1、考點18平面向量的概念及其線性運算考列原攵.平面向量的實際背景及基本概念(1)了解向量的實際背景.(2)理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義(3)理解向量的幾何表示.向量的線性運算(1)掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義(2)掌握向量數乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義(3) 了解向量線性運算的性質及其幾何意義 .1 J知識整合,、平面向量的相關概念名稱定義表小方法注息事項向量既有大小又有方向的量叫做向量；向量的大小叫做向量的長度(或模)向量AB或a;模 | AB | 或 |a |平面向量是自由向量零向量長度等于0的向量，方向是任意的記作0零向量方向是任意的單位向量長度

2、等于1個單位的向量常用e表小非零向量a的單位向量是 | a |平行向量方向相同或相反的非零向量a與b共線可記為a =0與任一向量平行或共線共線向量平行向量又叫共線向量相等向量長度相等且方向相同的向量a = b兩向量只后相等或/、等，不能比較大小相反向量長度相等且方向相反的向量a = -b0的相反向量為0、向量的線性運算1.向量的加法、減法、數乘運算及其幾何意義、運算律向量運算法則（或幾何意義）運算律加法求兩個向 后和的運 算二一角形法則a平行四邊形法則(1)交換律：a+b=b+a(2)結合律：(a b) + c=。+(b+c)減法數乘求口與力 的相反向量一b的制 的運算叫 做口與b 的差（1）

3、IAfl =I/|:求實數；I（2）當A0時。的 與向量G 方向與。的方向用 的積的運回; 當A0,n0),則 m+2n 的最小值為A. 3B. 48C.一310D.3已知正方形 ABCD的邊長為1,設AB =a, BC= b, AC= c,則ab + c =10.設a, b是不共線的兩個非零向量，若 OA = ka +12b，OB = 4a +5b，OC =-ka +10b，且點A ,B , C在同一直線上，則 k =直通高考1. （2018年高考新課標I卷理科）在4ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則EB =31C -AB AC1r 3rB AB AC,44L 31D AB

4、AC2. （2015年高考新課標I卷理科）設D為4ABC所在平面內一點，BC = 3CD，則A.C.AD =AB 4 Ac TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark50 o Current Document 33 HYPERLINK l bookmark115 o Current Document AD -4Ab 1Ac 33h i r 4r HYPERLINK l bookmark119 o Current Document B. AD 二一AB AC 33h 4r 1r HYPERLINK l bookmark121 o Current Document D.

5、AD 二一AB - AC 33（2015年高考北京卷理科）在 ABC中，點M , N滿足力拓=2雨B?V=MC.若MN=x4+y/t ,則x=y=（2015年高考新課標n卷理科）設向量a, b不平行，向量九a+b與a + 2b平行，則實數九=6好案.變式拓展.【答案】B【解析】=同即臺的模的大小相等，但方向不一定相同，故兩個向量不一定相等，故（E錯誤君4月C 是不共線的四點，貝商=灰 =。且3 = CD o四邊形38為平行四邊形，故正確，若O =6 ,則/ 8的模小相等,方向相同，若b = ,貝“瓦C的模的大小相等，方向相同，故/C 的模的大小相等上方向相同，即。=c，故正確:2 =。的充要條

6、件是同=1可且。力同向，故錯誤.故正確命題的序號是，故選B.【答案】D117Af = -Ae,%=-砥詼=-比，【解析】由題意得，22a 那么BF=_ Li? + zb + ot)=-1 + -AD.3【名師點睛】高考對向量加法、減法運算的考查，重在對加法法則、減法法則的理解，要特別注意首尾順次相接的若干向量的和為 0的情況.一般將向量放在具體的幾何圖形中，常見的有三角形、四邊形（平.當運用三角形加法法則時，要注行四邊形、矩形、菱形、梯形）、正六邊形等在解決這類問題時，要注意向量加法、減法和共線（相等）向量的應用意兩個向量首尾順次相接，當兩個向量共起點時，可以考慮用減法3.【答案】B【解析】如

7、圖， ABC中，D為邊BC上靠近B點的三等分點，E為線段AD的中點，則CB = AB -AC二 1 一CE 二-CD CA 二1 -* 11VAB AC -ACCD = 2港二康.2葭T T T 1CE =mAB nAC， m =-,n3故選B.解本題時，根據題1 則 AO AM 21 111 AB AC = 1AB11+ AD t )1 rAB 41 AD ,由 B,O, D 4t點共線，得【名師點睛】本題考查了平面向量的線性運算的應用，考查了學生的推理與運算能力意畫出圖形，結合圖形利用平面向量的線性運算的三角形法則和平行四邊形法則,求出m, n的值即可.4.【解析】設線段BC的中點為M ,

8、則Ob+Oc =2oM ,因為2AO = OB + OC ,所以iO=OM ,11,1一 + = 1,解得t = 一 .故選B .4 4t3【名師點睛】利用平面向量判定三點共線往往有以下兩種方法:A, B,C三點共線仁AB =九AC .， TO為平面上任一點，A,B,C三點共線=OA=，uOB + NOC ,且九+ R =1.考點沖關【解析】對于A,若向量AB與向量CD是共線向量，則AB/ CD或點A, B, C, D在同一條直線上，故A錯誤;對于B,共線向量是指方向相同或相反的向量，兩個有共同終點的向量，其方向可能既不相同又不相反,故B錯誤；對于C,長度相等的向量不一定是相等向量，還需要方向

9、相同，故 C錯誤；對于D,相等向量是大小相等、方向相同的向量，故兩個有共同起點而且相等的向量，其終點必相同, 故D正確.故選D.【名師點睛】本題考查向量的基本定義，關鍵是理解向量有關概念的定義.解題時，根據題意，結合向 量的定義依次分析四個命題，綜合即可得答案.故選B.【名師點睛】該題考查的是有關向量共線的條件，在正六邊形中，首先利用向量的加法運算法則，結合 TOC o 1-5 h z 向量共線的條件，對選項逐個分析，求得正確結果3.【答案】B! ! 5T 5 T L 5 【解析】 AD =AB + BD =AB 十一BC =AB 十一 AC - AB =AB 十一AC，故選 B4444.【答

10、案】A【解析】因為a+b=a-b,即所圍成的平行四邊形的對角線長度相等，所以該平行四邊形為正方形或長方形，由此可得 a,b的夾角為90。，故選A.【名師點睛】根據向量的加減法則，結合幾何圖象特征即可.【答案】A一日T T TT【斛析】由向重的加法法則可得BD = BC+CD = 5a +6b + 7a 2b = 2a + 4b = 2AB，T - T 一， A C -八所以AB與BD共線，又兩線段過同點 B，所以A,B, D三點一定共線.故選A.【名師點睛】本題考查平面向量共線定理的應用，向量的加法法則，考查利用向量的共線來證明三點共線，意在考查靈活運用所學知識解決問題的能力.解本題時，由向量

11、加法的主角形”法則，可得BD =2AB，從而可得結果.【解析】為押的中點一二石+麗=2歷，- 0A + 0B2dC = Q? OC=-ODf OCD【名師點睛】本題考查了平面向量的幾何運算，屬于中檔題.解決向量小題的常用方法有：數形結合， 向量的三角形法則、平行四邊形法則等；建系將向量坐標化；向量基底化，選基底時一般選擇已知大小 和方向的向量為基底.解決本題時，根據平面向量的幾何運算可知O為CD的中點，從而得出答案.【答案】D【解析】如圖所示:在平行四邊形ABCD中, TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark131 o Current Document Ab =a,

12、 AD = b, AC =a+b, /BAC = ,/DAC =, 34TT2在 ABC中，由正弦定理可得,導年亞故選D HYPERLINK l bookmark133 o Current Document 向sin n孌332【名師點睛】本題主要考查平面向量的運算法則、幾何意義以及正弦定理在解三角形中的應用，屬于中檔題.【答案】At解析】如圖，與二益+旃=方就-湎=逅+ =就=上而+ 2衣 3， 33 3m 3n TOC o 1-5 h z 二峪H N三點共線,，-H =1T . m , 3m 3m3n-2n I i (3w2)* + (3m 2) + 貝 I r M _ OF1 f， 3冽

13、 + 2 打=+ 2 打=3n-23n-23收一2155=7 (3m2)+石 -十三之三乂2+W=3：當且僅當(3-2)二,即用=理二1時等號成立.(3*7-2) 3 33(初一可.*1rq故選A.【名師點睛】考查向量減法的幾何意義，共線向量基本定理，以及基本不等式的應用，屬中檔題.解本題時，用aM，AN表示出Ap根據三點共線得出 m,n的關系，最后利用基本不等式得出 m十2n的最小 值.9.【答案】2【解析】如圖，a +b =c,所以a b + c = 2a ,又a =1 , .a b+c = 2,故答案為2 .【名師點睛】本題考查兩個向量的加減法的法則，及其幾何意義，屬于基礎題.向量的運算

14、有兩種方法,一是幾何運算往往結合平面幾何知識和三角函數知識解答，二是坐標運算：建立坐標系轉化為解析幾何問題解答（求最值與范圍問題，往往利用坐標運算比較簡單）.運算法則是： TOC o 1-5 h z （1）平行四邊形法則（平行四邊形的對角線分別是兩向量的和與差）；（2）三角形法則（兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾間向量是和）210.【答案】一3= 4.k a 一 7b星=2=(4 k a - 5b,T T【解析】由題得AB=OB-OA一，-4 -k因為點A, B, C在同一直線上，所以 4 k工k = . -5【名師點睛】（1）本題主要考查向量的運算和共線向量的性質，意在考查學生對這些基礎知識的掌握水平.（2） A, B,C三點共線u AB=K呢.直通高考【解析】根據向量的運算法則，可得1 1 1 BE = BA BD11BA AC 4t 1 1 r 3T 1 rBA - BA -AC = BA -AC1rAC ,故選A.4【名師點睛】該題考查的是有關平面向量的基本問題，涉及的知識點有三角形的中線向量、向量加法的2.三角形法則、共線向量的表示以及相反向量的問題，在解題的過程