更特殊，所有還有新的結論5。 等邊三角形下的手拉手模型結論1：ABDAEC略（同 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 1.2 ）。結論2：BD=EC（左手拉左手等于右手拉右手）略（同 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 1.2 ）。結論3： +BOC=180略（同 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 1.2 ）。結論4：O

5、A平分BOC略（同 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 1.2 ）。結論5：BOE=COD = =60說明：BOE、COD是等邊三角形底邊與“交點”形成的角。證明： +BOC=180BOE=180-BOC=60BOE=60COD =BOE=60（對頂角相等）等腰直角三角形下的手拉手模型同樣道理，等腰直角三角形也是等腰三角的一種特例，自然也有相應的手拉手模型，具有任意等腰三角形下的手拉手模型的結論1結論4。但由于等腰直角三角形更特殊，所有還有新的結論5。 等腰直角三角形下的手拉手模型1在 REF _Ref r h 1.1 手拉手模型定義一節中指出：“等腰三角形的底邊（BE、CD

6、）不是必須的，可以不連接，所以圖中用虛線表示。這就是為什么做題時發現有時并不存在等腰三角形卻仍然用手拉手模型的原因”。下圖就是這樣一種情況（圖中正方形ABFE、正方形ACGD），稱為等腰直角三角形下的手拉手模型2，這個模型考題中也比較常見。 等腰直角三角形下的手拉手模型2結論1：ABDAEC略（同 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 1.2 ）。結論2：BD=EC（左手拉左手等于右手拉右手）略（同 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 1.2 ）。結論3： +BOC=180略（同 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 1.2 ）。結論4：OA平

7、分BOC略（同 REF _Ref r h * MERGEFORMAT 1.2 ）。結論5：BOE=COD = =90（等邊三角形底邊與“交點”形成的角）證明： +BOC=180BOE=180-BOC=90BOE=90COD =BOE=90（對頂角相等）例題手拉手模型題型是一種常見的題型，但考試時不會告訴我們是手拉手題型，因此首選需要我們識別出是手拉手模型題型，然后再利用手拉手題型的幾個結論進行求解。熟悉手拉手模型的幾個結論以及證明方法可以高效解題。例：如圖1，ABC和CDE為等邊三角形 圖1 圖2（1）求證：BD=AE；（2）若等邊CDE繞點C旋轉到BC、EC在一條直線上時，（1）中結論還成立

8、嗎？請給予證明；（3）旋轉到如圖2位置時，若F為BD中點，G為AE中點，連接FG，求證：CFG為等邊三角形；FGBC分析：識別出手拉手模型是解題的關鍵，而（1）問就是證明“結論2：BD=EC（左手拉左手等于右手拉右手）”；解答：（1）證明：ABC與CDE是等邊三角形ACE=60-ACD，BCD=60-ACD，AC=BC，CE=CDACE=BCD在ACE與BCD中ACEBCD（SAS）BD=AE（2）結論仍然成立，證明如下： = 1 * GB3 順時鐘旋轉ABC與CDE是等邊三角形ACE=60+ACD，BCD=60+ACD，AC=BC，CE=CDACE=BCD在ACE與BCD中ACEBCD（SA

9、S）BD=AE = 2 * GB3 逆時針旋轉ABC與CDE是等邊三角形ACE=60，BCD=60，AC=BC，CE=CDACE=BCD在ACE與BCD中ACEBCD（SAS）BD=AE綜上，BD=AE。（3）證明：ACEBCDCBF=CAG，AE=BDF是BD中點，G是AE中點BF=AG，又BC=AC在ACG與BCF中ACGBCF（SAS）CF=CG，BCF=ACG=60CFG=CGF（等邊對等角），FCG=ACG =60CFG=CGF= 180-FCG 2 = 180-60 2 =60CFG=CGF=ACG =60CFG是等邊三角形證明：CFG=ACB=60FGBC半角模型定義把過等腰三角

10、形頂角的頂點引兩條射線，使兩條射線的夾角為等腰三角形頂角的一半，這樣的模型稱為半角模型。以上定義不直觀，下面舉例說明：半角模型1：下圖中，ABC是等邊三角形，DBC是等腰三角形，BDC=120，EDF=60。 半角模型1半角模型2：下圖中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，DAE=45。 半角模型2半角模型3：下圖中，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，EAF=45。 半角模型3說明：同手拉手模型一樣，定義時為了描述方便，出現了“等腰三角形”，但事實上，“等腰三角形的底邊不是必須的，可以不連接。 REF _Ref r h 圖6就是這種情況。常見的構成半角模型的圖形有正三角形

11、（ REF _Ref r h 圖4），等腰直角三角形（ REF _Ref r h 圖5），正方形（ REF _Ref r h 圖6），這三種我們要熟悉。解題時要善于識別出半角模型，識別時抓住以下兩個特征：大角內部有一個小角，小角角度是大角的一半；大角的兩邊相等半角模型解題思路半角模型解題思路是構造旋轉型全等，應用兩次全等（兩次全等判定都是SAS型）解題，具體步驟如下：將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并形成新的三角形（但要注意解題 時通常不一定是說旋轉，因為不能保證旋轉后兩個三角形的邊共線）；證明Step1中構造的三角形與原三角形全等（SAS）；（如果Step1中是通過旋轉方式得到三角形，則沒

12、有這一步）證明合并形成的新三角形與原半角形成的三角形全等（SAS）；通過全等的性質得出線段相等、角度相等，從而解決問題。上面步驟不是很好理解，可以結合下面具體的例子理解。半角模型1（等邊三角形內含半角）解題方法例：下圖中，ABC是等邊三角形，DBC是等腰三角形，DB=DC，BDC=120，EDF=60。求證：EF=BE+CF。 分析：通過條件可知本題是半角模型題，可以運用上面介紹的解題方法做。為了更好地理解思路，題中按步驟分成了幾部分。證明：將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并形成新的三角形（但要注意解題 時通常不是說旋轉，因為不能保證旋轉后兩個三角形的邊共線）；如圖，延長FC到G，使CG=B

13、E，連接DG（記住輔助線的作法）證明Step1中構造的三角形與原三角形全等（如果Step1中是通過旋轉方式得到三角形，則沒有這一步）；DB=DC，BDC=120BCD=DBC = 1 2（180-120）=30ABC是等邊三角形ABC=ACB=60DCG =180-ACB-BCD=180-60-30=90DBE =ABC+DBC=60+30=90DCG =DBE在CDG和BDECDGBDE（SAS）證明合并形成的新三角形與原半角形成的三角形全等；DG=DE，CG=BE，CDG =BDEGDF =CDG+CDF=BDE+CDF=BDC-EDFBDC=120，EDF=60GDF =120-60=6

14、0EDF=GDF=60 在DEF和DGFDEFDGF（SAS）通過全等的性質得出線段相等、角度相等，從而解決問題。EF=GFGF=FC+CG（共線的線段關系）EF =FC+ BE（等量代換）即EF = BE+CF（變成問題形式）半角模型2（等腰直角三角形內含半角）解題方法例：下圖中，ABC是等腰直角三角形，BAC=90，DAE=45。求證：DE2=BD2+CE2。 分析：通過條件可知本題是半角模型題，可以運用上面介紹的解題方法做。為了更好地理解思路，題中按步驟分成了幾部分。證明：將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并形成新的三角形（但要注意解題 時通常不是說旋轉，因為不能保證旋轉后兩個三角形的邊

15、共線）；如圖，將ABD繞點A逆時針旋轉得到ACF，連接EF。證明Step1中構造的三角形與原三角形全等（如果Step1中是通過旋轉方式得到三角形，則沒有這一步）；(本題沒有這一步)證明合并形成的新三角形與原半角形成的三角形全等；BAC=90，DAE=45，BAD+EAC =90-45=45ACF由ABD旋轉得到CAF=BAD，AF=AD，CF=BDFAE=CAF+EAC =45DAE=EAF在ADE和AFEADEAFE（SAS）通過全等的性質得出線段相等、角度相等，從而解決問題。DE=FEECF=BCA+ACF =45+45=90EF2=CF2+CE2DE2=BD2+CE2（等量代換）半角模型

16、3（正方形內含半角）解題方法例：如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD邊上的點，EAF=45，求證：EF=BE+DF。 分析：通過條件可知本題是半角模型題，可以運用上面介紹的解題方法做。為了更好地理解思路，題中按步驟分成了幾部分。證明：將半角兩邊的三角形通過旋轉到一邊合并形成新的三角形（但要注意解題 時通常不是說旋轉，因為不能保證旋轉后兩個三角形的邊共線）；如圖，延長CB到G，使GB=DF，連接AG。證明Step1中構造的三角形與原三角形全等（如果Step1中是通過旋轉方式得到三角形，則沒有這一步）；在ABG和ADF中ABGADF（SAS）證明合并形成的新三角形與原半角形成的三角形全等；3=2，AG=AFBAD=90，EAF=451+2=45GAE=1+3=45=EAF在AGE和AFEAGEAFE（SAS）GE=EF通過全等的性質得出線段相等、角度相等，從而解決問題。G