1、第二章 微觀經濟學分析的數學方法凸集定義 例子1維空間：單個點2維空間： 直線、射線、線段 圓、橢圓、矩形、梯形、三角形等三維空間呢？總結“沒有任何孔，邊緣不能有縮進” 蔣中一意義經濟分析中，常假設可行集合（約束集）為凸集。約束條件下可行集是凸集保證最優解唯一的必要條件。問題經濟學分析中，有哪些約束集合？練習題：判斷下列集合是否為凸集凹函數（concave）凹函數的定義以最簡單的單變量函數為例來定義： ， 和 是定義域中的兩個量， 令 ， 如果滿足 則稱為凹函數（小于等于，凸函數） 若 則稱為嚴格凹函數（小于，嚴格凸函數）直觀圖形嚴格凹函數ABCD直觀圖形非嚴格凹函數總結兩點間的曲線（弧）與兩

2、點間的直線重合，或在其之上。用一階導數來定義xf(x)圖示總結該曲線與其切線重合或者位于其切線的下方。過曲線上任何一點的做切線，該曲線均在切線或切線下方。凹函數的定義對雙變量函數來說： 圖示ABCDzy總結在曲面上，任何兩點的連線均在對應的曲線的下方，則稱為凹函數。一階導數的定義當且僅當：即：做任何一個切面，函數值均在切面或切面之下。對于多變量函數凹函數的二階導數的判定方法若函數存在二階連續偏微分，則：與上述判定方法等價的方法：引入海塞矩陣多變量函數：該函數的一階全微分表示為：二階全微分表達式簡化表達海塞矩陣（二階導數矩陣）二階全微分的簡潔表達（引入海塞矩陣）二階導數的判定方法當且僅當海塞矩陣

3、為負半定時，該函數為凹函數。 負半定：即順序主子式值正負交替變化，一階小于等于零，二階大于等于零當（非當且僅當）海塞矩陣為負定時，該函數為嚴格凹函數。 負定：即即順序主子式值正負交替變化，一階小于零，二階大于零順序主子式值正負交替變化二階導數的判定方法當且僅當海塞矩陣為正半定時，該函數為凸函數。 正半定：即順序主子式值全部大于等于零當（非當且僅當）海塞矩陣為正定時，該函數為嚴格凸函數。 正定：即即順序主子式值全部大于零練習檢驗下列函數的凹凸性：（使用順序主子式方法檢驗）擬凹函數（quasiconcave）定義定義圖示N函數圖形上任意一段弧MN,使N點高于M點，如果除M和N點外，該弧段上的點均高

4、于或等于M點，則該函數為擬凹函數。AB思考：與凹函數的關系？凹函數一定是擬凹函數，但擬凹函數不一定是凹函數。擬凹性是比凹性要弱的條件。典型圖示Xf(x)上等值集判定方法如果該函數的上等值集是凸集，則該函數為擬凹函數。上等值集的定義：例子：一階導數定義擬凹函數的二階必要條件加邊海塞矩陣擬凹函數的充分條件擬凸函數的充分條件練習無約束條件下的極值問題最優化的一階條件滿足一階條件是極值的必要條件？充分條件？雙變量的情形AA二階條件二階必要條件回憶：關于凹函數等式約束條件下的最優化問題自由極值、約束極值在無約束的最優化問題中，決策變量之間是彼此獨立的。但是當存在約束條件時，決策變量之間就要受到相互影響。

5、xyz自由極值約束極值多約束條件下：約束條件的數量應少于決策變量的數量約束條件下求極值的方法拉格朗日乘數法 目標函數： 約束條件： 構造一個新函數： 面臨多個約束時的一階條件面臨多個約束時的一階條件拉格朗日乘數的含義單個等式約束情形下極值的二階條件極大值的二階充分條件：用海塞加邊行列式注意：與前面自由極值不同，所加的邊是約束條件函數的一階導數，而非目標函數的一階導數；二階矩陣是關于新函數F的二階導數。負定多重等式約束的二階條件：略，參見蔣中一P504擬凹函數與極大值當函數為二階連續可微的嚴格擬凹函數時，則在滿足一階條件的點上，二階條件也能滿足極大值的要求。當約束集是凸集（例如等式且線性約束）時，存在唯一的約束極大值解。練習不等式約束條件下極值問題*線性規劃非線性規劃人有了知識，就會具備各種分析能力，明辨是非的能力。所以我們要勤懇讀書，廣泛閱讀，古人說“書中自有黃金屋。”通過閱讀科技書籍，我們能豐富知識，培養邏輯思維能力；通過