1、彈 性 力 學(xué) 復(fù) 習(xí) 資 料一、簡(jiǎn)答題，1 .試寫出彈性力學(xué)平面問題的基本方程，它們揭示的是那些物理量之間的相互關(guān) 系？在應(yīng)用這些方程時(shí)，應(yīng)注意些什么問題？答：平面問題中的平衡微分方程：揭示的是應(yīng)力分量與體力分量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意兩個(gè)微分方程中包含著三個(gè)未知函數(shù)(TX、6 v、 r xy= t yx ,因此，決定應(yīng)力分量的問題是超靜定的，還必須考慮形變和位移，才能解決問題。，平面問題的幾何方程：揭示的是形變分量與位移分量間的相互關(guān)系。 應(yīng)注意當(dāng)物體 的位移分量完全確定時(shí)，形變量即完全確定。反之，當(dāng)形變分量完全確定時(shí)，位移分量卻 不能完全確定。，平面問題中的物理方程：揭示的是形變分量與應(yīng)力分

2、量間的相互關(guān)系。應(yīng)注意平面 應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題物理方程的轉(zhuǎn)換關(guān)系。M2.按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為那幾類邊界問題？試作簡(jiǎn)要說(shuō)明。答：按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)問題分為位移邊界問題、應(yīng)力邊界問題和混合邊界問題。位移邊界問題是指物體在全部邊界上的位移分量是已知的，也就是位移的邊界值是邊界上坐標(biāo)的已知函數(shù)。應(yīng)力邊界問題中，物體在全部邊界上所受的面力是已知的，即面力分量在邊界上所有各點(diǎn)都是坐標(biāo)的已知函數(shù)。混合邊界問題中，物體的一部分邊界具有已知位移，因而具有位移邊界條件；另一部分邊界則具有應(yīng)力邊界條件。M3.彈性體任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由幾個(gè)應(yīng)力分量決定？試將它們寫出。如何確定它們的 正負(fù)

3、號(hào)？體：彈性體任意一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由 6個(gè)應(yīng)力分量決定，它們是：？x、& ?z、？yz、正面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸正方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸負(fù)方向?yàn)樨?fù)。負(fù)面上的應(yīng)力以沿坐標(biāo)軸負(fù)方向?yàn)檎刈鴺?biāo)軸正方向?yàn)樨?fù)。V4.在推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程時(shí)，采用了那些基本假定？什么是“理想彈性體”？試 舉例說(shuō)明。答：答：在推導(dǎo)彈性力學(xué)基本方程時(shí)，采用了以下基本假定：(1)假定物體是連續(xù)的。(2)假定物體是完全彈性的。(3)假定物體是均勻的。(4)假定物體是各向同性的。(5)假定位移和變形是微小的。符合(1) (4)條假定的物體稱為“理想彈性體”。一般混凝土構(gòu)件、一般土質(zhì)地基可 近似視為“理想彈性體”。，5.什么叫平面應(yīng)力問題

4、？什么叫平面應(yīng)變問題？各舉一個(gè)工程中的實(shí)例。答：平面應(yīng)力問題是指很薄的等厚度薄板只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化 的面力，同時(shí)體力也平行于板面并且不沿厚度變化。如工程中的深梁以及平板壩的平 板支墩就屬于此類。平面應(yīng)變問題是指很長(zhǎng)的柱型體,它的橫截面在柱面上受有平行于橫截面而且不沿度變化的面力，同時(shí)體力也平行于橫截面而且也不沿長(zhǎng)度變化，即內(nèi)在因素和外來(lái)作用都不沿長(zhǎng)度而變化。無(wú)效6.在彈性力學(xué)里分析問題，要從幾方面考慮？各方面反映的是那些變量間的關(guān)系？答：在彈性力學(xué)利分析問題，要從 3方面來(lái)考慮：靜力學(xué)方面、幾何學(xué)方面、物理學(xué)方 面。平面問題的靜力學(xué)方面主要考慮的是應(yīng)力分量和體力分量之間的

5、關(guān)系也就是平面問題的平衡微分方程。平面問題的幾何學(xué)方面主要考慮的是形變分量與位移分量之間的關(guān)系，也就是平面問題中的幾何方程。平面問題的物理學(xué)方面主要反映的是形變分 量與應(yīng)力分量之間的關(guān)系，也就是平面問題中的物理方程。77.按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)平面問題分為那幾類？試作簡(jiǎn)要說(shuō)明答：按照邊界條件的不同，彈性力學(xué)平面問題可分為兩類：（1）平面應(yīng)力問題：很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力。這一類問題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問題。 例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中只存在0、hy = %x三個(gè)應(yīng)力分量。（2）平面應(yīng)變問題：很長(zhǎng)的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面

6、并且不沿長(zhǎng)度變化的 面力，而且體力也平行于橫截面且不沿長(zhǎng)度變化。這一類問題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)變問題。 例如擋 土墻和重力壩的受力分析。該種問題入=7zx =0；7yz = 7zy =。而一 般 0z并不等于零。，8.什么是圣維南原理？其在彈性力學(xué)的問題求解中有什么實(shí)際意義？圣維南原理可表述為：如果把物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力（主矢量相同，對(duì)于同一點(diǎn)的主矩也相同），那麼近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處所受的影響可 以不計(jì).彈性力學(xué)的問題求解中可利用圣維南原理將面力分布不明確的情況轉(zhuǎn)化為靜力等效但分布表達(dá)明確的情況而將問題解決。還可解決邊界條件不完全滿足的問題的求解

7、。，9.什么是平面應(yīng)力問題？其受力特點(diǎn)如何，試舉例予以說(shuō)明。答：平面應(yīng)力問題 是指很薄的等厚度板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度 變化的面力，這一類問題可以簡(jiǎn)化為平面應(yīng)力問題。例如深梁在橫向力作用下的受力分析問題。在該種問題中只存在 仃x、by、Txy =1yx三個(gè)應(yīng)力分量。無(wú)效10.什么是“差分法”？試寫出基本差分公式。答；所謂差分法，是把基本方程和邊界條件（一般為微分方程）近似地改用差分方程（代 數(shù)方程）來(lái)表示，把求解微分方程的問題改換成為求解代數(shù)方程的問題。基本差分公 式如下：二、計(jì)算題1 .已知過(guò)P點(diǎn)的應(yīng) 力分量 J =15Mpa, Oy =25Mpa, xy= 20Mpa。求過(guò)

8、P點(diǎn)，l =cos300、m=cos600斜面上的 Xn、Yn、仃n、廉。解：XN =l=x m xy =cos3。0 15 cos600 20 = 22.99Mpa2.在物體內(nèi)的任一點(diǎn)取一六面體，x、v、z方向的尺寸分別為dx、dy、dz。試依據(jù)下圖證明：上+血+丫=0 。y z : x證明：化簡(jiǎn)并整理上式，得：.圖示三角形截面水壩，材料的比重為 ?,承受比重為?液體的壓力，已求得應(yīng)力解:x =ax，by為ay =cx+dy %y，試寫出直邊及斜邊上的邊界條件。Txy = -dx -ay解：由邊界條件左邊界：l = cos :, m = -sin ：右邊界：l=-1,m=0.已知一點(diǎn)處的應(yīng)力

9、分量!x = 30Mpa, Oy =-25Mpa, Exy = 50Mpa，試求主應(yīng)力 仃1、仃2 以及。i與x軸的夾角。解：.在物體內(nèi)的任一點(diǎn)取一六面體，x、v、z方向的尺寸分別為dx、dy、dz。試依據(jù)下圖VZ證明：+*+=+z=0 0二z :x : y證明：化簡(jiǎn)并整理上式：.圖示懸臂梁只受重力作用，而梁的密度為？，設(shè)應(yīng)力函數(shù)4 = Ax3 + Bx2 y + Cxy2 + Dy3 包能滿足雙調(diào)和方程。試求應(yīng)力分量并寫出邊界條件。解：所設(shè)應(yīng)力函數(shù)。相應(yīng)的應(yīng)力分量為：二 x =于=2Cx+6Dy邊界條件為：上表面(y=0),要求XN= ( _y)y=0=0,B = 0Yn =Ly)y/=0,

10、A = 0斜邊界：y =xtga,l = -sin ,m =cos%邊界條件得:彈性力學(xué)試題參考答案（答題時(shí)間：100分鐘）、填空題（每小題4分）1.最小勢(shì)能原理等價(jià)于彈性力學(xué)基本方程中：平衡微分方程,應(yīng)力邊界條件。，2.一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足：平衡微分方程，相容方程（變形協(xié)調(diào)條件）。.等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中，2JJd中dxdy=M的物理意義是 桿端截面上剪應(yīng)力對(duì)轉(zhuǎn)軸的矩等于桿截面內(nèi)的扭矩 M 。.平面問題的應(yīng)力函數(shù)解法中，Airy應(yīng)力函數(shù)邛在邊界上值的物理意義為邊界上某一點(diǎn)（基準(zhǔn)點(diǎn)）到任一點(diǎn)外力的矩。.彈性力學(xué)平衡微分方程、幾何方程的張量表示為：1 Z、仃 ij,j +Xi 一0 , ij

11、2 （ui,j + u j,i ） 0、簡(jiǎn)述題（每小題6分），1 .試簡(jiǎn)述力學(xué)中的圣維南原理，并說(shuō)明它在彈性力學(xué)分析中的作用。圣維南原理：如果物體的一小部分邊界上的面力變換為分布不同但 靜力等效的面力 （主矢與主矩相同），則近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力所受影響 可以忽略不計(jì)。作用：（1）將次要邊界上復(fù)雜的面力（集中力、集中力偶等）作分布的面力代替。（2）將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。.圖示兩楔形體，試分別用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)寫出其應(yīng)力函數(shù)中的分離變量形式。(a)中(x, y) = ax2 + bxy + cy2 ?(幾日)=r2f (日)題二（2）圖中(x, y) =

12、ax3 +bx2y+ cxy2 +dy3(b),。F(r,e) = r3f(6).圖示矩形彈性薄板，沿對(duì)角線方向作用一對(duì)拉力 P,板的幾何尺寸如圖，材料的彈 性模量E、泊松比？已知。試求薄板面積的改變量 AS。題二（3）圖設(shè)當(dāng)各邊界受均布?jí)毫時(shí)，兩力作用點(diǎn)的相對(duì)位移為 國(guó)。由名=（1-N）q得, 設(shè)板在力P作用下的面積改變?yōu)橛晒Φ幕サ榷ɡ碛校簩?代入得：顯然，&S與板的形狀無(wú)關(guān)，僅與E、N、l有關(guān)。.圖示曲桿，在r=b邊界上作用有均布拉應(yīng)力q,在自由端作用有水平集中力P。試寫出其邊界條件（除固定端外）(1) ,-=4， rr =b題二(4)圖=0；。b(3) /仃仙=PcosBba r/r

13、= psin 1.試簡(jiǎn)述拉甫(Love)位移函數(shù)法、伽遼金(Galerkin )位移函數(shù)法求解空間彈性 力學(xué)問題的基本思想，并指出各自的適用性Love、Galerkin位移函數(shù)法求解空間彈性力學(xué)問題的基本思想：(1)變求多個(gè)位移函數(shù)u(x, y), v(x, y), w(x, y)或ur (r,8), ug(r,8)為求一些特殊函數(shù), 如調(diào)和函數(shù)、重調(diào)和函數(shù)。(2)變求多個(gè)函數(shù)為求單個(gè)函數(shù)(特殊函數(shù))。適用性：Love位移函數(shù)法適用于求解軸對(duì)稱的空間問題；Galerkin位移函數(shù)法適用于求解非軸對(duì)稱的空間問題。三、計(jì)算題1.圖示半無(wú)限平面體在邊界上受有兩等值反向，間距為 d的集中力作用，單位寬

14、度 上集中力的值為P,設(shè)間距d很小。試求其應(yīng)力分量，并討論所求解的適用范圍。(提示：取應(yīng)力函數(shù)為 A = Asin 20 +B0 )(13分)題三(1)圖解：: d很小，,M =Pd ,可近似視為半平面體邊界受一集中力偶 M的情形 將應(yīng)力函數(shù)中(r,9)代入，可求得應(yīng)力分量：1 二，二r ；:r r2 72-Asin 2 ; r邊界條件：(1)仃d=o，&=o； 一 rM r-0代入應(yīng)力分量式，有一一二 一 0,”二-0rHr -0(2A B) =0 r2A + B = 0(1)(2)取一半徑為r的半圓為脫離體，邊界上受有：仃,/仇 和M= Pd(2)由該脫離體的平衡，得 將斗日代入并積分，有

15、Asin2 +B%+M =0 得 Bn+M=0 2聯(lián)立式（1）、（2）求得:MPdPdB = - = ） A =二二2 二代入應(yīng)力分量式，得2Pd sin 22Pdsin2iar =-丁；仃e = 0；和 8 =一不廠。結(jié)果的適用性：由于在原點(diǎn)附近應(yīng)用了圣維南原理，故此結(jié)果在原點(diǎn)附近誤差較 大，離原點(diǎn)較遠(yuǎn)處可適用。2.圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，若梁的正應(yīng)力仃x由材料力學(xué)公式給出，試由平衡微分方程求出Exy,Qy,并檢驗(yàn)該應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)力表示的相容方程。（12 分）題三（2）圖解：（1）求橫截面上正應(yīng)力任意截面白彎矩為M =二 xq。3x6l,截面慣性矩為3由材料力學(xué)計(jì)算公式有(1)

16、My_2q0lh3（2）由平衡微分方程求 、平衡微分方程:.x： yx+:y田 十 (2)其中，X =0,Y =0。將式（1）代入式（2）,有積分上式，得利用邊界條件：.Xy3q02,23 x hf1(x) = 04lh即他一*h2xylh3221x (y -1hJ 42)(4)將式（4）代入式（3）,有“0/ 21 .2.、y .3-x(yh ) 二 0lh34二 y三：:y6q02 2123-x(yh )lh34積分得利用邊界條件:q。x l得：由第二式，得將其代入第一式，得2l x 2l x自然成立。6?x(44h2y)-lx(5)將f2(x)代入仃y的表達(dá)式，有所求應(yīng)力分量的結(jié)果: x

17、y2 , 21 ,2 xx(y -4h)(6)校核梁端部的邊界條件：(1)梁左端的邊界(x = 0h 2h- 1x0代入后可見：自然滿足。(2)梁右端的邊界(x = l )： 可見，所有邊界條件均滿足。檢驗(yàn)應(yīng)力分量；;Oy是否滿足應(yīng)力相容方程:常體力下的應(yīng)力相容方程為將應(yīng)力分量仃x,7xy,Qy式(6)代入應(yīng)力相容方程,(iyA會(huì)12q-3r xy lh36)并不是該該問題的正EI為常數(shù)，梁端支承彈多項(xiàng)式函數(shù)形式顯然，應(yīng)力分量仃x,y, Oy不滿足應(yīng)力相容方程，因而式(確解。3. 一端固定，另一端彈性支承的梁，其跨度為 l ,抗彎剛度簧的剛度系數(shù)為ko梁受有均勻分布載荷q作用，如圖所示。試：(1)構(gòu)造兩種形式(多項(xiàng)式、三角函數(shù))的梁撓度試函數(shù)w(x)；(2)用最小勢(shì)能原理或Ritz法求其多項(xiàng)式形式的撓度近似解(取1項(xiàng)待定系數(shù))。(13 分)題二(3)圖解：兩種形式的梁撓度試函數(shù)可取為 w(x) = x2(A1 A2x A3x2 )w(x) = Am Am(1 cos2mx)三角函數(shù)形式m 4l此時(shí)有：即滿足梁的端部邊界條件。 梁的總勢(shì)能為取：w(x) = A X2 ,有2d w2r = 2Ai , w(l)= Ail dx代入總勢(shì)能計(jì)算式，有由