1、學習-好資料更多精品文檔第一章 三角函數4-1.1.1 任意角（1）教學目標：要求學生掌握用“旋轉”定義角的概念，理解任意角的概念，學會在平面內建立 適當的坐標系來討論角；并進而理解“正角”“負角” “象限角” “終邊相同的角”的含義。教學重點：理解“正角” “負角” “象限角” “終邊相同的角”的含義教學難點：“旋轉”定義角課標要求：了解任意角的概念教學過程：一、引入同學們在初中時，曾初步接觸過三角函數，那時的運用僅限于計算一些特殊的三角函數值、研究一些三角形中簡單的邊角關系等。 三角函數也是高中數學的一個重要內容， 在今后的學 習中大家會發(fā)現三角學有著極其豐富的內容， 它能夠簡單地解決許多

2、數學問題， 在中學數學 中有著非常廣泛的應用。二、新課.回憶：初中是任何定義角的？（從一個點出發(fā)引出的兩條射線構成的幾何圖形）這種概念的優(yōu)點是形象、直觀、容易理解, 但它的弊端在于“狹隘” 師：初中時，我們已學習了 0。360角的概念，它是如何定義的呢？生：角可以看成平面內一條射線繞著端點從一個位置旋轉到另一個位置所成的圖形。師：如圖1, 一條射線由原來的位置 OA繞著它的端點 。按逆 時針方向旋轉到終止位置 OR就形成角”。旋轉開始時的射線 OA叫做角的始邊，OB叫終邊，射線的端點 O叫做叫a的頂點。 師：在體操比賽中我們經常聽到這樣的術語：“轉體720” （即轉體2周），“轉體1080”（

3、即車t體3周）；再如時鐘快了 5分鐘, 現要校正，需將分針怎樣旋轉？如果慢了 5分鐘，又該如何校 正？ 生：逆時針旋轉30;順時針旋轉300.師：（1）用扳手擰螺母；（2）跳水運動員身體旋轉.說明旋轉第二周、第三周，則形成了更大范圍內的角，這些角顯然超出了我們已有的認識范圍。本節(jié)課將在已掌握 360 角的范圍基礎上，重新給出角的定義，并研究這些角的分類及記法.角的概念的推廣：（1）定義：一條射線OA由原來的位置 OA,繞著它的端點O按一定方向旋轉到另一位置OB,就形成了角”。其中射線OA叫角a的始邊，射線 OB叫角a的終邊，。叫角a的頂點。.正角、負角、零角概念師：為了區(qū)別起見，我們把按逆時針

4、方向旋轉所形成的角叫正角，如圖2中的角為正角，它等于300與750。；我們把按逆時針方向旋轉所形成的角叫正角，那么同學們猜猜看，負角怎么規(guī)定呢？零角呢？生：按順時針方向旋轉所形成的角叫負角，如果一條射線沒有作任何旋轉，我們稱它形成了一個零角。師：如圖3,以OA為始邊的角”=-1500, 3=-6600。特別地，當一條射線沒有作任何旋轉時，我們也認為這是形成了一個角，并把這個角稱為零角。或“/ a”可簡記為a師：好，角的概念經過這樣的推廣之后，就應該包括正角、負角、零角。這里還有一點要說 明：為了簡單起見，在不引起混淆的前提下，“角a.象限角師：在今后的學習中，我們常在直角坐標系內討論 角，為此

5、我們必須了解象限角這個概念。同學們已 經經過預習，請一位同學回答什么叫：象限角？ 生：角的頂點與原點重合，角的始邊與 X軸的非負 半軸重合。那么，角的終邊（除端點外）在第幾象 限，我們就說這個角是第幾象限角。師：很好，從剛才這位同學的回答可以知道，她已經基本理解了 “象限角”的概念了。下面 請大家將書上象限角的定義劃好，同時思考這么三個問題：.定義中說：角的始邊與X軸的非負半軸重合， 如果改為與X軸的正半軸重合行不行，為什么？.定義中有個小括號，內容是：除端點外，請問課本為什么要加這四個字？.是不是任意角都可以歸結為是象限角，為什么？ 處理：學生思考片刻后回答，教師適時予以糾正。答：1.不行，

6、始邊包括端點（原點）；2.端點在原點上；3.不是，一些特殊角終邊可能落在坐標軸上；如果角的終邊落在坐標軸上，就認為這 個角不屬于任一象限。師：同學們一定要學會看數學書，特別是一些重要的概念、定理、性質要斟字酌句，每個字 都要弄清楚，這樣的預習才是有效果的。師生討論：好，按照象限角定義，圖中的300, 3900, -3300角，都是第一象限角；3000, -600角，都是第四象限角；5850角是第三象限角。師：很好，不過老師還有幾事不明，要請教大家：（1）銳角是第一象限角嗎？第一象限角是銳角嗎？為什么？生：銳角是第一象限角，第一象限角不一定是銳角；師：（2）銳角就是小于900的角嗎？生：小于90

7、0的角可能是零角或負角，故它不一定是銳角；師：（3）銳角就是00900的角嗎？生：銳角：。|0。900 ; 00900 的角：。|0 &。900.學生練習（口答）已知角的頂點與坐標系原點重合，始邊落在x軸的非負半軸上，作出下列各角，并指出它們是哪個象限的角？（1） 420;（2） -75;（3） 855;（4） -510 0.答：（1）第一象限角；（2）第四象限角；（3）第二象限角；（4）第三象限角.5.終邊相同的角的表示法師：觀察下列角你有什么發(fā)現 ？ 390-30301470*-1770生：終邊重合.師：請同學們思考為什么？能否再舉三個與300角同終邊的角？生：圖中發(fā)現 3900, -33

8、0 0與 300相差 3600 的整數倍，例如，3900=3600+300, -330 0=-360 0+300;與300角同終邊的角還有 7500, -690 0等。師：好！這位同學發(fā)現了兩個同終邊角的特征，即：終邊相同的角相差3600的整數倍。例如：7500=2 X 3600+300; -6900=-2 X 3600+300。那么除了這些角之外，與 300角終邊相同的角 還有：3 X 3600+300-3 X 3600+3004 X 3600+300-4 X 3600+300由此，我們可以用 S=3 | 3 =kx 3600+ 300, kCZ來表示所有與300角終邊相同的角的集合。師：那

9、好，對于任意一個角“，與它終邊相同的角的集合應如何表示？生：S= 3 | 3=a+kX3600, kCZ,即任一與角a終邊相同的角，都可以表示成角a與整數個周角的和。6.例題講評例1設=小于90o的角F=銳角, G=第一象限的角,M = 小于90,但不小于T的角），那么有（d ）.a. FGS b. FBG。.加與（口。）d. GM = F例2用集合表示：（i）各象限的角組成的集合.（2）終邊落在y軸右側的角的集合.解：（1）第一象限角：小360 o 兀v ak360o+90o,k &第二象限角： a|k360 +90 a k360o+180o,k &第三象限角：處360 o+180ov a

10、k360o+270o,k &第四象限角： a |k360o+270o a k360o+360o ,k Z在-1附曲中，1y軸右側的角可記為 -附。剜 ,同樣把該范圍“旋轉” 卜361后，得-附+也6。9036，立Z,故y軸右側角的集合為 卜上360一902上360+90，上wZ .說明：一個角按順、逆時針旋轉（丘Z ）后與原來角終邊重合，同樣一個“區(qū)間”內的角，按順逆時針旋轉 七,36（）角后，所得“區(qū)間”仍與原區(qū)間重疊.例3 （1）如圖，終邊落在 ，位置時的角的集合是 da= k360o+l20o ,kCZ ；終邊落在 OB位置，且在-36038。內的角的集合是 45o,225o ;終邊落在

11、陰影部分（含邊界）的角的集合是 a |k360o 45ov k360o + 120o ,k 6 Z.練習：（1）請用集合表示下列各角.解答（1）慳190,。上360乩9。+依360、keZ90”間的角第一象限角銳角 小于9角.卜 叁9Q teZ（2）分別寫出：終邊落在了軸負半軸上的角的集合；終邊落在X軸上的角的集合;終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合；終邊落在四象限角平分線上的角的集合.解答（2） 呼=-90660丘司；四二上，1呵keZ卜卜二45、上180，ieZ卜卜=45,+依90，2說明：第一象限角未必是銳角，小于90*的角不一定是銳角，1T3。,間的角，根據課本約定它包括 ，但不

12、包含9 r.例4在。361間，找出與下列各角終邊相同的角，并判定它們是第幾象限角（1）； 出；-950B08;.解：（i）T（r240M6廣，與-:廠角終邊相同的角是24/角，它是第三象限的角;,660B=300T+36（r，與.:廠 終邊相同的角是，它是第四象限的角；（3） -950儲= 12y5”3x36（r所以與 -m 角終邊相同的角是 12為21 它是第二象限角.（1）的草式（2）的草式的草式360P J _ i2C& 3600 J 660360 J 95do8,一湖,沏0108tf2400129*52f總結：草式寫在草稿紙上，正的角度除以360口,按通常除去進行；負的角度除以 至心,

13、商是負數，它的絕對值應比被除數為其相反數時相應的商大1,以使余數為正值.練習：（1）一角為31，其終邊按逆時針方向旋轉三周后的角度數為11_.（2）集合M = a =k 90, kC Z中，各角的終邊都在（C ）A.1軸正半軸上，B.）軸正半軸上，c.1軸或y軸上，d.1軸正半軸或y軸正半軸上設用=卜卜=4 3601+45：比EZ,B = aa =t360 + 225 keZC=a|a = k180+45,kCZ ,口 = cR =上 360T35 kcZ二卜卜=上360. + 45或笈=h360、225 keZ則相等的角集合為 _B=D, C=E_.三.本課小結本節(jié)課我們學習了正角、 負角和

14、零角的概念，象限角的概念，要注意如果角的終邊在坐標軸 上，就認為這個角不屬于任何象限，本節(jié)課的重點是學習終邊相同的角的表示法。判*個角 口是第幾象限角，只要把口改寫成丘Z0YQG6IT 那么在第幾象限，R就是第幾象限角，若角 R與角/適合關系：口 一/=（2勸下0: RZ，則口、終邊相同；若角 。與適合關系： 口-外保+1）儂，在z, 則口、終邊互為反向延長線.判斷一個角所有象限或不同角之間的終邊關系，可首先把它們化為： 杜受或 這種模式（ 0飛e36）， 然后只要考查 d的相關 問題即可.另外，數形結合思想、運動變化觀點都是學習本課內容的重要思想方法. 四.作業(yè)：4-1.1.1 任意角（2）

15、教學目標：要求學生掌握用“旋轉”定義角的概念，理解任意角的概念，學會在平面內建立 適當的坐標系來討論角；并進而理解“正角”“負角” “象限角” “終邊相同的角”的含義。教學重點：理解“正角” “負角” “象限角” “終邊相同的角”的含義 教學難點：“旋轉”定義角課標要求：了解任意角的概念 教學過程：一、復習師：上節(jié)課我們學習了角的概念的推廣，推廣后的角分為正角、負角和零角；另外還學習了象限角的概念，下面請一位同學敘述一下它們的定義。生：略師：上節(jié)課我們還學習了所有與a角終邊相同的角的集合的表示法，板書S= 3 | 3 =a +kx 3600, kC Z這節(jié)課我們將進一步學習并運用角的概念的推廣

16、，解決一些簡單問題。二、例題選講例1寫出與下列各角終邊相同的角的集合S,并把S中適合不等式-3600W 3 7200的元素3寫出來：60;(2) -21 0;(3) 363014解：(1) S= 3 | 3 =600+kX 3600, kC ZS 中適合-360 0W 3 7200 的元素是 600+ (-1 ) X 3600=-300 0600+0X 3600=600600+1 X 3600=4200.S= 3 | 3 =-21 0+kX 3600, kC Z S 中適合-360 & 3 7200的元素是-21 0+0X 3600=-21 0-21 0+1 X 3600=3390-21 0+

17、2 X 3600=6990說明：-210不是00到3600的角，但仍可用上述方法來構成與-21 0角終邊相同的角的集合。S= 3 | 3 =363014 +kx 3600, kCZ S 中適合-360 w 3 7200 的元素是363014 + (-2) X 3600=-356 046363014 + (-1 ) X 3600=3014363014 +0X 3600=363014說明：這種終邊相同的角的表示法非常重要，應熟練掌握。例2.寫出終邊在下列位置的角的集合(1)x軸的負半軸上；(2) y軸上分析：要求這些角的集合，根據終邊相同的角的表示法，關鍵只要找出符合這個條件的一個角即a ,然后在

18、后面加上 kx 3600即可。解：(1)二在0360間，終邊在x軸負半軸上的角為 1800, 終邊在x軸負半軸上 的所有角構成的集合是 3 I 3 =1800+kX 3600, kCZ (2)二在0。360間，終邊在y軸上的角有兩個，即 900和2700, 與900角終邊相 同的角構成的集合是 S= 3 | 3 =900+kX 3600, kCZ 同理，與2700角終邊相同的角構成的集合是&= 3 I 3 =2700+kX3600, kCZ 提問：同學們思考一下，能否將這兩條式子寫成統(tǒng)一表達式？師：一下子可能看不出來，這時我們將這兩條式子作一簡單變化：S1= 3 I 3 =900+kX 360

19、0, kC Z = 3 | 3 =900+2kx 1800, kCZ (1)S2= 3 | 3 =2700+kX 3600, kCZ = 3 | 3 =900+1800+2k X 1800, kCZ = 3 | 3 =900+ (2k+1) X 1800, kCZ ( 2)師：在(1)式等號右邊后一項是1800的所有偶數(2k)倍；在(2)式等號右邊后一項是1800的所有奇數(2k+1)倍。因此，它們可以合并為1800的所有整數倍，(1)式和(2)式可統(tǒng)一寫成900+nX 1800 (nCZ),故終邊在y軸上的角的集合為S= S1US2 = 3|3=900+2kX 1800, kCZ U 3

20、I 3 =900+ (2k+1 ) X 1800, kCZ = 3 | 3 =900+nX 1800, nC Z 處理：師生討論，教師板演。提問：終邊落在x軸上的角的集合如何表示？終邊落在坐標軸上的角的集合如何表示？(思考后)答：3|3=kX 1800, kCZ , 3 I 3 =kX 900, kCZ 進一步：終邊落在第一、三象限角平分線上的角的集合如何表示？答： 3 I 3 =450+nX 1800, nC Z 推廣： 3 I 3 =a +kx 1800, kCZ , 3, a有何關系？(圖形表示)處理：“提問”由學生作答；“進一步”教師引導，學生作答；“推廣”由學生歸納。a a例1若a是

21、第二象限角，則 2M，萬，&分別是第幾象限的角？師：口是第二象限角，如何表示？解：(1)a 是第二象限角， 900+kx 3600。1800+kx 3600 (kC Z).180 +kX 7202a 360+kX 72002o(是第三或第四象限的角，或角的終邊在y軸的非正半軸上。 k 180 + 45 - 巴 n 36090 (k w Z),巴是第一象限的角；22當 k =2n+1(nwZ)時，n 360 + 225 父巴 n 360* + 270 (k w Z),巴是第三象限的 22角。巴是第一或第三象限的角。2說明：配以圖形加以說明。(3)學生練習后教師講解并配以圖形說明。(三是第一或第二

22、或第四象限的角)3進一步求-口是第幾象限的角(-豆是第三象限的角)，學生練習，教師校對答案。三、例題小結.要注意某一區(qū)間內的角和象限角的區(qū)別，象限角是由無數各區(qū)間角組成的；.要學會正確運用不等式進行角的表述同時要會以k取不同的值討論型如。=a+kx 1200 (kCZ)所表示的角所在的象限。四、課堂練習練習2 若a的終邊在第一、三象限的角平分線上，則2a的終邊在y軸的非負半軸上ot內，與一角的終邊相同的3練習3 若a的終邊與600角的終邊相同，試寫出在(00, 3600)角。(20, 140, 260)(備用題)練習4如右圖，寫出陰影部分(包括邊界)的角的集合，并指出-950 012,是否是該

23、集合中的角。( a | 120 0+kX 3600w “ 2500+kx 3600, kC Z;是)探究活動經過5小時又25分鐘，時鐘的分針、時針各轉多少度?五、作業(yè)A組： 1,與一490口終邊相同的角的集合是 ,它們是第 象限的角，其中 最小的正角是,最大負角是.在0360o范圍內，找出下列各角終邊相同的角，并指出它們是哪個象限的角： 265 二(2) 1000(3) 84310(4) 39000B組.寫出終邊在x軸上的角的集合。.寫出與下列各角終邊相同的角的集合，并把集合中適合不等式一3600 3 1、- 匚、工分別是一r r x y x y個確定的實數，所以正弦、余弦、正切、余切、正割、

24、余割是以角為自變量，一比值為函數值的函數，以上六種函數統(tǒng)稱為三角函數。.三角函數的定義域、值域函 數定 義域值域y =sin R-1,11y = cosaR-1,1y = tanaji卜嚴。一+ kk wz 2R汪思：(1)以后我們在平面直角坐標系內研究角的問題，其頂點都在原點，始邊都與x軸的非負半軸重合Ia是任意角，射線 OP是角a的終邊，a的各三角函數值(或是否有意義)與 ox 轉了幾圈，按什么方向旋轉到OP的位置無關.(3)sin a是個整體符號，不能認為是“ sin ”與“ a ”的積.其余五個符號也是這樣.(4)任意角的三角函數的定義與銳角三角函數的定義的聯系與區(qū)別：銳角三角函數是任

25、意角三角函數的一種特例，它們的基礎共建立于相似(直角)三角形的性質，“r”同為正值.所不同的是，銳角三角函數是以邊的比來定義的，任意角的三角 函數是以坐標與距離、坐標與坐標、距離與坐標的比來定義的，它也適合銳角三角函數的定義.實質上，由銳角三角函數的定義到任意角的三角函數的定義是由特殊到一般的認識和研究過程.利用(5)為了便于記憶，我們可以利用兩種三角函數定義的一致性，將直角三角形置于平面直角坐標系的第一象限，使一銳角頂點與原點重合，一直角邊與x軸的非負半軸重合,我們熟悉的銳角三角函數類比記憶.例題分析例1 .已知角a的終邊經過點 P(2,4)，求a的六個函數制值。解：因為x=2, y = 3

26、,所以r =J22 +(_3)2 =尺,于是y-3sin -.= =r.13y3tan a = = HYPERLINK l bookmark102 o Current Document x2cos：x 22 13r 13seca = 一 =；x 2 HYPERLINK l bookmark380 o Current Document x2cotcc = =;y3r . 13例2.求下列各角的六個三角函數值：3 二0 ；(2)兀；(3).解：(1)因為當a=0時，x = r, y=0,所以sin0 =0 , cos0 =1 ,tan0=0,cot0 不存在，sec0 =1 ,csc0 不存在。(

27、2)因為當a = n時，x = -r , y = 0,所以sin n =0, tan 兀=0 , seen = -1,(3)因為當：cosn = -1 ,cotn不存在，cscn不存在。3 二，八,時，x = 0, y = r ,所以23 二sin 萬=-1，,3二一 tan 不存在,23二七七七 sec不存在,23 二八cos =0 ,23 二- cot = 0 ,23 二.csc- = -1 .例3.已知角a的終邊過點(a,2a)(a #0),求“的六個三角函數值。解：因為過點(a,2a)(a *0),所以r = J5|a| ,x = a, y = 2a當 a - 0時,sin2a 2.5

28、r 5|a| 5a 5x acos-=一 二r 、5a5a-；tan = 2;cot 5=-;sec豈：、5;csc ：=22當 a : 0時,sin =工=r2a2a25x a 5aCOSOt =- ；r 5a 5tan ： =2;cot 二=1;sec： - -5;csc =-.22.三角函數的符號由三角函數的定義，以及各象限內點的坐標的符號，我們可以得知：正弦值y對于第一、二象限為正（y a 0,r a 0 ）,對于第三、四象限為負（y 0 ）； r余弦值3對于第一、四象限為正（x A0,r 0）,對于第二、三象限為負（x0）； r正切值y對于第一、三象限為正（x, y同號），對于第二、

29、四象限為負（ x, y異號）.x說明：若終邊落在軸線上，則可用定義求出三角函數值。sin *丁為正csca全正tan 豆,cos ,為正為正cotseca正切、余切y*11二(4) tan 一 3y=2in iv,x ： 0, y 0 |cosx|= -cosx |tanx|=Tanx y= -2x ：:0,y ：:0 x 0,y ：:0|cosx|=-cosx |tanx|=tanxy=0.誘導公式由三角函數的定義，就可知道：終邊相同的角三角函數值相同。即有：sin（口 +2內）=sina , cos（口 +2。）=cosa ,其中 Y Z . tan（ +2kn） =tan”,這組公式的作

30、用是可把任意角的三角函數值問題轉化為02兀間角的三角函數值問題. 三、鞏固與練習 1確定下列三角函數值的符號：(1) cos250,； sin()；(3) tan(-672 );4,一一 cosx tanx2求函數y =的值域cosx tanx解： 定義域：cosx為x的終邊不在 x軸上又 tanx #0 x的終邊不在 y軸上當 x 是第 I 象限角時， x 0, y 0 cosx=|cosx| tanx=|tanx|四、小 結：本節(jié)課學習了以下內容:.任意角的三角函數的定義；.三角函數的定義域、值域；.三角函數的符號及誘導公式。 五、課后作業(yè)：補充：1已知點P (3r,-4 r) (r #0

31、),在角a的終邊上，求sina、cosot、tana的值。2已知角a的終邊經過 P(4, 4),求2sin a+cos 口的值解:, 、3由 te 義：r=5 sin a=5cosa=2sin a+cosa=-55六、板書設計:4-1.2.1任意角的三角函數(2)教學目的：知識目標：i.復習三角函數的定義、定義域與值域、符號、及誘導公式；.利用三角函數線表示正弦、余弦、正切的三角函數值；.利用三角函數線比較兩個同名三角函數值的大小及表示角的范圍。能力目標：掌握用單位圓中的線段表示三角函數值，從而使學生對三角函數的定義域、 值域有更深的理解。德育目標：學習轉化的思想，培養(yǎng)學生嚴謹治學、一絲不茍的

32、科學精神；教學重點：正弦、余弦、正切線的概念。教學難點：正弦、余弦、正切線的利用。授課類型：新授課教學模式：講練結合教 具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、復習引入：1.三角函數的定義及定義域、值域：I-練習1 ：已知角a的終邊上一點P(，3, m),且since =m 求cos ,sin久的值。4解：由題設知 x = J3, y = m,所以 r2 =|OP|2=(J3)2+m2 ,得=用甫，從而 sin支=m = m = , m =,解得 m=0或 16 = 6 + 2m2= m = J5 .4 r 3 m2當 m=0時，r = 6, x =-囪， TOC o 1-5 h z xycos

33、= - = -1, tan a = - = 0 ； rx當 m =45 時,r -2,2, x - -、3 ,x 6 , y 15= ,tan -：=-=r 4x 3=_屈時，r = 2 x/2, x = V3,x 6y .15cosa =_ = -, tan =.r 4x 3.三角函數的符號：練習 2：已知 since 0,aaa(3)試判斷 tan ,sincos的符222a(1)求角豆的集合；(2)求角一終邊所在的象限;2號。.誘導公式：練習3:求下列三角函數的值:, /、9/小 ，11二、cos ， tan(-),6二、講解新課：9 二(3) sin 2當角的終邊上一點P(x, y)的

34、坐標滿足Jx2 +y2 =1時 有三角函數正弦、余弦、正切 值的幾何表示一一三角函數線。.單位圓：圓心在圓點 O,半徑等于單位長的圓叫做單位圓。.有向線段：坐標軸是規(guī)定了方向的直線，那么與之平行的線段亦可規(guī)定方向。 規(guī)定：與坐標軸方向一致時為正，與坐標方向相反時為負。.三角函數線的定義：設任意角口的頂點在原點O,始邊與x軸非負半軸重合，終邊與單位圓相交與點P (x, y),過P作x軸的垂線，垂足為 M ;過點A(1,0)作單位圓的切線，它與角 a的終邊或其反向 延當角a的終邊不在坐標軸上時，有向線段sina=2=y = y= MP ,r 1cos =W=W=x = om r 1ytan =二一

35、 xMP ATOM OAOM =x,MP = y ,于是有我們就分別稱有向線段 MP,OM , AT為正弦線、余弦線、正切線。說明：三條有向線段的位置：正弦線為 a的終邊與單位圓的交點到 x軸的垂直線段；余弦線在x軸上；正切線在過單位圓與 x軸正方向的交點的切線上， 三條有向線段中兩條在單 位圓內，一條在單位圓外。三條有向線段的方向：正弦線由垂足指向a的終邊與單位圓的交點；余弦線由原點指向垂足；正切線由切點指向與 a的終邊的交點。三條有向線段的正負：三條有向線段凡與x軸或y軸同向的為正值，與 x軸或y軸反向的為負值。三條有向線段的書寫：有向線段的起點字母在前,4.例題分析：例1.作出下列各角的

36、正弦線、余弦線、正切線。終點字母在后面。(*(3) 一字解：圖略。例2.利用三角函數線比較下列各組數的大小：13二(4) -飛解:.2二匕.sin與sin3如圖可知：tan 一sin.4 二sin 一5tan4 二 tancot54 二 cot53一24 二白cot與cot 一例3.利用單位圓尋找適合下列條件的0孽IJ 360涌角解:一11 sin ot 2 tan例4.利用單位圓寫出符合下列條件的角(1)1sin x -;2(3)0 x 冗,sin x a 一且 cos x 一 ； 22(4)答案:(1)11:2k二：二 x :二 6.1 1，(5) sin x 至一且 tanx 1 .2n

37、+ 2kn,Y Z ;(2)+ 2依x 十2依，ZZ ;冗(3):二 x5 二一，k = Z ； (4)6ji ji 一 k 二：x ：二一6ji ji3 二(5)+2knx +2kn,kuZ.24三、鞏固與練習 四、小 結：本節(jié)課學習了以下內容：.三角函數線的定義；.會畫任意角的三角函數線；.利用單位圓比較三角函數值的大小，求角的范圍。五、課后作業(yè)：補充：1 .利用余弦線比較 cos64,cos285的大小；2 .若二 日 ,則比較sin8、cose、tan8的大小； TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark291 o Current Document 423 .

38、分別根據下列條件，寫出角 日的取值范圍：(1) cos -. HYPERLINK l bookmark48 o Current Document 22六、板書設計：4-1.2.1任意角的三角函數(3)教學目的：知識目標：i.理解三角函數定義.三角函數的定義域，三角函數線.理解握各種三角函數在各象限內的符號|.理解終邊相同的角的同一三角函數值相等.能力目標：1.掌握三角函數定義.三角函數的定義域，三角函數線.掌握各種三角函數在各象限內的符號|.掌握終邊相同的角的同一三角函數值相等.授課類型：復習課教學模式：講練結合教 具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、復習引入：.誘導1、三角函數定義.三角函數

39、的定義域， 三角函數線，各種三角函數在各象限內的符號 公式第一組.確定下列各式的符號sin100 - cos240(2)sin5+tan5sin x cos x - c. . x取什么值時，有意乂 ？tan x TOC o 1-5 h z .若三角形的兩內角 a, 口滿足sin acosP0,則此三角形必為 ()A銳角三角形B 鈍角三角形 C直角三角形 D以上三種情況都可能.若是第三象限角，則下列各式中不成立的是()A: sin a+cosa0B : tan ot-sin ot0C: cosa-cot ot 0D : cototcscot 0SS.已知。是第三象限角且cos 0 ,問一是第幾象

40、限角？ HYPERLINK l bookmark152 o Current Document 22二、講解新課：1、求下列函數的定義域：y = 42cos x 一1 ;(2) y = lg(34sin 2 x)sin 2、.2、已知二i 0,試指出0所在的象限，并用圖形表示出 9的取值范圍.2sin 8 0證明：必要性：.0是第三象限角，sin日 0 0充分性： sin 0 0,0是第一或第三象限角|sin 0 0 都成立 |0為第三象限角|5 求值：sin(-1320 )cos1110 +cos(-1020 )sin750 +tan495 .三、鞏固與練習十后將 sin x,cosx,tan

41、x J cotx|儂/士”1求函數y =+ + !的值域 TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark184 o Current Document |sinx| cosx|tanxcotxaotct2設洲第二象限的角，且|cos|=-cos,求一的范圍. HYPERLINK l bookmark186 o Current Document 222四、小 結：五、課后作業(yè)：1、利用單位圓中的三角函數線，確定下列各角的取值范圍：(1) sin a cos a ; (2) |sin a |cos a | .3T2、若0 x 一 ,求證：sinx x 0),那么：sin a =

42、 , cosot =- , tana = , cot a = , seca =- , csca.rrxyxy.當角a分別在不同的象限時，sin a、COSa、tg a、ctg a的符號分別是怎樣的？ .背景：如果sinA = 一, A為第一象限的角，如何求角 A的其它三角函數值；5.問題：由于a的三角函數都是由x、y、r表示的，則角a的六個三角函數之間有什么關 系？二、講解新課：(一)同角三角函數的基本關系式：(板書課題：同角的三角函數的基本關系).由三角函數的定義，我們可以得到以下關系：sin 口csc 口 =1(1)倒數關系：cos 口secct =1Jan 口cot 口 =1產tanas

43、ina(2)商數關系：cot acos支 cosasinasin2 豆,2.+cos 汽=1(3)平方關系：1 + tan220t =sec a1 +cot22豆=csc豆sinA cosAsecAcscA.給出右圖，你能說明怎樣利用它幫助我們記憶三角函數的基本關系嗎？(1)在對角線上的兩個三角函數值的乘積等于1,有倒數關系。(2)帶有陰影的三個倒置三角形中，上面兩個三角函數值的平方和等于下面頂點上的三角函數值的平方。有平1 . 、/. r- 方關系。(3)六邊形上任意一個頂點上的函數值等于與它相鄰的兩個頂點上的函數值的乘積。 可演化出商數關系。說明：注意“同角”，至于角的形式無關重要，如si

44、n2 4/ +cos2 4a =1等；注意這些關系式都是對于使它們有意義的角而言的，如k 二tana cot a =1 # 萬,kw Z)； TOC o 1-5 h z 對這些關系式不僅要牢固掌握，還要能靈活運用(正用、反用、變形用)，如：2.2,2sin ;cosa = 1 -Sin a , sin a =1 -cos a ,cosot =等。tan.3.例題分析:cos,tana,cota .一 一 12.例1. (1)已知sin = ，并且a是第二象限角，求134.(2)已知 cosa = 一一 ,求 sin a, tan a .5解：(1) sin2a+cos2久=1 ,2212 2/

45、 5.2 - cos a =1 -sin a =1 _()=(), 1313又 口是第二象限角， HYPERLINK l bookmark128 o Current Document 5.cosa 0,即有 cosa =一一,從而13sin j 12112tan 3 = 一- ,cotct =/c、.221.2/2/,4、2, 3、2(2) . sin a +cos a =1 sin a =1 -cos 口 =1 一(一一)=(一), HYPERLINK l bookmark130 o Current Document 554 一一又 cosa = - 0,從而sin 口 =3, tana =

46、_sn =3 ;5cos-4當a在第四象限時，即有 sin a 0 ,從而 cosa = J,1 tan2 ;=tan 二 cos =tan ： h 1 tan2 ：當a在第二、三象限時，即有CQSa .1 tan ;. cos 工即 sin：=cot ;例 3.已知 cot a = m ( m 0 0),求 cosa TOC o 1-5 h z cos 0,cosa 0,2. .1 .cos ： (1 2) =1 mcosa工;：m2 1cos：m2m2 12m21 m4 .總結解題的一般步驟：確定終邊的位置（判斷所求三角函數的符號）根據同角三角函數的關系式求值。三、鞏固與練習第27頁練習1

47、 , 2, 3, 4四、小 結：本節(jié)課學習了以下內容：.同角三角函數基本關系式及成立的條件；.根據一個角的某一個三角函數值求其它三角函數值；.在以上的題型中：先確定角的終邊位置，再根據關系式求值。如已知正弦或余弦, 則先用平方關系，再用其它關系求值；若已知正切或余切，則可構造方程組來求值。 五、課后作業(yè)：六、板書設計：4-1.2.2同角三角函數的基本關系（2）教學目的：知識目標：根據三角函數關系式進行三角式的化簡和證明；能力目標：（1）了解已知一個三角函數關系式求三角函數（式）值的方法。（2）靈活運用同角三角函數關系式的不同變形，提高三角恒等變形的能力;德育目標：訓練三角恒等變形的能力，進一步

48、樹立化歸思想方法；教學重點：同角三角函數的基本關系式教學難點：如何運用公式對三角式進行化簡和證明。授課類型：新授課教學模式：啟發(fā)、誘導發(fā)現教學 .教 具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、復習引入：1.同角三角函數的基本關系式。(1)倒數關系：sina csca =1 , cosa secx =1, tana cota =1./c、聲就斗名 sin 二 xx cos：(2) 商數關系： =tanct , cota =-.(3)平方關系：sin2 a +cos2a =1 , 1 +tan2a =sec2 a , 1+cot2a =csc2o(.一 一 44(練習)已知 tana =，求cosa32

49、. tan a cosa =, cotaseca =, (seca +tan a ) () =1 二、講解新課：例 1 .化簡 V1-sin2440 .解：原式=71-sin2(360C+80S) = J1-sin280 = Jcos280 = cos80 .例 2.化簡 J1 2sin 40%os40 .解：原式=sin2 40, cos2 40； - 2sin 40,cos40=V(sin40 cos40 ) =|cos40 sin40 |=cos40 sin40 .例 3、已知 sina =2cosa ,求 si -4cos2. 一一. 25一cos：) =1 -2sin.：cos =1

50、 一 = 一33sin3一 一，25例 5、已知 tan ： - cot ：=122, 2求 tan 二一cot 也 tan 二一cot :,3,3.tan 二， cot : , sin 工, cos 二,-22625 -斛：由題設： tan 二，cot ： = - 2, 14422tan -一cot ;tan : - cot :-74 =12二(tan .w : cot ： )(tan :、 25,7、-cot 二)()=_1212175144 TOC o 1-5 h z ,3,32. 2tan 二+cot 二=(tan .工二 cot ： )(tan .二二 cot 二-tan 二 cot

51、 ：)25337 八 25 1934825二(1)=1214412 1441728 127sin 二 -cos : .1 2sin .二cos =1 2= 一25525.12(tan 工 cot ：=sin : cos:sin 二 cos )1225133例 6、已知 sin a + cosot =- (0 0 n),求 tan 6及 sin 6 - cos 6 的值。5解：1 由 sin a cosct = -一25(sin： -cos：)249250 0 n,得：cos1306 ( , n)2m.7得：sinH cosH = 一聯由1 W5 7S5- -d d口 G+ -.r .口i -

52、n-5c Jo = s5Sin8s(5)3 一 (一|)391125例7、已知sin a =4_2m, cosa = m3, a是第四象限角，求tan a的值。 m 5m 5解：sin 2a + cos 2a = 1(lm)2 g)2 =1m 5 m 5化簡，整理得：m(m-8)=0m1 = 0,m2 =8當m= 0時,當m= 8 時,三、鞏固與練習 HYPERLINK l bookmark110 o Current Document 3sina=, cos =-一，(與a是用四象限角不合) HYPERLINK l bookmark132 o Current Document 512512si

53、na = , cosa =一, ，tana = 一一131351:已知 12 sina +5 cos =0,求 sina、cos 的值.解：12 sin 工 +5 cos。: =05一 . 2 一 2 . .sina=-coscf ,又 sin 2 a + cos2 a =1125貝U (一 一 cos ：12o 144=1 ,即 cos2 a =16912 cosa = 1313或/125sin =二一1312cos：cos：=13134sin二-2cos：2.已知tan口=3,求（1）5cos 2 +3 sin ;5原式=亍 2sin2a + sin a cos a - 3 cos 2 a

54、 原式=說明：（1）為了直接利用tana = 3,注意所求值式的分子、分母均為一次齊次式，把分子、 分母同除以cos a，將分子、分母轉化為tana的代數式；22（2）可利用平萬關系 sin a +cos a =1,將分子、分母都變?yōu)槎锡R次式，再利用商數關系化歸為tana的分式求值;3(1)tg2A sin2 A =tg2A sin 2 A(2)設132sin xcosx = ，下sin x - cos x 514cosx -5sin x22(3)ctgx = 一，求(1); (2)8sin x -9cos x.46cosx 7sin x(4)化簡(1) . sec2 30 -1(2) .

55、cos2 x - 6cosx 9(3). sin210 -2sin10 cos10cos210/. 441 -sin x -cos x661 -sin x -cos x(5) ctgA-tgA . secA sin2 A -cos2 A sin A4.已知 seca tg a =5, 求 sin a。解 1 : seca tg a =5=5 X 1=5 ( sec2 a tg2 a ) =5 ( seca +tg a ) ( seca tg a ),故sec+ +tg a =1/5,貝U seca =13/5 ,12tg a = 12/5； sin a =tg a - cos a =-13解2

56、:由已知:1 yin 二一5, sin 二-1, cos： : 0 cos 二貝U1-sin ： = 5 1 -sin2 ： = sin ： =1,orsin ;二12135.已知 sin 日 +sin 2 8=1,求 cos2 日 +cos6 9 值;解：可求,5 -12322 .= sin? sin ? - sin ? (1cos i)sin? - 2sin 二-sin i-3sin i-1:3 -l23 5 -5tan tan 3 =3又 1+ tan2 31cos2 ：分析：本題關鍵時靈活地多次運用條件sine +sin日=1從而結合同角三角函數關系式達到降次求解的目標；小結：化簡三角

57、函數式，化簡的一般要求是：（1）盡量使函數種類最少，項數最少，次數最低；（2）盡量使分母不含三角函數式；（3）根式內的三角函數式盡量開出來；（4）能求得數值的應計算出來，其次要注意在三角函數式變形時，常常將式子中的“1”作巧妙的變形，222222如：1 = sin cos - = sec - - tan - = csc - - cot 工四、小結：本節(jié)課學習了以下內容：.運用同角三角函數關系式化簡、證明。.常用的變形措施有：大角化小，切割化弦等。五、課后作業(yè)：習題 4.4 第5, 7, 8題思考：已知sin a =2sin,tana =3tan 3 ,求 cos2 口 的值.sin工解：sin

58、 3 = 一tan ：11361+=，即 8 +=22_29 sin 二cos 二 3 cos ;1 4-42一 一cos =二1 或 cos ;即 8 cos 二一11 cos 工3 =0,解得六、板書設計:4-1.2.2同角三角函數的基本關系（3）教學目的：知識目標：根據三角函數關系式進行三角式的化簡和證明；能力目標：（1）了解已知一個三角函數關系式求三角函數（式）值的方法。（2）靈活運用同角三角函數關系式的不同變形，提高三角恒等變形的能力;德育目標：訓練三角恒等變形的能力，進一步樹立化歸思想方法;教學重點教學難點授課類型教學模式同角三角函數的基本關系式如何運用公式對三角式進行化簡和證明O

59、新授課啟發(fā)、誘導發(fā)現教學 .教 具：多媒體、實物投影儀教學過程：一、復習引入：(1)倒數關系:(2)商數關系:sina csca =1 ,sin 二，=tan 口 ,cosa sect =1 , tana cota =1 ., cos： cot.=(3)平方關系:cos：sin ;.22.22),22sin a +cos a =1 , 1 +tan a =sec a , 1 + cot a =csc a .4(練習)已知 tana = ，求cos32. tan a cos a二、講解新課:,cot a sec a,(sec a +tan a ) ()=1例8.已知1 sin 二1 -sin ;

60、-sn = -2 tana，試確定使等式成立的角a的集合。1 sin ;解：;1 -sin :(1 sin 二)2cos2 二2(1 -sin：。|1 sin 一：“ |1 - sin ;cos2 二|cos：- | |cos： |1 sin - -1 sin ; 2sin 工|cos 二 |cos： |又1 sin：2sin -| cos 工 |1 一sin 二2sin -cos-1 -sin 二 八， =-2 tan a ,1 sin 工即得 sina =0 或 | cosa 尸-cosa 豐 0 .3 二所以，角 a 的集合為：a |a =kn 或 2kn +2 + , k =2例 9.