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文檔簡介

1、第八章 有限元離散方法 （一維問題）微分方程解和有限元方法下的數值解 Poisson方程變分問題離散變分問題Ritz-Galerkin過程分部積分線性代數問題有限維基上表示方程求解快速算法泛函問題微分方程 有限元離散代數方程迭代求解5個部分8.1 一維問題的有限元法（線性元）1）討論對象：常微分方程兩點邊值問題 2）轉化為變分問題 考慮空間： 任取vV, 乘方程兩邊兩邊積分綜上推理，有原微分方程轉化為變分問題：即找一個函數 滿足找一個函數uV, 滿足3）有限元離散 自變量：函數因變量：實數泛函函數空間補充：空間的維數和基1維，基：1，2維，基：n維，基：子空間 子空間 有限維 基：最大線性無關

2、組 補充：空間的維數和基a,b所有連續函數基無窮維線性空間基為：n維線性空間子空間 n次多項式函數空間找一個函數uV, 滿足有限元離散無窮維線性空間找一個函數 Vh, 滿足的有限維子空間找子空間的一個途徑：找基函數，從而張成子空間區域剖分剖分單元ei定義離散區間u在單元上的取值當h-0時，插值函數收斂到函數u線性插值基函數線性無關定義空間：找一個函數uV, 滿足找一個函數 Vh, 滿足有限元化試探函數空間n+1維4）化為代數方程組-(4.1)單元分析(4.2)總體合成找一個函數( 4.1)單元分析任取一個單元同理：單元剛度矩陣這樣，由單元荷載( 4.2)總體分析，邊界處理則令單元剛度矩陣單元剛

3、度矩陣總剛度矩陣同理單元荷載矩陣總荷載向量 兩點邊值問題有限元方法總結1. 區域剖分1）單元編號，節點編號，節點坐標 3）邊界點相關信息2）節點的局部和整體編碼對應關系準備必要的原始信息2 計算“單元剛度矩陣”和“單元荷載向量” 計算“總剛度矩陣”和“總荷載向量”, 形成代數方程組4 邊界條件處理根據邊界調整K和F，即掐頭去尾5 解代數方程組, 相關結果輸出例題：1）單元剖分2）計算“單元剛度矩陣”和“單元荷載向量”解：4等分，即hi=h=1/4, i=1,2,3,4xi=ih, i=1,2,3,4; x0=03）計算“總剛度矩陣”和“總荷載向量”i=1,2,3,43）計算“總剛度矩陣”和“總荷載向量”4）根據邊界調整K和F，得5）求解代數方程組有限元法內容總結1 明確微分方程2 轉化為變分形式；3 有限元離散區域單元剖分；確定單元基函數；4 轉化為代數方程單元分析；總體合成；邊界條件的處理；5

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