1、數列求和S=a+b+c+d+e+f+g+h數列求和介紹求一個數列的前 n 項和的幾種方法：1、運 用 公 式 法2、錯 位 相 減 法3、裂 項 相 消 法4、通 項 分 析 法數列求和一、 運用公式法 運用公式法主要是使用已經證明，并承認其在解決其他問題時可以使用的公式來進行數列求和。如：等差數列的求和公式：等比數列的求和公式：還有一些常用公式：請看下面例子：數例1 求數列 的前n項和分析：由這個數列的前五項可看出該數列是由一個首項為1、公差為2的等差數列與一個首項為 、公比為 的等比數列的和數列。所以它的前n項和可看作一個等差數列的前 n項和與一個等比數列的前n項和的和。解：歸納出：奇數列

2、的前n項和列求和1這類題的方法可用“分組求和法”二、錯 位 相 減 法 錯位相減法在等比數列求前 n項和時用過；它主要用于由一個等差數列與一個等比數列的積數列。求法步驟如下：1、在 的兩邊同時乘于公比q2、兩式相減 ；左邊為 ，右邊q的同次式相減3、右邊去掉最后一項（有時還得去掉第一項）剩下的 各項組成等比數列，可用公式求和。看以下例子數列求和例2 求數列 的前n項和 分析：該數列可看作等差數列 等比數列 的積數列這里等比數列的公比 q =解：兩式相減：所以：運算整理得：數列求和2例3 設 求數列 的前n項和 分析： 這個數列的每一項都含有a，而a等于1或不等于1，對數列求和有本質上的不同，所

3、以解題時需討論進行 解：兩邊同乘a:兩式相減：所以：運算并整理得：數列求和2三、裂 項 相 消 法 顧名思義，“裂項相消法”就是把數列的項拆成幾項，然后，前后交叉相消為0達到求和目的的一種求和方法。求 法 步 驟1、先分析數列的項的結構，把通項式“裂”成幾項。（注意：裂開后的通項式當n=k和n=k+d時有相消為0的情況出現才行）2、解題時；對裂開后的通項式令n取1，2，3，,n然后相加得3、把和式中每一對相消為0的式子除去，整理剩下的 式子即為和式。請 看 下 面 例 子數列求和例4 求數列 的前n 項和。分析：該數列的特征是：分子都是1，分母是一個以1為首項，以3為公差的等差數列的相鄰兩項的

4、乘積。只要分子變為公差3，就可以裂項了。解：數列求和3例5 求數列 的前n項和分析： 該數列的分子是偶數的平方，分母是奇數列相鄰兩項的乘積；從例4的經驗看：該數列求和使用“裂項相消法”的可能性較大，那就看分子能否化為常數。注意到該數列的通項公式的特征：分子、分母同次且沒有一次項；所以使用處理分式函數的常用手段：“分離常數法”即可把分子化為常數。變化如下：數列求和3解：共 n 項數列求和3例6 已知 求 S分析：由階乘的性質可知： 所以：于是該和式求值可用“裂項相消法”解：數 列求和3四、通 項 分 析 法 通項分析法就是根據前面學過的運用公式法、錯位相減法、裂項相消法為基礎，對數列的通項公式進

5、行分析，從而決定使用那種方法求和。求 法 步 驟1、確定所求和數列的通項公式，必要時，注意使用由已 知數列的前幾項，求這數列的一個通項公式的方法2、分析通項公式時，在確定首項、末項、及項數的同時 還要分析清楚是那些數列的和、差、積、商數列。 請 看 下 面 例 子數列求和例7 求數列 的前n項和分析：由數列的結構來分析，該數列的第k項應該是：通過分析可知：該數列是以 為首項，以 為末項，共有n項的數列。從通項公式的結構來分析，該數列是一個以2為首項，以2為公比的等比數列與一個常數列的差數列。所以它的前n項和是一個等比數列的前n項和與一個常數為1的常數列的前 n項和的差。通過這樣分析，確定解題方

6、向就方便了解：數列求和4例8 求和 分析：這個數列是數列1，2，3. . . n與它的倒序數列的積數列，共有n項，在這里把n看成常數來分析它的通項就容易了。(k取從1到n的自然數）所以，該數列可以看作通項為 的三個數列的差、和數列解：數列求和4例9 求數列 前n項和分析：由 所求數列的每一項都是一個等比數列的和，其第k項 通項公式理解清楚后，現在可以就以上三種情況考慮求和了該數列是自然數列，求和容易。n為偶數時n為奇數時此時的和式，轉化為求數列的通項公式解：數列求和4分析：所以：每一項由三個連續自然數的積組成，前后兩項有兩個因子相同，很自然聯想使用裂項相消求和。對例10的兩種解法進行歸納可以清楚看到平時練習時有意識的經驗積累，在關鍵時產生聯想是很有幫助的。 數列求和4例11 設等差數列 的前n項為 ，且 ， 若 ，求數列 的前n項和 分析：由已知該數列是等差數列且已知 ，所