1、力學（第二版）漆安慎習題解答第八章彈性體的應力和應變第八章一、基本知識小結1彈性體力學研究力與形變的規律；彈性體的基本形變有拉伸壓縮形變和剪切形變，彎曲形變是由程度不同的拉伸壓縮形變組成，扭轉形變是由程度不同的剪切形變組成。2應力就是單位面積上作用的內力；如果內力與面元垂直就叫正應力，用c表示;如果內力方向在面元內，就叫切應力，用T表示。3應變就是相對形變；在拉壓形變中的應變就是線應變，如果lo表示原長，Al表示絕對伸長或絕對壓縮，則線應變c=Al/lo;在剪切形變中的應變就是切應變，用切變角書表示。力與形變的基本規律是胡克定律，即應力與應變成正比。在拉壓形變中表示為c=YcY是由材料性質決定

2、的楊氏模量，在剪切形變中表示為t=N書，N是由材料性質決定的切變模量。發生形變的彈性體具有形變勢能:拉壓形變的形變勢能密度Ep0舟Y2，剪切形變的形變勢能密度Ep01N26梁彎曲的曲率與力偶矩的關系7桿的扭轉角與力偶矩的關系123YbhNR42l、思考題解答8.1作用于物體內某無窮小面元上的應力是面元兩側的相互作用力，其單位為N.這句話對不對？答：不對，應力為作用于該無窮小面元兩側單位面積上的相互作用內力，其單位為或。其面元法向分量稱正應力，切向分量稱切應力。8.2（答：適用，（是面元兩側的相互作用內力，它與作用于物體上的外力和物體的運動狀態有關。8.3牛頓第二定律指出：物體所受合力不為零，則

3、必有加速度。是否合力不為零，必產生變形，你能否舉出一個合力不為零但無形變的例子？答：不一定，物體是否發生形變應看物體內應力是否為零，應力為零，則不形變。自由落體運動，物體受重力作用，但物體內部應力為零，則不發生形變。8.4胡克定律是否可敘述為：當物體受到外力而發生拉伸（壓縮）形變時，外力與物體的伸長（壓縮）成正比，對于一定的材料，比例系數是常數，稱作該材料的楊氏模量？答：不對。首先形變應在彈性限度內，其次楊氏模量只與材料的形狀有關，而比例系數不但與材料性質有關，還與材料的形狀（橫截面）有關，即與材料的橫截面有關，對一定性質的材料，隨截面的不同而變，兩者是不同的。8.5如果長方體體元的各表面上不

4、僅受到剪切應力而且受到正應力，剪切應力互等定律是否還成立？答：正應力不改變未施加前各面的力矩，剪切應力互等定律仍然成立。8.6是否一空心圓管比同樣直徑的實心圓棒的抗彎能力要好？答：不是，一個實心管可視為由許多半徑不同的空心管組成的，對于相同材料、同樣直徑的空心管和實心管的抗彎能力顯然實心圓管比同樣直徑的空心圓棒的抗彎能力要好。8.7為什么自行車輻條要互相交叉？為什么有些汽車車輪很粗的輻條不必交叉？答：自行車輻條很細且很長，它不能依靠垂直輻條提供很大的抗扭曲力矩和瓦圈的抗形變能力，交叉后的輻條利用了拉伸、壓縮車輪的抗扭能力和瓦圈的抗變形能力，而車輪的輻條很粗，則完全可以提供足夠的抗彎力矩8.8為

5、什么自行車輪鋼圈橫截面常取（a）（b）形狀而不采取（c）的形狀？(a)答：自行車在承重情況下，鋼圈主要是抗變形作用，鋼圈截面距中性層越遠，抗彎作用越大，（c）截面主要分布在中性層附近，與（a）、（b）比抗彎能力最差。8.9為什么金屬平薄板容易變形，但在平板上加工出凹凸槽則不易變形？這是為答：加工出凹凸槽，相當于增加了板距中性面的材料，減少了距中性面近的材料從而增加了抗彎能力，故不易變形。8.10用厚度為d的鋼板彎成內徑為廠的圓筒，則下料時鋼板長度應為什么？2(z4-)答：用原為x的鋼板彎成內徑為的圓筒時，其中性層的長度正好為-，以此長度下料，可使彎曲面內層、外層的應力均勻，使圓筒的堅固性最弱。

6、一鋼桿的截面積為5.0沐0-4m2,所受軸向外力如圖所示，試計算A、B,B、C和C、D之間的應力。解：據桿的受力情況，可知桿處于平衡狀態。分別在AB之間E處，BC之間G處，CD之間H處作垂直桿的假想截面S。隔離AE段，由平衡條件，E處S面上的內力F=Fi,.A、B之間的應力F/SFi/S51.2108N/m2隔離AG段，由平衡條件，G處S面上的內力隔離AG段，由平衡條件，G處S面上的內力F=F2-F1,aB、C之間壓應力F2F1s(86)1045.01040.4108N/m2隔離HD段，由平衡條件,H處S面上的內力F=F4,C、D之間的應力7.8X07Pa,鋼桿內允許最大F/SF4/S陽0.6

7、108N/m2利用直徑為0.02m的鋼桿CD固定剛性桿AB.若CD桿內的應力不得超過(max=16X107.問B處最多能懸掛多大重量？解：隔離AB，以A點為軸，由力矩平衡條件，有隔離CD,桿CD應力(T=T/S；T=cS=cn(D/2)桿能承受的最大拉力：Tmax耳max43.140.0221610?5.0210NB處能懸掛的最大重量：Wmax0.39Tmax1.96104N圖中上半段為橫截面等于4.0X0-4m2且楊氏模量為6.9X010Pa的鋁制桿，下半段為橫截面等于1.0X0-4m2且楊氏模量為19.61010Pa的鋼桿，又知鋁桿內允許最大應力為應力為13.7X107Pa.不計桿的自重，

8、求桿下端所能承擔的最大負荷以及在此負荷下桿的總伸長量解：設鋁桿與鋼桿的長度、橫截面、楊氏模量、應力分別為：|1、&、丫2、2.,顯然，d=F/S1，滬F/S2.設鋁桿和鋼桿所能承擔的最大負荷分別為F1max，F2max，貝U整個桿的最大負荷應取鋼桿的最大負荷：Fmax1.37104N根據拉伸形變的胡克定律，對于鋁桿詈Y*，所以，11詈；對于鋼桿，同樣有12般.整個桿的伸長量是：電梯用不在一條直線上的三根鋼索懸掛。電梯質量為500kg。S、丫1、，|2、TTTWi最大負載極限5.5kN。每根鋼索都能獨立承擔總負載，且其應力僅為允許應力的70%，若電梯向上的最大加速度為g/5,求鋼索直徑為多少？將

9、鋼索看作圓柱體，且不計其自重，取鋼的允許應力為6.0108Pa.解：設每根鋼索承受拉力為T,電梯自重為W=mg,負荷為W=mg.由牛頓第二定律，設鋼索直徑為D，每根鋼索的應力T(0.5D)2矩形橫截面桿在軸向拉力作用下拉伸應變為，此材料的泊松系數為11,求證桿體積的相對改變為(V-Vo)/Vo=&(121)Vo表示原體即，V表示形變后體積.上式是否適用于壓縮？低碳鋼楊氏模量為丫=19.6X1010Pa,泊松系數1=0.3受到的拉應力為(T=1.37P,求桿件體積的相對改變。解：設桿原長為10,矩形截面兩邊原長分別為a0和b。，據線應變定義：軸向應變J，橫向應變1bb0可打0，所以：(1)l。，

10、a(11歸0,b(11)b0,由泊松系數定義，拉伸時，0,10,厲=-(1對于壓縮，&0,1X),仍有0=-1成立，因此上式對壓縮情況仍然適用據胡克定律丫，/Y桿受軸向拉力F，其橫截面為S，材料的重度(單位體積物質的重量)為y試證明考慮材料的重量時，橫截面內的應力為(X)首xo桿內應力如上式，試證明桿的總伸長量I爲需證明：建立圖示坐標O-X，在坐標X處取一截面S,隔離o、x段桿，由平衡條件，截面S上的內力F=F+ySx據應力定義考慮x處的線元dx，該線元在重力作用下的絕對伸長為dl,據胡克定律，Ydl/dx,dldx/YF/(YS)x/YdxIIfI|2積分：dl0(YsYx)dx1YS奢在剪

11、切材料時，由于刀口不快，沒有切斷，該鋼板發生了切變。F=7X105N時,鋼板的橫截面積為S=90cm2.兩刀口間的垂直距離為d=0.5cm.當剪切力為求：鋼板中的d切應力，鋼板的切應變，與刀口相齊的兩個截面所發生的相對滑移。已知鋼的剪切模量解：據切應力定義N=8X1010PFS據胡克定律,l/dla。需7.78107N/m2N778黑9.7104rad44，壁厚1mm，長10m,一端固定，而另一端作用一力矩50Nm,求鋁管的扭轉角0;對同樣尺寸的鋼管再計算一遍，已知鋁的剪切模量N=2.63X1010Pa,鋼的剪切模量為8.0X010Pa解：設管的半徑為R,管壁厚d,管長為l,外力矩為M，由于dvvR，可認為管壁截面上各處的切應力大小相等，設為T,在平衡狀態下，內、外力矩相等：M(2Rd)R,M/(2R2d)據剪切形變的胡克定律：NMN2NR2d對于鋼管：，在力偶矩作用下發生純彎曲，各以橫截面的長和寬作為高度，求同樣力偶矩作用下曲率半徑之比。解：設梁衡截面長為2d,寬為3d,據梁純彎曲的曲率公式：以2d為梁的高：RiY(3d)(2d)3/(12)以3d為梁的高：R2Y(2d)(3d)3心2)某梁發生純彎曲