1、 第2章非平穩隨機過程從本章起介紹計最經濟學近20年來最新研究成果。如果把第1章內容稱為經典計最經濟學，那么將要介紹的內容則應該稱為非經典計量經濟學。從1974年開始計最經濟學工作者漸漸意識到當用含有單位根的時間序列建立經典計鼠經濟模型時會出現一些問題，這就是虛假回歸。應該知道通過經濟數據了解經濟變量的變化規律有時是存在相當人的局限性的，所以在建立模型時，必須依靠經濟理論，同時對參數進行假設檢驗。實際上，只有經濟理論是不夠的。比如處于調整中的經濟變最，哪些是它的外生變最，哪些是它的無關變最，單憑經濟理論就很難判別清楚。所以當研究經濟變量參數變化規律時，常常采用另外一種方法，即依靠統計理論的方法

2、，通過設計貝有某種特征的能生成數據的隨機過程或數據生成系統研究經濟問題。下而常常用到數據生成系統這個概念。2單積性單積(整)：若一個隨機過程兒必須經過d次差分Z后才能變換成一個平穩的可逆的ARMA過程，則稱此是d次單積(單整)過程。用兒1()表示。対于平穩過程表示為1(0)。注意：單積過程是指單積次數人于零的過程。對于13)過程筠dL)(-L)dxt=u,因為含有d個單位根，所以常把時間序列單積次數的檢驗稱為單位根檢驗(unitroottest)。若x?I(d),升1(c),則Zt=(axt+bV,)I(maxd,c).J2,=J(t7x,+bx)=(ax,+byt)-(a北+byt.i)=(

3、aAxt+bAy,)當od時，乙只有差分c次才能平穩。一般來說，若再1(c),升1(c),貝IJ乙=(Xt+b-,)I(c)但也有乙的單積次數小丁的情形。當乙的單積次數小于c時，則稱兒與x存在協積(整)關系。2.2單積過程的統計特征以隨機游走過程和平穩的AR(1)過程作比較，對隨機游走過程Xt=Xm+ut,Xo=o.u,IN(0,eV)(2.7)有Xt=X/.2+Ut-1+如=.=工,(具有永久記憶性)i=lEg)=0Var(A-,)=士畑仙)=g：(隨T的增加，方差變為無窮人)1=1下面求帀和g的(相隔R期的)相關系數ATT-kT-kCov(xnxT.k)=E(心s)=E(工w工)=E(工)

4、=(T-k)au21=1z=ii=iA.=、mg)=(十，=戸=vrnr如(“)畑(1)Jg/J(T-幻簾Y丁只有當樣本容鼠趨丁無窮時，相關系數才等于1。有限樣本條件特別是小樣本條件卞，隨著滯后期斤的増加，相關系數有所衰減。這正是在第2章求序列的自相關函數時看到的結果。對于AR(1)過程x=0i+%丨如vlo=0,IN(0,a?)有(2.8)r-l(H只白有限記憶力)yf=V/+0M1+0*2=.=工01Tf=0Eg)=0Var(y,)=E(zv,_.)2=一!=o；2(方差為有限值)1=01-AR(1)過程的自相關系數公式，2=0/,(推導見上一章)。(file：5acf01)T=50.10

5、0.500條件下隨機游走過程對應的自相關函數圖(rho1000=(1-(trend(O)/1000).5)表2.1隨機游走過程和平穩的一階白回歸過程統計特征比較隨機游走過程平穩的AR(1)過程方差/加(無限的)品山圧)(有限的).k柑關系數A二J1-伙/丁)tLVk.TtbPk=l穿越寥均值點的期望時間無限的有限的記憶性永久的暫時的60504030201000.20.40.60.81AR(1)過程自相關系數與方簽的關系(sigma=l/(l-(trend(0)/20)A2)012.3虛假回歸用蒙特卡羅模擬方法分析相關系數的分布。gIN(0,1),他1(0)VfIN(0,l)片I(0)每次生成T

6、TOO的相互獨立的旳和山,并計算尺嚴重復1力次，從而得到的分布。X/=Xm+Hi9心=0,兀1(1)Jf=yM+VZ,為=0,xi(i)利用他和刃,每次生成丁=100的筠和川并計算心。重復1萬次,從而得到心的分布。片=Ph+M,內=0,“I(2)qn+x，%=o,gi(2)利用引和卯，每次生成丁=100的“和并計算陽。重復1力次，從而得到心的分布。兩個相互獨立的1(0)變量和山的相關系數的分布為正態(見圖2.1a)。兩個相互獨立的1(1)變量兒和“的相關系數Ro的分布為倒U形(見圖2.1b)。兩個相互獨立的1(2)變鼠“和如的相關系數心的分布為U形(見圖2.1c)o(file:spurious

7、corr)問題的嚴重性在于當變量非平穩時，認為R服從的是正態分布，但實際上R服從的卻是圖2.1b和圖2.1c那樣的倒U和U字型分布，因此増加了拒絕概率，本不相關的兩個變最結論卻是相關！圖2.2三條Illi線疊加示意圖圖2.3仏份布和虛假回歸條件下的分布/統計量的分布有如卜數據生成系統xt=+ut,x0=比IID(0,i)Jr=Jm+vz,為=0,刃IID(0,1)E(nIv/)=0,ViJ可知x,和x為1(1)變最且相互獨立。作如卜回歸x=A)+A兀+環，/(A)的分布見圖2.3。拒絕=0的概率人人增加。從而造成虛假回歸(Gnmgcr1974年提出)。簡單回歸中傷=0的拒絕概率與變鼠單積階數的

8、關系兩變厳的單積階數PMA)2)1(0)與1(0)0.0451(1)與1(1)0.771(2)與1(2)0.95樣本容量與虛假回歸的關系(回歸變鼠均為1(1)變量)隨樣本容量變化，拒絕0產0的概率，即P(aA)2)見圖2.3。2.4維納過程、數量級概念、單積過程統計量的極限分布維納過程可看作是一個在0.1區間內連續的隨機游走過程。標準維納過程：對于任意一個連續的隨機過程v(/),i0,/e0.1,如果滿足以卜四個條件。PV(0)=0=lo對于每個宀0,有EV(/)=Oo對于每個ino,v(/)都是正態分布的并且是非退化的。V(0具有獨立的增量。V(1)-V(j)-N(0,i-j)則稱W)為標準

9、Wiener過程或標準布朗運動(Brownianmotion),用W(i)或B(f)表示。英國生物學家布朗(RobertBrown)T1827年最先対懸浮在液體中的花粉微粒受到水分子撞擊形成的運動進行觀察和研究，布朗運動因此得44o1900年法國人LouisBachelier試圖用布朗運動描述股栗價格的運動過程。1918年，NorbertWiener(1894-1964)給出了布朗運動數學意義的嚴格定義，因此布朗運動也稱作Wiener過程。NorbertWiener是研究隨機過程的美國科學家，第二次世界人戰時專門研究魚雷擊中潛艇的問題。其他時間連續的過程可以由標準的維納過程生成。比如，Z(/)

10、=aW(i)ZQ)有獨立的增量，且在整個區間服從N(O.crr)分布。ZQ)稱為方差為長的維納過程。因此,標準的維納過程也稱作方差為1的維納過程。例如，Z(/)=W(i)2,其在整個區間服從i乘以一個/變量的分布。盡管WQ)是關于，連續的，但不能運用標準的微積分求導，原因是無論使用多么小的厶W(i)在時間i的變化方向與在i+4的變化方向完全不同。定義分段函數X/r),r60,l,0uxIT(1+2)A函數中心極限定理:如果隨即變量“,IID(0,y),根據中心極限定理有XT(r)=0rl/T/Tr2/T2/Tr/(W(i).概率測度的數晟級(階數)和收斂速度先討論實數列的數彊級（階數）和收斂速

11、度。如首是一個實數列,嚴是一個正實數列，則有如下定義。1.如果lim-=0,則稱令是嚴的低階數量級。記作5=0（ # 2.如果存在實數M,且對于所有的T有也low，則稱血的數最級不超過嚴，或血Ta的最人數最級是r.記作5=0（嚴）?；蛘哒f衍的收斂速度是代例,對于實數列TOC o 1-5 h z71/=(1+2+3+4.+T)=-T(T+1)t=2當時，因為廠2（/）t丄，所以是0（廠）的，或者說士f的收斂速度是嚴。同理/=12/=1r=l/2=(l/6)T(T+l)(2T+l)是0(廠)的。r=ir3=-T（7+l）2是0（廠）的。r=i2對于數列丄,因為當時,n丄）ti,所以丄是o（廠、的。

12、 HYPERLINK l bookmark6TTT對J：隨機變龜序列，數帚級應是概率測度的數最級。概率極限定義：若對于任何0,有limp|乃7|=0,則稱xT依概率收斂于r-隨機變量x,或小的概率極限是X。記作plimxr=XoTT8設昂算1是一個隨機變量序列，嚴二定義如上。則有如卜定義。如果plimA_=0,則稱爲是廠的概率測度低階數量級。記作小是0,（嚴）的。r-ooTaBt剛若對于任何0,存在一個正實數M,使plimPMoo,廠吃x/nJDV(/)2J/f=l2.5虛假回歸統計最的極限分布和有限分布給出如下數據生成系統X=Jm+/，為=，/IID（0,xt=Xm+vt,Xq=0,vzII

13、D（0,q2）E（iy/）=0,Vij無和開是相互獨立的。對于以卜回歸y（=Bo+Bxi+wt求觀，隊,r（A）,W,DW的極限分布。當Tm,TV工H=Q）叭川/=!廠吆2Wv(i)2diT廠吆(,-亍)2n(V(w“0)2di-q*(/)di)2, # #%(/)Wv(0di.r=i當TT8,A),A，r(A),W,DW的極限分布見下式。給定條件，片IN(0,l),T=50,100.模擬10000次得po，久r(A),F,DIV的分布模擬結呆如下圖。(1)T-,/2A)服從Wiener過程函數的分布。當Tm時，有廠幾nWtl(i)di-Wv(i)diPo是Op(嚴)的。隨著T的增大,久的分布發散。B0一BOj62.08-.04.00-0-20100102030 # #7=30100,久的模擬結果(File：spurious-regrefile:simu5) (叫(小2山一(側)2Jo7=30,100的/(幾)的分布(file:simu5)A服從Wienerid程函數的分布。當Ttr時，得叱衛)叫加一(/)/；/(/)/JoJo因為表達式分子中兩個Wiener過程相互獨立，所以其最人可能取值為零。A是的。 # 7=30.100的A的模擬結果(file:simii5)廠勺(介)的極限分布存在。當T