1、1.4角平分線的性質第一頁，編輯于星期六：七點 五十六分。1.掌握角平分線的性質定理和判定定理.(重點)2.能夠運用角平分線的性質定理和判定定理解決幾何問題.(重點、難點)第二頁，編輯于星期六：七點 五十六分。一、角平分線的性質與判定如圖,已知DBAB,DCAC,則_=_=90.DBADCA第三頁，編輯于星期六：七點 五十六分。【思考】(1)如果1=2,那么BD=CD嗎?為什么?提示:BD=CD.DBAB,DCAC,DBA=DCA=90,又1=2,AD=AD,ABDACD(AAS),BD=CD.(2)如果BD=CD,那么1=2嗎?為什么?提示:1=2.BD=CD,AD=AD,RtABDRtAC

2、D(HL),1=2.第四頁，編輯于星期六：七點 五十六分。【總結】(1)角平分線的性質定理:角的平分線上的點到角的兩邊的距離_.(2)角平分線的判定定理:角的內部到角的兩邊距離_的點在角的平分線上.相等相等第五頁，編輯于星期六：七點 五十六分。二、三角形三條角平分線的性質到三角形三條邊的距離相等的點是其任意兩角的_的交點,此點也在另一個角的_上.平分線平分線第六頁，編輯于星期六：七點 五十六分。 (打“”或“”)(1)角的平分線就是角的對稱軸.( )(2)到角的兩邊距離相等的點有無數個.( )(3)到角的兩邊距離相等的點,在這個角的平分線上.( )(4)三角形三條角平分線的交點可能在三角形的外

3、部.( )(5)三角形三條角平分線的交點到三角形三個頂點的距離相等. ( )第七頁，編輯于星期六：七點 五十六分。知識點 1 角平分線的性質【例1】(2013溫州中考)如圖,在ABC中,C=90,AD平分CAB,交CB于點D,過點D作DEAB于點E.(1)求證:ACDAED.(2)若B=30,CD=1,求BD的長.第八頁，編輯于星期六：七點 五十六分。【解題探究】(1)CD與ED有什么關系?為什么?提示:CD=ED.AD平分CAB,DEAB,C=90,CD=ED.由CD與ED的關系能判定ACDAED嗎?為什么?提示:能.在RtACD和RtAED中,AD=AD,CD=ED,由“HL”定理可得Rt

4、ACDRtAED.第九頁，編輯于星期六：七點 五十六分。(2)BD與ED有什么關系?為什么?提示:BD=2ED.DEAB,DEB=90,又B=30,BD=2ED.請結合CD的長,以及CD與ED的關系確定BD的長.提示:ED=CD=1,BD=2ED=2.第十頁，編輯于星期六：七點 五十六分。【總結提升】角平分線圖形結構中的兩種數量關系如圖,OC平分AOB,PDOA,PEOB,DE交OC于點F,可以得到以下結論:1.角之間的相等關系:AOC=BOC=PDF=PEF;ODP=OEP=DFO=EFO=DFP=EFP;DPO=EPO=ODF=OEF.2.線段的相等關系:OD=OE,DP=EP,DF=EF

5、.第十一頁，編輯于星期六：七點 五十六分。知識點 2 角平分線的判定【例2】如圖,在四邊形ABCD中,ADC+ABC=180,BC=DC,CEAD交AD的延長線于點E,CFAB于點F.求證:AC平分BAD.【思路點撥】證ABC=CDE,CFB=CEDCFBCEDCF=CE結論第十二頁，編輯于星期六：七點 五十六分。【自主解答】ADC+ABC=180，又ADC+CDE=180，ABC=CDE.CFAB，CEAD，CFB=CED=90.在RtCFB和RtCED中，CFBCED(AAS)，CF=CE,AC平分BAD.第十三頁，編輯于星期六：七點 五十六分。【總結提升】證明角平分線的兩種方法1.定義法

6、:應用角平分線的定義.2.定理法:應用“到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”來判定.判定角平分線時,需要滿足兩個條件:“垂直”和“相等”.若已知“垂直”,則設法證“相等”;若已知“相等”,則設法證“垂直”.第十四頁，編輯于星期六：七點 五十六分。題組一：角平分線的性質1(2013柳州中考)在ABC中，BAC=90，AB=3，AC=4AD平分BAC交BC于D，則BD的長為( )第十五頁，編輯于星期六：七點 五十六分。【解析】選ABAC=90，AB=3，AC=4，BC=BC邊上的高=345=AD平分BAC，點D到AB，AC上的距離相等，設為h，則解得SABD=解得第十六頁，編輯于星期六：七點 五十

7、六分。2.(2013長沙中考)如圖,BD是ABC的平分線,P是BD上的一點,PEBA于點E,PE=4cm,則點P到邊BC的距離為cm.【解析】過點P作PFBC于點F,根據“角平分線上的點到角的兩邊距離相等”知PF=PE=4cm,即點P到邊BC的距離為4cm.答案:4第十七頁，編輯于星期六：七點 五十六分。3.如圖,在ABC中,ACB=90,AD是ABC的角平分線,BC=10cm,BDDC=32,則點D到AB的距離為cm.【解析】BC=10cm,BDDC=32,DC=4cm,AD是ABC的角平分線,ACB=90,點D到AB的距離等于DC,即點D到AB的距離等于4cm.答案:4第十八頁，編輯于星期

8、六：七點 五十六分。4.(2013湘西中考)如圖,RtABC中,C=90,AD平分CAB,DEAB于E,若AC=6,BC=8,CD=3.(1)求DE的長.(2)求ADB的面積.第十九頁，編輯于星期六：七點 五十六分。【解析】(1)在RtABC中，C=90，ACCD又AD平分CAB，DEAB，DE=CD，又CD=3，DE=3(2)在RtABC中，C=90，AC=6，BC=8，AB=SADB=第二十頁，編輯于星期六：七點 五十六分。題組二:角平分線的判定1.如圖所示,OB與OC分別是ABC的ABC和ACB的平分線,那么BAO與CAO的大小關系為()A.BAOCAO B.BAO=CAOC.BAOCA

9、O D.不確定第二十一頁，編輯于星期六：七點 五十六分。【解析】選B.OB與OC分別是ABC的ABC和ACB的平分線,點O到AB,BC,AC的距離相等,點O也在BAC的平分線上,BAO=CAO.第二十二頁，編輯于星期六：七點 五十六分。2.如圖所示,DEAB于D,CEBC于C,且DE=CE,則下列結論不一定正確的是()A.BE平分ABCB.BE平分CEDC.AE+DE=ACD.A=ABE第二十三頁，編輯于星期六：七點 五十六分。【解析】選D.由DEAB,CEBC,DE=CE可判斷BE平分ABC;由條件可證得BCEBDE,所以BEC=BED,所以BE平分CED.AC=AE+CE,而CE=DE,A

10、C=AE+DE.D不一定為AB中點,故EDB和EDA不一定全等,故得不到A=ABE.第二十四頁，編輯于星期六：七點 五十六分。3.如圖,直線l1,l2,l3表示三條相互交叉的公路,現要建一個貨物中轉站,要求它到三條公路的距離相等,則可供選擇的地址有 ()A.一處B.兩處C.三處D.四處第二十五頁，編輯于星期六：七點 五十六分。【解析】選D.因為到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上,所以可供選擇的地點可在這三條直線圍成的三角形的內角平分線的交點處或這個三角形的外角平分線的交點處.如圖,可供選擇的地址有P1,P2,P3,P4共四處.第二十六頁，編輯于星期六：七點 五十六分。【高手支招】有關到線段

11、距離相等的點的位置確定,一般是利用“到角兩邊距離相等的點在角的平分線上”這一定理,作出由線段所組成的角的角平分線,確定點的位置.第二十七頁，編輯于星期六：七點 五十六分。4.(2013泉州中考)如圖,AOB =70,QCOA于C,QDOB于D,若QC = QD,則AOQ=.【解析】QCOA,QDOB,QC = QD,點Q在AOB的平分線上,AOQ= AOB,AOB=70,AOQ =35.答案:35第二十八頁，編輯于星期六：七點 五十六分。5.已知:如圖,AB=CD,PAB的面積與PCD的面積相等,求證:OP平分AOD.第二十九頁，編輯于星期六：七點 五十六分。【證明】過點P作PEOA于E,PFOD于F,SPAB=SPCD, ABPE= CDPF.AB=CD,PE=PF.點P在AOD的平分線上(到一個角的兩邊距離相等的點在這個角的平分線上).OP平分AOD.第三十頁，編輯于星期六：七點 五十六分。6.如圖,ABC中,BP,CP分別是B,C的外角平分線.求證:點P在A的平分線上.第三十一頁，編輯于星期六：七點 五十六分。【證明】過點P作PMAB,PNAC,PQBC,垂足分別為M,N,Q.點P在B的外角CBM的平分線上,PM=PQ.點P在C的外角BCN的平分線上,