1、5.3 協整與誤差修正模型 一、長期均衡關系與協整二、協整的檢驗三、關于均衡與協整的再討論四、誤差修正模型 一、長期均衡與協整分析Equilibrium and Cointegration1、問題的提出經典回歸模型（classical regression model）是建立在平穩數據變量基礎上的，對于非平穩變量，不能使用經典回歸模型，否則會出現虛假回歸等諸多問題。由于許多經濟變量是非平穩的，這就給經典的回歸分析方法帶來了很大限制。但是，如果變量之間有著長期的穩定關系，即它們之間是協整的（cointegration)，則是可以使用經典回歸模型方法建立回歸模型的。例如，中國居民實際消費水平與實際

2、收入水平變量, 從經濟理論上說，居民收入決定著居民消費水平，它們之間有著長期的穩定關系，即它們之間是協整的。 經濟理論指出，某些經濟變量間確實存在著長期均衡關系，這種均衡關系意味著經濟系統不存在破壞均衡的內在機制，如果變量在某時期受到干擾后偏離其長期均衡點，則均衡機制將會在下一期進行調整以使其重新回到均衡狀態。 假設X與Y間的長期“均衡關系”由式描述 2、長期均衡該均衡關系意味著:給定X的一個值，Y相應的均衡值也隨之確定為0+1X。 在t-1期末，存在下述三種情形之一：Y等于它的均衡值：Yt-1= 0+1Xt-1 ；Y小于它的均衡值：Yt-1 0+1Xt-1 ； 在時期t，假設X有一個變化量X

3、t，如果變量X與Y在時期t與t-1末期仍滿足它們間的長期均衡關系，即上述第一種情況，則Y的相應變化量為:如果t-1期末，發生了上述第二種情況，即Y的值小于其均衡值，則t期末Y的變化往往會比第一種情形下Y的變化大一些；反之，如果t-1期末Y的值大于其均衡值，則t期末Y的變化往往會小于第一種情形下的Yt 。可見，如果Yt=0+1Xt+t正確地提示了X與Y間的長期穩定的“均衡關系”，則意味著Y對其均衡點的偏離從本質上說是“臨時性”的。一個重要的假設就是:隨機擾動項t必須是平穩序列。如果t有隨機性趨勢（上升或下降），則會導致Y對其均衡點的任何偏離都會被長期累積下來而不能被消除。Yt=0+1Xt+t中的

4、隨機擾動項也被稱為非均衡誤差（disequilibrium error），它是變量X與Y的一個線性組合： 如果X與Y間的長期均衡關系正確，該式表述的非均衡誤差應是一平穩時間序列，并且具有零期望值，即是具有0均值的I(0)序列。 非平穩的時間序列，它們的線性組合也可能成為平穩的。稱變量X與Y是協整的（cointegrated）。3、協整如果序列X1t,X2t,Xkt都是d階單整，存在向量=(1,2,k)，使得Zt=XT I(d-b)， 其中，b0，X=(X1t,X2t,Xkt)T，則認為序列X1t,X2t,Xkt是(d,b)階協整，記為XtCI(d,b)，為協整向量（cointegrated v

5、ector）。如果兩個變量都是單整變量，只有當它們的單整階數相同時，才可能協整；如果它們的單整階數不相同，就不可能協整。 3個以上的變量，如果具有不同的單整階數，有可能經過線性組合構成低階單整變量。（d,d）階協整是一類非常重要的協整關系，它的經濟意義在于：兩個變量，雖然它們具有各自的長期波動規律，但是如果它們是（d,d）階協整的，則它們之間存在著一個長期穩定的比例關系。例如，中國居民收入X和消費Y，它們各自都是2階單整，如果它們是(2,2)階協整，說明它們之間存在著一個長期穩定的比例關系，從計量經濟學模型的意義上講，建立如下居民人均消費函數模型是合理的。 盡管兩個時間序列是非平穩的，也可以用

6、經典的回歸分析方法建立回歸模型。二、協整檢驗EG檢驗 1、兩變量的Engle-Granger檢驗 為了檢驗兩個變量YtI(1)、XtI(1)是否為協整，Engle和Granger于1987年提出兩步檢驗法，也稱為EG檢驗。 第一步，用OLS方法估計方程 Yt=0+1Xt+t并計算非均衡誤差，得到： 稱為協整回歸(cointegrating)或靜態回歸(static regression)。 第二步，檢驗非均衡誤差的單整性。如果非均衡誤差為平穩序列I(0)，則認為變量Yt、Xt為(1,1)階協整；否則，認為變量Yt、Xt不存在協整關系。 非均衡誤差的單整性的檢驗方法仍然是DF檢驗或者ADF檢驗。

7、需要注意是，這里的DF或ADF檢驗是針對協整回歸計算出的誤差項，而非真正的非均衡誤差。而OLS法采用了殘差最小平方和原理，因此估計量是向下偏倚的，這樣將導致拒絕零假設的機會比實際情形大。于是對et平穩性檢驗的DF與ADF臨界值應該比正常的DF與ADF臨界值還要小。MacKinnon(1991)通過模擬試驗給出了協整檢驗的臨界值。 例題：對經過價格指數調整后的19802013年間中國居民總量消費Y與總量可支配收入X的數據，檢驗它們取對數的序列lnY與lnX間的協整關系。 對于lnY與lnX，經檢驗，它們均是I(1)序列，最終的檢驗模型如下： 在5%的顯著性水平下，ADF檢驗的臨界值為3.555

8、對lnY與lnX進行如下協整回歸： 對計算得到的殘差序列進行ADF檢驗，最終檢驗模型為： 5%的顯著性水平下協整的ADF檢驗臨界值為3.521 結論：中國居民總量消費的對數序列lnY與總可支配收入的對數序列lnX之間存在（1,1）階協整。 注意：查什么臨界值表？注意：這里采用由協整檢驗臨界值表算得的臨界值（3.521），沒有采用ADF檢驗給出的臨界值（1.953），是正確的。但是，在很多應用研究中忽視了這一點，而直接采用ADF檢驗給出的臨界值，則是錯誤的，容易產生誤判。 2、多變量協整關系的檢驗擴展的E-G檢驗 多變量協整關系的檢驗要比雙變量復雜一些，主要在于協整變量間可能存在多種穩定的線性組

9、合。 假設有4個I(1)變量Z、X、Y、W，它們有如下的長期均衡關系：非均衡誤差項t應是I(0)序列： 然而，如果Z與W，X與Y間分別存在長期均衡關系： 則非均衡誤差項v1t、v2t一定是穩定序列I(0)。于是它們的任意線性組合也是穩定的。例如 由于vt象t一樣，也是Z、X、Y、W四個變量的線性組合，由此vt 式也成為該四變量的另一穩定線性組合。 （1, -0,-1,-2,-3）是對應于t 式的協整向量，（1,-0-0,-1,1,-1）是對應于vt式的協整向量。 一定是I(0)序列。檢驗程序：對于多變量的協整檢驗過程，基本與雙變量情形相同，即需檢驗變量是否具有同階單整性，以及是否存在穩定的線性

10、組合。在檢驗是否存在穩定的線性組合時，需通過設置一個變量為被解釋變量，其他變量為解釋變量，進行OLS估計并檢驗殘差序列是否平穩。如果不平穩，則需更換被解釋變量，進行同樣的OLS估計及相應的殘差項檢驗。當所有的變量都被作為被解釋變量檢驗之后，仍不能得到平穩的殘差項序列，則認為這些變量間不存在（d,d）階協整。 檢驗殘差項是否平穩的DF與ADF檢驗臨界值要比通常的DF與ADF檢驗臨界值小，而且該臨界值還受到所檢驗的變量個數的影響。 MacKinnon(1991)通過模擬試驗得到的不同變量協整檢驗的臨界值。3、高階單整變量的Engle-Granger檢驗 E-G檢驗是針對2個及多個I(1)變量之間的

11、協整關系檢驗而提出的。在實際宏觀經濟研究中，經常需要檢驗2個或多個高階單整變量之間的協整關系，雖然也可以用E-G兩步法，但是殘差單位根檢驗的分布同樣已經發生改變。 三、關于均衡與協整關系的討論 協整方程等價于均衡方程？協整方程不等價于均衡方程協整方程具有統計意義，而均衡方程具有經濟意義。時間序列之間在經濟上存在均衡關系，在統計上一定存在協整關系；反之，在統計上存在協整關系的時間序列之間，在經濟上并不一定存在均衡關系。協整關系是均衡關系的必要條件，而不是充分條件。 均衡方程中應該包含均衡系統中的所有時間序列，而協整方程中可以只包含其中的一部分時間序列。 協整方程的隨機擾動項是平穩的，而均衡方程的

12、隨機擾動項必須是白噪聲。不能由協整導出均衡，只能用協整檢驗均衡。五、誤差修正模型Error Correction Model, ECM1、一般差分模型的問題對于非穩定時間序列，可通過差分的方法將其化為穩定序列，然后才可建立經典的回歸分析模型。模型只表達了X與Y間的短期關系，而沒有揭示它們間的長期關系。關于變量水平值的重要信息將被忽略。誤差項t不存在序列相關， t是一個一階移動平均時間序列，因而是序列相關的。2、誤差修正模型是一種具有特定形式的計量經濟學模型，它的主要形式是由Davidson、 Hendry、Srba和Yeo于1978年提出的，稱為DHSY模型。由于現實經濟中很少處在均衡點上，假

13、設具有（1, 1）階分布滯后形式 Y的變化決定于X的變化以及前一時期的非均衡程度。一階誤差修正模型(first-order error correction model)的形式：若(t-1)時刻Y大于其長期均衡解0+1X，ecm為正，則(-ecm)為負，使得Yt減少；若(t-1)時刻Y小于其長期均衡解0+1X ，ecm為負，則(-ecm)為正，使得Yt增大。體現了長期非均衡誤差對短期變化的控制。復雜的ECM形式，例如：3、誤差修正模型的建立Granger 表述定理（Granger representaion theorem） Engle 與 Granger 1987年提出 如果變量X與Y是協整

14、的，則它們間的短期非均衡關系總能由一個誤差修正模型表述。模型中沒有明確指出Y與X的滯后項數，可以是多階滯后；由于一階差分項是I(0)變量，因此模型中允許采用X的非滯后差分項Xt 。建立誤差修正模型，需要：首先對經濟系統進行觀察和分析，提出長期均衡關系假設。然后對變量進行協整分析，以發現變量之間的協整關系，即即檢驗長期均衡關系假設，并以這種關系構成誤差修正項。最后建立短期模型，將誤差修正項看作一個解釋變量，連同其它反映短期波動的解釋變量一起，建立短期模型，即誤差修正模型。Engle-Granger兩步法第一步，進行協整回歸（OLS法），檢驗變量間的協整關系，估計協整向量（長期均衡關系參數）；第二步，若協整性存在，則以第一步求到的殘差作為非均衡誤差項加入到誤差修正模型中，并用OLS法估計相應參數。需要注意的是：在進行變量間的協整檢驗時，如有必要可在協整回歸式中加入趨勢項，這時，對殘差項的穩定性