1、名師課件 經典收藏課程名稱 高等數學1三重積分的概念三重積分的計算小結 思考題 作業(triple integral)第四節三重積分第九章 重積分2是空間有界閉區域上的如當各小閉區域直徑中的最大值在每個 1. 三重積分的定義將閉區域任意分成n個小閉區域 其中并作和作乘積有界函數.也表示它的體積.表示第i個小閉區域,上任取一點三重積分一、三重積分的概念(define)3記為函數趨于零時這和的極限總存在,則稱此極限為在閉區域上的三重積分. 即體積元素三重積分43. 三重積分的幾何意義(2)設被積函數連續函數一定可積2. 三重積分存在性則區域 的體積為在上是可積的.的三重積分存在性時,三重積分(ex

2、istence)(1)占有空間區域體密度函數為的立體的質量為:5二、三重積分的計算1. 在直角坐標系下計算三重積分故直角坐標系下的體積元素為在直角坐標系下三重積分可表為在直角坐標系中,如果用平行于坐標面的平面的來劃分三重積分6設平行于z軸的直線與的邊界面至多相交于兩個點.(1) 設在xoy平面上的投影區域為以的邊界曲線為準線,作母線平行于z軸的柱面,把的邊界曲面分為上,下兩部分:直角坐標系中將三重積分化為三次積分思想是1.投影法 (先單后重法)三重積分7三重積分即設在上連續,在上連續,在上連續.8的一元函數,是分布在線段(2) 對過作平行于z軸的直線穿過區域則由曲面穿入,穿入點由曲面穿出,穿出

3、點上的質量在豎坐標z處的線密度,從而線段上的質量為:三重積分9(4) 把物體質量看成分布在占有平面閉區域的平面薄片上,點處的面密度為則物體的質量為:由于先單后重先對z,次對y,最后對x的三次積分則三重積分10注相交不多于兩點情形.則考慮化為先對z,后對xy的累次積分.過程如下:三重積分(1) 將投影到xy平面,得區域(2) 對作平行于z軸的過直線穿過區域看看由哪個曲面穿入,哪個曲面穿出,從而定出z的上下限.(3) 最后再由二重積分的方法將化為二次積分即可.11所以,三重積分可以化為六種不同次序的三次積分(累次積分).和積分域選取適當的三次積分進行計算.解題時,要依據具體的被積函數同樣,也可以把

4、積分域向yOz、zOx面投影.三重積分12截面法(先重后單法)解計算三重積分例1 原式=三重積分13投影法(先單后重法)計算三重積分三重積分?14例2 求由旋轉拋物面和平面所圍成的立體的質量,假設立體上各點處的密度與該點到z軸的距離成正比.三重積分152 截面法(紅色部分)(先重后單法)截面法的一般步驟(1)投影,得投影區間(2)(3)計算二重積分(4)最后計算單積分三重積分即16 即當被積函數僅與變量z有關,截面法的公式還有兩個.?用上公式簡便. 希望自己推注且截面Dz易知時,三重積分17例4 已知橢球V: 內點(x,y,z)處質量的體密度為: 求橢球的質量.提示三重積分計算三重積分例3 1

5、8解因為先求三重積分即其中19利用對稱性(區域關于x=0對稱,被積函數關于x是偶函數),由對等性知因此所以三重積分20(1) 如果被積函數是單變量z(或x,y)的函數,并且總結:用z=常數(或x=常數,y=常數)截空間區域得到的截面的面積易求,則考慮把三重積分化為先重(對xy)后單(對z)的累次積分來計算;(2) 將三重積分化為三次積分時,一定要先單后重或先重后單,不要直接化為三次積分;(3) 充分利用對稱性.三重積分21計算三重積分例5 解 利用輪換對稱性:區域的邊界面方程中x換成y, y換成z, z換成x,區域的邊界面方程不變.則該區域上的三重積分的被積函數中的 x換成y的積分與y換成z的

6、積分, z換成x的積分相等.三重積分22從而于是三重積分23例6 改變下列積分次序.步驟: 1. 先畫圖 (先畫邊界曲面,再圍成);2. 退三次積分為先單后重或先重后單.yxz三重積分24解: (1) (2)xy三重積分25解兩曲面的交線為所以, 例7極坐標三重積分26規定直角坐標與柱面坐標的關系為就叫點M的柱面坐標.三重積分2.利用柱面坐標計算三重積分cylindrical coordinates設M(x, y, z)為空間內一點,并設點M在xOy面上的投影P的極坐標為則這樣的三個數27柱面坐標系中, 以z軸為中心軸的圓柱面；過z軸的半平面.與xOy平面平行的平面;三坐標面分別為三重積分稱點

7、M的柱面坐標28柱面坐標系中的體積元素為 在柱面坐標系中,如圖,得小柱體即直角坐標系下三重積分與(紅色部分).若以三坐標面分割空間區域柱(面)坐標系下三重積分的關系是三重積分29? 如何計算柱坐標系下三重積分回想直角坐標系下計算三重積分方法.將三重積分化為三次積分(累次積分)三重積分30柱坐標系下三重積分的計算, 可得柱坐標系下三重積分化為三次積分與x, y, z等同的看為三個變量. 如,極坐標不等式表示只要把被積函數中的的計算公式. 類比公式先將在xOy面上的投影域用三重積分31三重積分從而故再確定的下, 上邊界面32 當化三重積分為先單后重或先重后單,而算上的重積分需用極坐標計算時,則考慮

8、用柱面坐標變換.注三重積分33如積分域為圓柱域(如圖).則三重積分34例8 求三重積分其中是由球面與拋物面所圍成的位于第一象限的部分.三重積分35例9 求三重積分其中由平面與圓柱面所圍成.三重積分36解?如先對z積分其中是由錐面例10與平面思考所圍成的錐臺體.柱面坐標三重積分37可看出如先對z積分,(積不出來).將遇到積分最后對z積分.三重積分這里應先對 積分,38 當被積函數是積分域由圓柱面 (或一部分)、錐面、拋物面用所圍成的.柱面坐標計算三重積分較方便.三重積分39記投影向量與x軸正方向的規定正方向間的夾角為夾角為球面坐標.稱為點M的三重積分3.利用球面坐標計算三重積分設M(x, y,

9、z)為空間內一點,向xOy平面投影,40球面坐標系中的三坐標面分別為原點為心的球面；過z軸的半平面球面坐標與直角坐標的關系為原點為頂點、z軸為軸的圓錐面；三重積分41球面坐標系中的體積元素為若以三坐標面分割空得小六面體(紅色部分).于是,在球面坐標系中，間區域三重積分42通常是注三重積分記43注: 化球面坐標系鐘的三重積分為三次積分時要根據積分區域的特點來決定積分限.1. 若積分區域的邊界曲面是一個包含原點在內的閉曲面,其球面坐標方程為:則三重積分44特別若積分區域由所圍成,則再特別時,由上式得到求的體積三重積分45若原點不在積分區域的內部,則按以下方法確定積分限.通常是注(1) 作兩個過z軸

10、的半平面夾緊積分區域,這兩個半平面對應著則對積分的上下限分別為:(2) 用的半平面L截積分區域,得到截面S在L內過原點作兩射線夾緊S,這兩射線對應著則對積分的上下限分別為:則對積分的上下限分別為:三重積分46(3) 設固定,即用過原點的射線穿過區域,設穿入穿出曲面為:則對r積分的上下限分別為:故結論: 當積分區域為球面,球面與錐面等圍成,被積函數中含有則考慮用球面坐標變換.時,三重積分47例12 計算其中例 13 求半徑為a的球與半頂角為的內接錐面所圍成的立體的體積.例14 求曲面所圍成的立體的體積.三重積分48當積分區域是球形域或上半部是球面下半部是頂點在原點的錐面,被積函數具有的形式時,用球面坐標計算三重積分較簡便.或是球的一部分;三重積分49柱面坐標系下計算三重積分柱面坐標體積元素 )三重積分三、小結三重積分的定義直角坐標系下計算三重積分(思想:計算時將三重積分化為三次積分)三重積分的計算(四步:分割、取近似、求和、取極限)(直角坐標體積元素 )(柱面坐標與直角坐標的關系50三重積分球面坐標系下計算三重積分球面坐標體積元素 )(球面坐標與直角坐標的關系使用對稱性簡化運算恰當選擇坐標系計算三重積分(注意選擇的原則)5