1、8.1 成對數據的統計相關性第八章 成對數據的統計分析8.1.1 變量的相關關系學習目標：1. 理解兩個變量的相關關系的概念，會作散點圖；2. 能夠利用散點圖判斷兩個變量之間是否具有相關關系.教學重點：相關關系的概念及利用散點圖判斷兩個變量之間是否具有相關關系.教學難點：理解相關關系與函數關系.如果變量y是變量x的函數，那么由x就可以唯一確定y.然而，現實中還存在這樣的情況：兩個變量之間有關系，但密切程度又達不到函數關系的程度.例如，人的體重與身高存在關系，但由一個人的身高值并不能確定他的體重值.那么，該如何刻畫這兩個變量之間的關系呢？下面我們就來研究這個問題.一個人的體重與他的身高有關系.一

2、般而言，個子高的人往往體重值較大，個子矮的人往往體重值較小.但身高并不是決定體重的唯一因素，例如生活中的飲食習慣、體育鍛煉、睡眠時間以及遺傳因素等也是影響體重的重要因素.像這樣，兩個變量有關系，但又沒有確切到可由其中的一個去精確地決定另一個的程度，這種關系稱為相關關系.現實中還有哪些變量具有相關關系？請舉例說明. 1.子女身高y與父親身高x之間的關系.一般來說，父親的個子高，其子女的個子也會比較高；父親個子矮，其子女的個子也會比較矮.但影響子女身高的因素，除父親身高外還有其他因素，例如母親身高、飲食結構、體育鍛煉等，因此父親身高又不能完全決定子女身高.2.商品銷售收入y與廣告支出x之間的關系.

3、一般來說，廣告支出越多，商品銷售收入越高.但廣告支出并不是決定商品銷售收入的唯一因素，商品銷售收入還與商品質量、居民收入等因素有關.3.空氣污染指數y與汽車保有量x之間的關系.一般來說，汽車保有量增加，空氣污染指數會上升.但汽車保有量并不是造成空氣污染的唯一因素，氣象條件、工業生產排放、居民生活和取暖、垃圾焚燒等都是影響空氣污染指數的因素.4.糧食畝產量y與施肥量x之間的關系.在一定范圍內，施肥量越大，糧食畝產量就越高.但施肥量并不是決定糧食畝產量的唯一因素，糧食畝產量還要受到土壤質量、降水量、田間管理水平等因素的影響.因為在相關關系中，變量y的值不能隨變量x的值的確定而唯一確定，所以我們無法

4、直接用函數去描述變量之間的這種關系.因此，在研究兩個變量之間的相關關系時，我們需要借助數據說話，即通過樣本數據分析，從數據中提取信息，并構建適當的模型，再利用模型進行估計或推斷.思考：在對人體的脂肪含量和年齡之間關系的研究中，科研人員獲得了一些年齡和脂肪含量的簡單隨機樣本數據，如表所示，表中每個編號下的年齡和脂肪含量數據都是對同一個體的觀測結果，它們構成了成對數據. 根據以上數據，你能推斷人體的脂肪含量與年齡之間存在怎樣的關系嗎？為了更加直觀地描述上述成對樣本數據中脂肪含量與年齡之間的關系，類似于用直方圖描述單個變量樣本數據的分布特征，我們用圖形展示成對樣本數據的變化特征.用橫軸表示年齡，縱軸

5、表示脂肪含量，則表中每個編號下的成對樣本數據都可用直角坐標系中的點表示出來，由這些點組成了如圖所示的統計圖.我們把這樣的統計圖叫做散點圖.觀察上圖，可以發現，這些散點大致落在一條從左下角到右上角的直線附近，表明隨年齡值的增加，相應的脂肪含量值呈現增高的趨勢.這樣，由成對樣本數據的分布規律，我們可以推斷脂肪含量變量和年齡變量之間存在著相關關系.如果從整體上看，當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值也呈現增加的趨勢，就稱這兩個變量正相關；如果當一個變量的值增加時，另一個變量的相應值呈現減少的趨勢，則稱這兩個變量負相關.由上圖，能夠推斷脂肪含量與年齡這兩個變量正相關.思考：（1）兩個變量負相關時，

6、成對樣本數據的散點圖有什么特點？兩個變量負相關時，散點圖中的點散布在從左上角到右下角的區域.（2）你能舉出生活中兩個變量正相關或負相關的一些例子嗎？兩個變量正相關的例子：一個學生的學習成績與其日學習時間之間的關系.兩個變量負相關的例子：視力與用眼時間之間的關系.散點圖是描述成對數據之間關系的一種直觀方法.觀察上圖散點圖，從中不僅可以大致看出脂肪含量和年齡呈現正相關性，而且從整體上可以看出散點落在某條直線附近.一般地，如果兩個變量的取值呈現正相關或負相關，而且散點落在一條直線附近，我們就稱這兩個變量線性相關.觀察散點圖，我們發現：圖（1）中的散點落在某條曲線附近，而不是落在一條直線附近，說明這兩個變量具有相關性，但不是線性相關；類似地，圖（2）中的散點落在一條折線附近，這兩個變量也具有相關性，但它們既不是正相關，也不是負相關；圖（3）中的散點雜亂無章，無規律可言，看不出兩個變量有什么相關性.一般地，如果兩個變量具有相關性，但不是線性相關，那么我們就稱這兩個變量非線性相關或曲線