1、Hilbert 23個數(shù)學問題在1900年巴黎國際數(shù)學家代表大會上，希爾伯特發(fā)表了題為數(shù)學問題的著名講演。他根據過去特別是十九世紀數(shù)學研究的成果和發(fā)展趨勢，提出了23個最重要的數(shù)學問題。這23個問題通稱希爾伯特問題，后來成為許多數(shù)學家力圖攻克的難關，對現(xiàn)代數(shù)學的研究和發(fā)展產生了深刻的影響，并起了積極的推動作用，希爾伯特問題中有些現(xiàn)已得到圓滿解決，有些至今仍未解決。他在講演中所闡發(fā)的想信每個數(shù)學問題都可以解決的信念，對于數(shù)學工作者是一種巨大的鼓舞。希爾伯特的23個問題分屬四大塊：第1到第6問題是數(shù)學基礎問題；第7到第12問題是數(shù)論問題；第13到第18問題屬于代數(shù)和幾何問題；第19到第23問題屬于

2、數(shù)學分析。01康托的連續(xù)統(tǒng)基數(shù)問題。1874年，康托猜測在可數(shù)集基數(shù)和實數(shù)集基數(shù)之間沒有別的基數(shù)，即著名的連續(xù)統(tǒng)假設。1938年，僑居美國的奧地利數(shù)理邏輯學家哥德爾證明連續(xù)統(tǒng)假設與ZF集合論公理系統(tǒng)的無矛盾性。1963年，美國數(shù)學家科恩（PChoen）證明連續(xù)統(tǒng)假設與ZF公理彼此獨立。因而，連續(xù)統(tǒng)假設不能用ZF公理加以證明。在這個意義下，問題已獲解決。02算術公理系統(tǒng)的無矛盾性。歐氏幾何的無矛盾性可以歸結為算術公理的無矛盾性。希爾伯特曾提出用形式主義計劃的證明論方法加以證明，哥德爾1931年發(fā)表不完備性定理作出否定。根茨（GGentaen，1909-1945）1936年使用超限歸納法證明了算術

3、公理系統(tǒng)的無矛盾性。03只根據合同公理證明等底等高的兩個四面體有相等之體積是不可能的。問題的意思是：存在兩個登高等底的四面體，它們不可能分解為有限個小四面體，使這兩組四面體彼此全等德恩（MDehn）1900年已解決。04兩點間以直線為距離最短線問題。此問題提的一般。滿足此性質的幾何很多，因而需要加以某些限制條件。1973年，蘇聯(lián)數(shù)學家波格列洛夫（Pogleov）宣布，在對稱距離情況下，問題獲解決。05拓撲學成為李群的條件（拓撲群）。這一個問題簡稱連續(xù)群的解析性，即是否每一個局部歐氏群都一定是李群。1952年，由格里森（Gleason）、蒙哥馬利（Montgomery）、齊賓（Zippin）共同

4、解決。1953年，日本的山邁英彥已得到完全肯定的結果。06對數(shù)學起重要作用的物理學的公理化。1933年，蘇聯(lián)數(shù)學家柯爾莫哥洛夫將概率論公理化。后來，在量子力學、量子場論方面取得成功。但對物理學各個分支能否全盤公理化，很多人有懷疑。07某些數(shù)的超越性的證明。需證：如果是代數(shù)數(shù)，是無理數(shù)的代數(shù)數(shù)，那么一定是超越數(shù)或至少是無理數(shù)（例如，和）。蘇聯(lián)的蓋爾芳德（Gelfond）1929年、德國的施奈德（Schneider）及西格爾（Siegel）1935年分別獨立地證明了其正確性。但超越數(shù)理論還遠未完成。目前，確定所給的數(shù)是否超越數(shù)，尚無統(tǒng)一的方法。08素數(shù)分布問題，尤其對黎曼猜想、哥德巴赫猜想和孿生素

5、共問題。素數(shù)是一個很古老的研究領域。希爾伯特在此提到黎曼（Riemann）猜想、哥德巴赫（Goldbach）猜想以及孿生素數(shù)問題。黎曼猜想至今未解決。哥德巴赫猜想和孿生素數(shù)問題目前也未最終解決，其最佳結果均屬中國數(shù)學家陳景潤。09一般互反律在任意數(shù)域中的證明。1921年由日本的高木貞治，1927年由德國的阿廷（EArtin）各自給以基本解決。而類域理論至今還在發(fā)展之中。10能否通過有限步驟來判定不定方程是否存在有理整數(shù)解？求出一個整數(shù)系數(shù)方程的整數(shù)根，稱為丟番圖（約210-290，古希臘數(shù)學家）方程可解。1950年前后，美國數(shù)學家戴維斯（Davis）、普特南（Putnan）、羅賓遜（Robin

6、son）等取得關鍵性突破。1970年，巴克爾（Baker）、費羅斯（Philos）對含兩個未知數(shù)的方程取得肯定結論。1970年。蘇聯(lián)數(shù)學家馬蒂塞維奇最終證明：在一般情況答案是否定的。盡管得出了否定的結果，卻產生了一系列很有價值的副產品，其中不少和計算機科學有密切聯(lián)系。11一般代數(shù)數(shù)域內的二次型論。德國數(shù)學家哈塞（Hasse）和西格爾（Siegel）在20年代獲重要結果。60年代，法國數(shù)學家魏依（AWeil）取得了新進展。12類域的構成問題。即將阿貝爾域上的克羅內克定理推廣到任意的代數(shù)有理域上去。此問題僅有一些零星結果，離徹底解決還很遠。13一般七次代數(shù)方程以二變量連續(xù)函數(shù)之組合求解的不可能性。

7、七次方程的根依賴于方程中的3個參數(shù)、；。這一函數(shù)能否用兩變量函數(shù)表示出來？此問題已接近解決。1957年，蘇聯(lián)數(shù)學家阿諾爾德（Arnold）證明了任一在上連續(xù)的實函數(shù)可寫成形式，這里和為連續(xù)實函數(shù)?？聽柲缏宸蜃C明可寫成形式，這里和為連續(xù)實函數(shù)，的選取可與完全無關。1964年，維土斯金（Vituskin）推廣到連續(xù)可微情形，對解析函數(shù)情形則未解決。14某些完備函數(shù)系的有限的證明。即域上的以為自變量的多項式，為上的有理函數(shù)構成的環(huán)，并且試問是否可由有限個元素的多項式生成？這個與代數(shù)不變量問題有關的問題，日本數(shù)學家永田雅宜于1959年用漂亮的反例給出了否定的解決。15建立代數(shù)幾何學的基礎。荷蘭數(shù)學家

8、范德瓦爾登1938年至1940年，魏依1950年已解決。注：舒伯特（Schubert）計數(shù)演算的嚴格基礎。一個典型的問題是：在三維空間中有四條直線，問有幾條直線能和這四條直線都相交？舒伯特給出了一個直觀的解法。希爾伯特要求將問題一般化，并給以嚴格基礎?，F(xiàn)在已有了一些可計算的方法，它和代數(shù)幾何學有密切的關系。但嚴格的基礎至今仍未建立。16代數(shù)曲線和曲面的拓撲研究。此問題前半部涉及代數(shù)曲線含有閉的分枝曲線的最大數(shù)目。后半部要求討論備的極限環(huán)的最多個數(shù)和相對位置，其中、是、的次多項式。對（即二次系統(tǒng)）的情況，1934年福羅獻爾得到；1952年鮑廷得到；1955年蘇聯(lián)的波德洛夫斯基宣布，這個曾震動一時

9、的結果，由于其中的若干引理被否定而成疑問。關于相對位置，中國數(shù)學家董金柱、葉彥謙1957年證明了不超過兩串。1957年，中國數(shù)學家秦元勛和蒲富金具體給出了的方程具有至少3個成串極限環(huán)的實例。1978年，中國的史松齡在秦元勛、華羅庚的指導下，與王明淑分別舉出至少有4個極限環(huán)的具體例子。1983年，秦元勛進一步證明了二次系統(tǒng)最多有4個極限環(huán)，并且是結構，從而最終地解決了二次微分方程的解的結構問題，并為研究希爾伯特第16問題提供了新的途徑。17半正定形式的平方和表示。實系數(shù)有理函數(shù)對任意數(shù)組都恒大于或等于0，確定是否都能寫成有理函數(shù)的平方和？1927年阿廷已肯定地解決。18用全等多面體構造空間。德國數(shù)學家比貝爾巴赫（Bieberbach）1910年，萊因哈特（Reinhart）1928年作出部分解決。19正則變分問題的解是否總是解析函數(shù)？德國數(shù)學家伯恩斯坦（Bernrtein，1929）和蘇聯(lián)數(shù)學家彼德羅夫斯基（1939）已解決。20研究一般邊值問題。此問題進展迅速，己成為一個很大的數(shù)學分支。日前還在繼讀發(fā)展。21具給定奇點和單值群的Fuchs類的線性微分方程解的存在性證明。此問題屬線性常微分方程的大范圍理論。希爾伯特本人于1905年、勒爾（HRohrl）于1957年分別得