1、第六章 量綱分析與相似原理 第六章 量綱分析與相似原理 在水力學研究過程中，無論是試驗結果的整理，還是對數值計算和理論分析方法的驗證與修正，往往都離不開對各物理量的量綱的分析。量綱分析能把那些控制液體現象及其運動規律的參量組織起來，建立它們之間的恰當的關系。對于比較復雜的流動問題，直接求解基本方程在數學上是極其困難的，因此實際工程中，往往采用模型試驗的方法加以解決。液體的相似性原理對模型試驗進行指導，以減少其局限性和盲目性，使得試驗結果能夠應用到實際工程中。 本章將首先討論如何應用量綱分析，在液體現象觀測的基礎上，建立起液體各影響因素之間的正確關系；其次將從液體相似性原理出發，在建立各種主要力

2、的相似條件的基礎上，得到所應遵從的各種相似性準則和對應的比尺關系。具體來說：物理方程的量綱一致性原理， 定理與量綱分析法，流動相似與相似準則，相似準則的確定，常用的相似準則數、相似原理與模型實驗。第一節 量綱、單位和無量綱數 一、物理量的量綱和單位 在水力學中，經常遇到的物理量有長度、時間、速度、質量、粘度、密度和力等等。根據物理量的性質不同而劃分的各種類別，就是通常所說的物理量的量綱(或因次、尺度)；量度各種物理量數值大小的標準，就是單位。因此量綱是物理量“質”的表征，而單位卻是物理量“量”的量度。通常量綱用物理量加方括號 來表示。例如長度L的量綱為L，時間T的量綱為T，質量m的量綱為M，速

3、度U的量綱為U，力F的量綱為F等等。 物理量的量綱可分為基本量綱和導出量綱兩大類。所謂基本量綱是指用它們可以表示其余物理量的量綱，但它們本身卻是彼此獨立而不能相互代替的這樣一組物理量的量綱。由這些基本量綱所導出的那些物理量的量綱，就被稱為導出量綱或誘導量綱。力學中國際單位制(SI)規定，以長度L，對應的單位為米(m)；時間T，對應的單位為秒(s)；以及質量M，對應的單位為千克(kg)，為基本量綱。如密度 的量綱 就可由基本量綱L、M直接導出，故 就是一個導出量綱或誘導量綱。還有速度v=LT-1、力F=MLT-2、壓強p=ML-1T-2等。如表6-1 在水力學中通常遇到三方面的物理量：表征液體的

4、幾何形狀的量，如長度L，面積A，體積V等，統稱為幾何學量；表征液體運動狀況的量，如速度u，加速度a，流量Q，運動粘度等，統稱為運動學量；表征液體運動動力特性的量，如質量m，力F，密度 ，動力粘度，切應力 ，壓強 p 等，統稱為動力學量。 需要指出的是，基本量綱的選取并不是唯一的，只要在幾何學量、運動學量和動力學量中任意各取一個都可以組成一組基本量綱。在工程界，曾有用LTF為基本量綱，導出其他誘導量綱，如質量M。簡稱LTF制，現已被取代 二、有量綱量和無量綱數水力學中物理量的量綱一般都可用L、T、M這一組基本量綱的組合來表示 (6-1)式中各基本量綱的指數 的數值由該物理量的性質來決定。習慣上公

5、式(6-1)稱為量綱表達式，只要指數 、 、 中至少有一個不為0時，即稱該物理量為有量綱量。若 ，則稱此物理量 X 為無量綱量或無量綱數，即此時物理量 X 的單位與基本單位 (L，T，M) 的選擇無關，為純粹的數，稱為純數，具有數值的特性。 總的來說，根據指數 的數值的不同情況，該量綱表達式(6-1)可以表示不同性質的物理量：若 ，該物理量為幾何學量；如L、A、V若 ，該物理量為運動學量；如u、a、Q、若 ，該物理量為動力學量；如m、p、 、 、若 ，稱此物理量X為無量綱量或無量綱數。如Re、J 三、 量綱一致性原理液體的任何運動的規律，都可以用一定的物理關系式來描述。這種物理關系式(也包括正

6、確的經驗關系式)，不論其形式上的變化是什么樣的，各項的量綱必須是一致的，這就是量綱一致性原理，也叫量綱齊次性原理或量綱和諧原理。量綱相同的量才能相加減；同一個方程的量綱是和諧的。如、運動方程、伯努利方程z=L，p/=ML-1T-2/ML-2T-2=L，u2/2g= L2T-2/L1T-2 =L ，方程右端常數項的量綱為L 有一些經驗公式，量綱是不和諧的。應用時要注意 由于實際液體運動的復雜性，有時候通過試驗或現場觀測可以得出影響液體運動的若干因素，卻難以得到這些因素之間的函數關系式。在這種情況下，就可利用量綱分析法，快速得出連接諸因素之間的正確結構形式或經驗方程，這是量綱分析法最顯著的特點和優

7、點。量綱分析法有兩種：一種是適用于較簡單問題的方法稱為瑞利(L.Raylei gh)法；另一種是帶有普遍性的方法，稱為定理。這兩種方法都是以量綱和諧原理為基礎的。 第二節 量綱分析法一、瑞利法根據試驗或現場觀測，我們一般可以寫出以下的表達式：其中 為被決定的物理量， 為影響因素， 為無量綱系數，通過試驗確定； 為待定系數。瑞利法通過直接應用量綱和諧原理建立物理方程式通過對方程式進行求解而得到各待定系數的值，從而得到各物理量之間的函數關系式。其基本步驟通過下面的實例進行說明。 ，例6-2由試驗觀察得知，矩形量水堰的過堰流量 與堰上水頭 ，堰寬 ，重力加速度 等物理量之間存在著以下關系 式中比例系

8、數K為一純數，試用量綱分析法確定堰流流量公式的結構形式。解：由己知關系式，方程兩邊應滿足：根據量綱一致性原則 L： T：聯解以上兩式，可得，(a)根據試驗，過堰流量 與堰寬 的一次方成正比， 即 =1，從而可得 。將 的值代入式 (a)，并令 ，得例 不可壓縮粘性液體在粗糙管內作定常流動時，沿管道的壓強降 與管道長度 、內徑 、絕對粗糙度 、平均流速 、液體的密度 和動力粘度 等有關。試用瑞利法導出壓強降的表達式。解:根據題意，可以寫出： (1)按照瑞利法寫出量綱表達式： L：-1= T：-2= M：1=則三個方程含有6個未知數，那么其中只有三個是獨立待定的。取 作為待定的，則可得則式(1)可

9、以寫為： (2)由于沿管道的壓強降是隨管長線性增加的，故 上式左邊第一個無量綱量為管道的長徑比，第二個無量綱量為相對粗糙度，第三個無量綱量為 于是上式可以寫作： (3) ， ， 令 ，稱為沿程損失系數，可以通過試驗來確定。則式(3)可最終寫為： (4)這是壓強降的表達式，并且 ，則管道流動中單位重力液體沿程能量損失的表達式為：從而得到第四章中提到的達西魏斯巴哈(Darcy-Weisbach)公式。通過以上的實例可以看出，對于變量較少的簡單流動問題，用瑞利法可以方便地得到各物理量之間的結構關系式。對于變量較多的復雜流動，如有 n 個變量，則待定指數有 n 個，而按照基本量綱只能列出三個基本方程，

10、于是就有( n-3 )個指數不能直接確定，這就是瑞利法應用時的一個缺陷。下面將要討論的 定理則沒有這方面的問題。 二、 定理 定理方法是另外一種更具有普遍性的量綱分析方法，是1915年由白金漢(E.Buckingham)提出的，故又叫白金漢定理，其基本原理可表述如下：任何一個物理過程，涉及到 個物理量， 個基本量綱，則這個物理過程可由( )個無量綱量所表達的關系式來描述。因這些無量綱量用 ( )來表示，故簡稱為 定理。設影響物理過程的 個物理量分別為 ，則這個物理過程可用一完整的函數關系式表示 (6-2) 根據國際單位制，水力學中的基本量綱一般是L、T、M，即 =3，因此可在 個物理量中選出三

11、個基本物理量作為基本量綱的代表。這三個基本物理量既要包含上述三個基本量綱，又要相互獨立，一般可在幾何學量、運動學量和動力學量中各選一個即可。然后，在剩下的( )個物理量中每次輪取一個，連同所選的三個基本物理量一起，組成一個無量綱的 項。如果這三個基本量綱為 ，則其他物理量均可用某種冪次的三個基本量綱和無量綱量 的乘積表示，即也就是根據量綱和諧原理，就可以確定待定系數 ，從而也就確定了 。如此直至得到 為止。因此原來的方程式(6-2)可寫成 或這樣，就把一個具有 個物理量的關系式(6-2)簡化成具有( )個無量綱數的表達式，給模型試驗以及試驗數據的整理帶來了極大的方便。下面舉例來進一步說明 定理

12、的應用。(6-3)例 已知光滑圓球在粘性流體中的運動阻力FD與流體密度 、圓球直徑d、圓球速度v和流體動力粘度 有關，試用 定理導出阻力FD的一般表達式。解:根據題意，有 (1)選定幾何學量中的 d，運動學量中的 ，動力學量中的 為基本物理量，本題中物理量的個數 =5，基本量綱數 =3，因此，式(1)可以寫成由 =5-3= 2個無量綱數組成的方程，即比較上式中每個因子的分子和分母的量綱，它們應滿足量綱一致性原則。第一個因子 的量綱關系有 由量綱一致性原則 解得 求得：即或第二個因子 的量綱關系有由量綱一致性原則 解得 求得：用數構成新的方程整理有圓球阻力公式 即或其中阻力系數例6-3試驗表明，

13、液體中的邊壁切應力 與斷面平均流速 ，水力半徑 ，壁面粗糙度 ，液體密度 和動力粘度 有關，試用 定理導出邊壁切應力 的一般表達式。解:根據題意，有 (1)選定幾何學量中的 ，運動學量中的 ，動力學量中的 為基本物理量，本題中物理量的個數 =6，基本量綱數 =3，因此，式(1)可以寫成由 = 6-3=3個無量綱數組成的方程，即比較上式中每個因子的分子和分母的量綱，它們應滿足量綱一致性原則。第一個因子 的量綱關系有即 由量綱一致性原則 解得 求得：第二個因子 的量綱關系為即 由量綱一致性原則： 解得 求得同理，對 ，可求得 。因此，對于任意選取的獨立的物理量 ，上述物理量之間的關系為無量綱數 即

14、為雷諾數Re，而 為相對粗糙度，因此上式也可以寫成或這就是液體中邊壁切應力 與流速 ，液體密度 ， 雷諾數 ，相對粗糙度 之間的關系式。這里 只是由量綱分析得出它們的關系式，至于 的具體關系，還要作進一步的研究方可得出。 具體應用時還須注意以下幾點:(l)確定表征物理過程的特性量時，錯選、漏選、多選都將導致錯誤的結論；(2)所選擇的基本物理量，要能表達其余的所有的特征量，因此要盡可能在幾何學量，運動學量和動力學量中各選一個；(3)當通過量綱分析所得到物理過程的表達式存在無量綱系數時，量綱分析無法給出其具體數值，只能通過有關試驗求得；(4)量綱分析法無法區別那些量綱相同而物理意義不同的量。例如，

15、流函數 ，勢函數 ，運動粘度 它們的量綱均為L2/T，但卻有不同的物理意義，這一點通過量綱分析是無法區別的。 第三節 流動相似與相似準則 一、流動相似的意義液體的運動問題是十分復雜的，即便是在計算機和計算技術日益發達的今天，完全依靠數值計算并不能解決所有的流動問題，因此一些復雜的流動問題往往需要在試驗的幫助下解決。那么，試驗如何進行，或者說試驗按照什么規則來進行，以及如何把試驗成果應用到實際問題中去就成了不得不考慮的問題。為了解決這一問題，流動的相似性理論就應運而生了。 相似概念最早出現在幾何學中。對于兩個幾何相似的圖形，把其中一個圖形的幾何要素(長度、面積等)值以某固定的比例常數放大或縮小，

16、就可方便地得到另一圖形相應的幾何要素數值，這樣的兩個圖形幾何形狀相似，幾何性質也相似。類似于幾何相似，如果模型流動與實際流動力學相似，則其流場中幾何相應點上各同類物理量將具有各自固定的比例關系，這樣可將模型試驗的成果方便地應用于實際流動中。因此，相似原理廣泛地應用于自然科學以及工程設計的各個領域。 兩個互為相似的流動，各同名物理量的比例常數都將保持對應的比例關系。例如，長度 ，速度 ，力 的比例常數可分別寫為式中下標“ ”表示原型量，“ ”表示模型量，而 、 、 分別表示原型中和模型中長度 ，速度 ，力 的比例常數，簡稱為各種物理量的比尺，即原型物理量和對應的模型物理量之比。因此， 稱為長度比

17、尺， 稱為速度比尺， 稱為力的比尺。其他的物理量也有類似的比尺關系。 二、流動相似的特征表征流動現象的物理量可以分為三類： 幾何學的量：描述液流形狀 如長度、面積、體積等 運動學的量：描述液流運動狀況 如速度、流量、時間 動力學的量：描述液流運動動力特征 如質量、動量、密度等 兩個流動的相似特征，可以分別用幾何相似、運動相似和動力相似來描述。 等 1幾何相似幾何相似是指兩個流動中對應的幾何量都滿足一定的比例關系。也就是要求原型和模型兩種流動對應的全部線性長度成比例幾何相似就是要求對應的邊界性質相同，例如同為固體壁面或自由表面等。 長度比尺： (6-8) 面積比尺： (6-9) 體積比尺： (6

18、-10) 幾何相似是通過長度比尺 來表達的，只要對應的長度都保持一定的比尺關系，就可以保持兩個流動的幾何相似 2運動相似運動相似是指兩個流動中，對應點上各運動學量的保持一定的比例關系，也就是說模型與原型流場所有對應點上的對應時刻的流速方向相同而流速的大小成比例。簡言之，運動相似就是兩個流動的時間、速度場、加速度場均相似。 時間比尺 (6-12) 速度比尺 (6-11) 加速度比尺 (6-13)還有流量比尺等等 3.動力相似動力相似是指在對應時刻作用于兩個流動對應質點上的各種相同物理性質的動力學量成比例，即同名力相似。也就是要求模型和原型中所有對應點作用在流體微團上的各種力彼此方向相同，大小成比

19、例。動力相似中常用的比尺有 密度比尺 動力粘度比尺 作用力比尺 (6-15) 作用在流體上的作用力通常有重力 、粘滯力 、壓力 、彈性力 和表面張力 等，作用力的比尺關系有，兩個流動相似就意味著幾何相似、運動相似和動力相似，這三者是相互關聯的。例如，運動相似要求流速成比例，也就要求對應的時刻和對應的位移成比例，即又如動力相似，要求作用力成比例，根據牛頓第二定律有 (6-15)上式表明作用力比尺可用密度比尺、時間比尺和長度比尺來表示。 總的來說，這三種相似是互相聯系和互為關聯的。流場的幾何相似是運動相似和動力相似的前提條件和依據；動力相似是決定兩個流場實現運動相似的主導因素；而運動相似則是幾何相

20、似和動力相似的表現和結果。三個相似是一個彼此密切相關的整體，缺一不可。有了以上的關于幾何學量、運動學量和動力學量的三組比尺關系，模型和原型流場之間各種物理量之間的相似換算就很方便了。 三、牛頓相似原理 上一節回答了什么是流動相似問題，這一節來討論如何保證兩種流動的相似。首先，若要兩個流動相似，必須滿足幾何相似，這是流動相似的必要條件，前面已有闡述。其次，若滿足了動力相似，則可保證兩個流動完全相似。也就是動力相似是起主導作用。動力相似主要是指對應點上各種作用力保持一定的比例。下面將從動力這個角度推導兩種流動的相似原理，也叫相似準則。推導相似原理有兩種方法： 從基本方程或單值條件出發推導； 從量綱

21、分析出發推導先舉一個簡單例子說明推導方法。對于一般的物體運動，應滿足牛頓第二定律，即設有兩個物體，其質量分別 為 和，在外力 和 的作用下，發生相似運動，其速度分別為 和 分別寫出牛頓第二定律因現象相似，各物理量成比例，有代入牛頓第二定律原型表達式，整理 比較上式和牛頓第二定律模型表達式，有這就是物體運動的相似指標，其值等于1。若把兩個相似現象的比例關系帶入相似指標，則有 就是物體運動的相似準則數，在相似現象中其值不變，稱其為牛頓數，以 表示，即或者說若兩種流動動力相似，其牛頓數Ne應對應相等，這就是牛頓相似原理或牛頓相似準則。 也叫牛頓一般相似性原理(3)(2)(1)牛頓數還可寫成那么牛頓相

22、似準則式(3) ，還有即為兩種動力相似流動的各種其他的力與慣性力組成無量綱牛頓數Ne應相等用比尺表示即為兩種動力相似流動的相似判據為1；各種其他的力與慣性力的比尺相等(5)(6)(7)(4)對于液流運動來說，作用力有重力、粘滯力、和慣性力等多種力。應滿足連續性方程和N-S方程上述方程應對兩個力學相似的水流系統均適用。現對原型流動和模型流動，分別有原型模型N-S方程均以x方向為例由于相似，有各物理量比例關系式代入原型方程(8)得(9)(8)若兩個流動相似，則式(10)與式(9)應相等，有以 除上式各項，得(10)將各比尺關系式帶入上式，有這些式子，如不考慮原型和模型的下標，兩邊的形式完全相同，而

23、且都是無量綱數。這些無量綱數都是相似準則數，也可以說是牛頓準則數的具體體現。上式說明，在兩種相似的流動中，上述準則數應相等。這些準則數常用下列符號和名稱表示。 斯特羅哈數 弗勞德數 雷諾數 歐拉數由上述討論知，如果兩個不可壓縮粘性流體相似，則上述四個相似準則數必須對應相等。當然對于其他類型的流動，還可推得柯西準則數、韋伯準則數等等相等。這就是后面各部分闡述的各類相似準則。四、單項力相似準則按照牛頓一般相似性原理，兩個相似流動的牛頓數應相等，也就是說，要求各種性質的作用力與慣性力之間都要成相同的比例。但是，由于各種力的性質不同，影響它的物理因素不同，要做到這一點，實際上是極其困難的。通常我們并不

24、能保證所有性質的力全部相似，全都保持同樣的比尺，而只能抓住流動現象中主要的作用力使其相似，其他次要的力則不要求其相似，允許有偏離。因此，針對某一具體的流動現象進行模型試驗時，可將其起主要作用的某單項力代入(35)中的 F 項，進而求得表示該單項力相似的相似準則。根據主要作用力的不同，有以下幾個主要的模型相似準則。 (3)(4)(5)1) 重力相似準則當流動中主要作用力為重力 G 時，現用 代表其大小，并代入牛頓數關系式(5)中可得重力與慣性力之比為即也稱之為弗勞德相似準則(5)或為無量綱數，是重力相似關系的準則數。弗勞德數Fr表征流體慣性力與重力之比。 Fr值越小，重力作用的影響越大。弗勞德數

25、Fr中的u、l分別為特征流速和特征長度可得以比尺表示的形式弗勞德數由各流動參數的比尺推導由比尺表示式可得由于地球上各地重力加速度 g 的差別很小，可以認為 ，即令重力加速度比尺 ，有 流速比尺：其他流動參數的比尺，有 流量比尺：各流動參數的比尺有流速比尺：其他流動參數的比尺見表6-2 加速度比尺：流量比尺：時間比尺：力的比尺：名稱比尺重力相似準則粘性力相似準則流速比尺加速度比尺1流量比尺時間比尺力比尺1應力比尺壓強水頭比尺功、能比尺功率比尺表61 重力相似準則與粘性力相似準則比尺對照表 2) 粘滯力相似準則當流動中主要作用力為粘滯力 F 時，由可用 代表其大小，并代入牛頓數關系式(5)中可得粘滯力與慣性力之比為即也稱之為雷諾相似準則(5)或為無量綱數，是粘滯力相似關系的準則數。雷諾數Re表征流體慣性力與粘滯力之比。 Re值越小，粘滯力作用的影響越大。雷諾數Re中的u、l分別為特征流速和特征長度可得以比尺表示的形式雷諾數由各流動參數的比尺推