1、第一章 矢量(shling)分析1共五十頁本章內容1.1 矢量代數1.2 常用正交曲線坐標系1.3 標量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環流和旋度1.6 無旋場與無散場(sn chng)1.7 拉普拉斯運算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理2共五十頁1. 標量(bioling)和矢量矢量的大小或模：矢量(shling)的單位矢量(shling)：標量：一個只用大小描述的物理量。矢量的代數表示：1.1 矢量代數矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示 注意：單位矢量不一定是常矢量。 矢量的幾何表示

2、常矢量：大小和方向均不變的矢量。 3共五十頁矢量(shling)用坐標分量表示zxy4共五十頁（1）矢量(shling)的加減法 兩矢量的加減(ji jin)在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線,如圖所示。矢量的加減符合交換律和結合律2. 矢量的代數運算 矢量的加法矢量的減法 在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：結合律交換律5共五十頁（2）標量(bioling)乘矢量（3）矢量(shling)的標積（點積）矢量的標積符合交換律q矢量 與 的夾角6共五十頁（4）矢量(shling)的矢積（叉積）qsinABq矢量 與 的叉積用坐標(zubio)分量表示為寫成行列式形式為若 ，則若 ，則7

3、共五十頁（5）矢量(shling)的混合運算 分配律 分配律 標量(bioling)三重積 矢量三重積8共五十頁 三維空間任意(rny)一點的位置可通過三條相互正交曲線的交點來確定。1.2 三種(sn zhn)常用的正交曲線坐標系 在電磁場與波理論中，三種常用的正交曲線坐標系為：直角坐標系、圓柱坐標系和球面坐標系。 三條正交曲線組成的確定三維空間任意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為坐標軸；描述坐標軸的量稱為坐標變量。9共五十頁1、直角坐標(zh jio zu bio)系 位置矢量面元矢量(shling)線元矢量體積元坐標變量坐標單位矢量 點P(x0,y0,z0)0yy=（平面

4、） o x y z0 xx=（平面）0zz=（平面）P 直角坐標系 x yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元 odzd ydx10共五十頁2、圓柱面坐標系坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量(shling)11共五十頁3、球面(qimin)坐標系球面(qimin)坐標系球坐標系中的線元、面元和體積元坐標變量坐標單位矢量位置矢量線元矢量體積元面元矢量12共五十頁4、坐標單位(dnwi)矢量之間的關系 直角坐標(zh jio zu bio)與圓柱坐標系圓柱坐標與球坐標系直角坐標與球坐標系oqrz單位圓 柱坐標系與求坐標系之間坐標單位矢量的關系qq ofxy單位圓 直角坐標系與柱坐標

5、系之間坐標單位矢量的關系 f13共五十頁1.3 標量(bioling)場的梯度如果物理量是標量，稱該場為標量場。 例如：溫度場、電位場、高度場等。如果物理量是矢量，稱該場為矢量場。 例如：流速場、重力場、電場、磁場等。如果場與時間無關，稱為(chn wi)靜態場，反之為時變場。時變標量場和矢量場可分別表示為： 確定空間區域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區域上定義了一個場。從數學上看，場是定義在空間區域上的函數：標量場和矢量場靜態標量場和矢量場可分別表示為：14共五十頁標量(bioling)場的等值面標量(bioling)場的等值線(面)等值面: 標量場取得同一數值的點在空 間形成的曲

6、面。等值面方程：常數C 取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，形成等值面族；標量場的等值面充滿場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。 等值面的特點：意義: 形象直觀地描述了物理量在空間 的分布狀態。15共五十頁2. 方向(fngxing)導數意義：方向性導數表示(biosh)場沿某方向的空間變化率。概念： u(M)沿 方向增加； u(M)沿 方向減小； u(M)沿 方向無變化。 M0M方向導數的概念 特點：方向性導數既與點M0有關，也與 方向有關。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？ 的方向余弦。 式中： 16共五十頁梯度(t d)的表達式：圓柱面坐標系 球面坐標系直

7、角面坐標系 3、標量場的梯度（ 或 ）意義：描述標量場在某點的最大變化(binhu)率及其變化(binhu)最大的方向概念： ，其中 取得最大值的方向17共五十頁標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化(binhu)最大（增大）的方向，其數值表示變化(binhu)最大方向上場的空間變化(binhu)率。標量場在某個方向上的方向導數，是梯度在該方向上的投影。梯度(t d)的性質：梯度運算的基本公式：標量場的梯度垂直于通過該點的等值面（或切平面）18共五十頁 例1.2.1 設一標量函數 (x,y,z) = x2y2z 描述了空間標量場。試求： (1) 該函數 在點P(1,1,1)處的

8、梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量； (2) 求該函數 沿單位矢量 el= ex cos60ey cos45 ez cos60方向的方向導數，并以點P(1,1,1)處的方向導數值與該點的梯度值作以比較(bjio)，得出相應結論。 解 (1)由梯度(t d)計算公式，可求得P點的梯度為19共五十頁表征其方向的單位(dnwi)矢量 (2) 由方向(fngxing)導數與梯度之間的關系式可知，沿el方向的方向導數為對于給定的P點，上述方向導數在該點取值為20共五十頁而該點的梯度(t d)值為 顯然，梯度 描述了P點處標量函數 的最大變化率，即最大的方向導數，故 恒成立。21共五十頁1.4 矢量(sh

9、ling)場的通量與散度 1、矢量(shling)線 意義：形象直觀地描述了矢量場的空間分 布狀態。矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一 點的切線方向代表了該點矢量場 的方向。矢量線oM 22共五十頁2、矢量(shling)場的通量 問題：如何定量描述(mio sh)矢量場的大小？ 引入通量的概念。 通量的概念：其中：面積元矢量；面積元的法向單位矢量；穿過面積元 的通量； 如果曲面 S 是閉合的，則規定曲面法矢由閉合曲面內指向外，矢量場對閉合曲面的通量是：面積元矢量23共五十頁通過閉合(b h)曲面有凈的矢量線穿出有凈的矢量(shling)線進入進入與穿出閉合曲面的矢量線相等矢量場通

10、過閉合曲面通量的三種可能結果 閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場通過閉合曲面的通量與曲面內產生矢量場的源的關系。通量的物理意義24共五十頁3、矢量(shling)場的散度 為了定量研究場與源之間的關系，需建立場空間任意點（小體積元）的通量源與矢量場（小體積元曲面的通量）的關系。利用(lyng)極限方法得到這一關系：稱為矢量場的散度。 散度是矢量通過包含該點的任意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。25共五十頁柱面坐標系球面(qimin)坐標系直角坐標(zh jio zu bio)系散度的表達式：散度的有關公式：26共五十頁直角坐標(zh jio zu bio)系下散度表達式的推導 由此可知

11、，穿出前、后兩側(lin c)面的凈通量值為oxy在直角坐標系中計算FzzDxDyDP 不失一般性，令包圍P點的微體積V 為一直平行六面體，如圖所示。則27共五十頁根據(gnj)定義，則得到直角坐標系中的散度 表達式為 同理，分析(fnx)穿出另兩組側面的凈通量，并合成之，即得由點P 穿出該六面體的凈通量為28共五十頁4、散度定理(dngl)體積的剖分VS1S2en2en1S 從散度的定義出發，可以得到矢量場在空間任意閉合(b h)曲面的通量等于該閉合(b h)曲面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關系，在電磁理論中有著廣泛的應用。29共五十頁1

12、.5 矢量(shling)場的環流和旋度 矢量(shling)場的環流與旋渦源 例如：流速場 不是所有的矢量場都由通量源激發。存在另一類不同于通量源的矢量源，它所激發的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合路徑的積分不為零。30共五十頁 如磁場沿任意閉合曲線的積分與通過(tnggu)閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即：上式建立了磁場的環流(hun li)與電流的關系。 31共五十頁如果矢量場的任意閉合回路的環流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。如果矢量場對于任何閉合曲線(qxin)的環流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，能夠激發有旋矢量場的源稱為旋渦源

13、。電流是磁場的旋渦源。環流(hun li)的概念 矢量場對于閉合曲線C 的環流定義為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即32共五十頁 過點M 作一微小曲面S，它的邊界(binji)曲線記為C，曲面的法線方向n與曲線的繞向成右手螺旋法則。當S0時，極限稱為矢量(shling)場在點M 處沿方向n的環流面密度。 矢量場的環流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內旋渦源的宏觀聯系。為了給出空間任意點矢量場與旋渦源的關系，引入矢量場的旋度。 特點：其值與點M 處的方向n有關。2、矢量場的旋度（ ） （1）環流面密度33共五十頁而 推導 的示意圖如圖所示。oyDz DyCMzx1234計算 的示意圖 直角坐標系中

14、 、 、 的表達式34共五十頁于是 同理可得故得概念：矢量場在M點處的旋度為一矢量，其數值為M點的環流面 密度最大值，其方向(fngxing)為取得環量密度最大值時面積元的法 線方向，即物理(wl)意義：旋渦源密度矢量。性質：（2）矢量場的旋度35共五十頁旋度的計算公式:直角坐標系圓柱面坐標系球面坐標系36共五十頁旋度的有關(yugun)公式：矢量場的旋度的散度恒為零標量場的梯度的旋度恒為零37共五十頁3、Stokes定理(dngl) Stokes定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變換(binhun)關系式，也在電磁理論中有廣泛的應用。曲面的剖分方向相反大小相等結果抵消 從旋度的定義出發，

15、可以得到矢量場沿任意閉合曲線的環流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即38共五十頁4、散度和旋度的區別(qbi) 39共五十頁1、矢量(shling)場的源散度源：是標量，產生的矢量(shling)場在包圍源的封閉面上的通量 等于（或正比于）該封閉面內所包圍的源的總和， 源在一給定點的（體）密度等于（或正比于）矢量 場在該點的散度； 旋度源：是矢量，產生的矢量場具有渦旋性質，穿過一曲面 的旋度源等于（或正比于）沿此曲面邊界的閉合回 路的環量，在給定點上，這種源的（面）密度等于 （或正比于）矢量場在該點的旋度。1.6 無旋場與無散場40共五十頁2、矢量(shling)場按源的分類（1

16、）無旋場性質：，線積分與路徑無關，是保守場。僅有散度源而無旋度源的矢量場，無旋場可以用標量場的梯度(t d)表示為例如：靜電場41共五十頁（2）無散場(sn chng) 僅有旋度源而無散度源的矢量(shling)場，即性質：無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場42共五十頁（3）無旋、無散場(sn chng)（源在所討論(toln)的區域之外）（4）有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分無旋場部分無散場部分43共五十頁1.7 拉普拉斯運算(yn sun)與格林定理 1、拉普拉斯運算(yn sun) 標量拉普拉斯運算概念： 拉普拉斯算符直角坐標系計算公式：圓柱坐標系

17、球坐標系44共五十頁 矢量拉普拉斯運算概念(ginin)：即注意(zh y)：對于非直角分量，直角坐標系中：如：45共五十頁2. 格林定理(dngl) 設任意兩個標量場 及，若在區域 V 中具有連續的二階偏導數，那么，可以(ky)證明該兩個標量場 及 滿足下列等式。 根據方向導數與梯度的關系，上式又可寫成式中S 為包圍V 的閉合曲面， 為標量場 在 S 表面的外法線 en 方向上的偏導數。以上兩式稱為標量第一格林定理。SV,46共五十頁基于上式還可獲得(hud)下列兩式：上兩式稱為標量(bioling)第二格林定理。 格林定理說明了區域 V 中的場與邊界 S 上的場之間的關系。因此，利用格林定

18、理可以將區域中場的求解問題轉變為邊界上場的求解問題。 此外，格林定理反映了兩種標量場之間滿足的關系。因此，如果已知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。 格林定理廣泛地用于電磁理論。47共五十頁亥姆霍茲定理(dngl): 若矢量場在無限空間中處處單值，且其導數連續有界，源分布在有限(yuxin)區域中，則當矢量場的散度及旋度給定后，該矢量場可表示為 式中： 亥姆霍茲定理說明：在無界空間區域，矢量場可由其散度及旋度確定。1.8 亥姆霍茲定理48共五十頁有界區域(qy) 在有界區域，矢量場不但與該區域中的散度和旋度有關(yugun)，還與區域邊界上矢量場的切向分量和法向分量有關。49共五十頁內容摘要第一章 矢量分析。矢量的標積符合交換律。 分配律。