1、2022屆高三優(yōu)質(zhì)模擬試題分類匯編：球一基本原理1三角形的外心: .注：等邊三角形的外心，直角三角形的外心，正方形，長(zhǎng)方形的外心.三正方體，長(zhǎng)方體的外接球.正長(zhǎng)體或長(zhǎng)方體的外接球的球心是其體對(duì)角線的中點(diǎn)2正棱柱，直棱柱的外接球.1.基本定義：棱柱：上下底面平行且全等，側(cè)棱平行且相等的封閉 HYPERLINK /item/%E5%87%A0%E4%BD%95%E4%BD%93 t /item/_blank 幾何體叫棱柱.直棱柱：側(cè)棱與底面垂直的棱柱稱為直棱柱.正棱柱：底面是正多邊形的直 HYPERLINK /item/%E6%A3%B1%E6%9F%B1 t /item/%E6%AD%A3%E6

2、%A3%B1%E6%9F%B1/_blank 棱柱叫做正棱柱.正棱柱是 HYPERLINK /item/%E4%BE%A7%E6%A3%B1/20402568 t /item/%E6%AD%A3%E6%A3%B1%E6%9F%B1/_blank 側(cè)棱都垂直于底面，且底面是正多邊形的棱柱.2.外接球球心：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心連線的中點(diǎn).正棱柱外接球的球心是上下底面中心連線的中點(diǎn)。3.計(jì)算公式：設(shè)底面小圓的半徑為，棱柱高為，則.2.墻角模型（三條線兩個(gè)垂直，不找球心的位置即可求出球半徑） 方法：找三條兩兩垂直的線段，直接用公式，即，求出3.垂面模型（一條直線垂直于一個(gè)平面）1

3、題設(shè)：如圖5，平面解題步驟：第一步：將畫在小圓面上，為小圓直徑的一個(gè)端點(diǎn)，作小圓的直 徑，連接，則必過球心；第二步：為的外心，所以平面，算出小圓的半徑（三角形的外接圓直徑算法：利用正弦定理，得），；第三步：利用勾股定理求三棱錐的外接球半徑： = 1 * GB3 ； = 2 * GB3 4.幾個(gè)特殊的四面體1.1正四面體：由四個(gè)全等 HYPERLINK /item/%E6%AD%A3%E4%B8%89%E8%A7%92%E5%BD%A2/713720 t /item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank 正三角形圍成的空間 HYPERLINK /

4、item/%E5%B0%81%E9%97%AD%E5%9B%BE%E5%BD%A2/4256736 t /item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank 封閉圖形，所有 HYPERLINK /item/%E6%A3%B1%E9%95%BF/335467 t /item/%E6%AD%A3%E5%9B%9B%E9%9D%A2%E4%BD%93/_blank 棱長(zhǎng)都相等.1.2 正四面體的外接球和內(nèi)切球.假設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為,其外接球半徑為，內(nèi)切球半徑為，則.2.等腰四面體：四面體中中，.性質(zhì)1：頂點(diǎn)在底面的投影為底面外接圓圓心.性質(zhì)2：二典例分析一

5、四面體模型1.（合肥二模）在四面體中， ，二面角的大小為，則四面體外接球的表面積為（）ABCD解析：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連接，則，所以是直角的外心，所以，所以是二面角的平面角，是中點(diǎn)，則是直角的外心，由，平面得平面，平面，所以平面平面，同理平面平面，平面平面，平面平面，在平面內(nèi)過作，則平面，在平面內(nèi)過作，則平面，與交于點(diǎn)，所以為四面體的外接球的球心，中，所以，所以，所以外接球表面積為故選：B2.（蘇錫常鎮(zhèn)一模）正四面體的棱長(zhǎng)為，是棱的中點(diǎn)，以為球心的球面與平面的交線和相切，則球的體積是（）ABCD解析點(diǎn)在平面內(nèi)的射影為點(diǎn)，則為的中心，取的中點(diǎn)，連接，則，取線段的中點(diǎn)，連接，因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，則且

6、，因?yàn)槠矫妫瑒t平面，因?yàn)槠矫妫瑒t，正的外接圓半徑為，所以，易知球被平面所截的截面圓圓心為點(diǎn)，且，故，因?yàn)闉榈冗吶切危瑸榈闹悬c(diǎn)，則，因?yàn)橐詾榍蛐牡那蛎媾c平面的交線和相切，則切點(diǎn)為點(diǎn)，則球的半徑為，因此，球的體積是.故選：D.二棱臺(tái)模型3.（青島一模）已知圓臺(tái)的軸截面如圖所示，其上、下底面半徑分別為，母線長(zhǎng)為2，為母線中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A圓臺(tái)母線與底面所成角為60B圓臺(tái)的側(cè)面積為C圓臺(tái)外接球半徑為2D在圓臺(tái)的側(cè)面上，從到的最短路徑的長(zhǎng)度為5解析：對(duì)于A：過A作交底面于F，則底面，所以即為母線與底面所成角.在等腰梯形ABCD中，,所以.因?yàn)闉殇J角，所以.故A正確；對(duì)于B：由題意，圓臺(tái)的側(cè)

7、面展開圖為半圓環(huán)，其面積為.故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：設(shè)圓臺(tái)外接球的球心為O，半徑R.由題意可得：.設(shè)，則，由，即，解得：a=0.即OO1重合，所以.故C正確；對(duì)于D：如圖示，在在圓臺(tái)的側(cè)面上，從到的最短路徑的長(zhǎng)度為CE.由題意可得：.由為中點(diǎn)，所以，所以.故D正確.故選：ACD4（成都三診）已知三棱臺(tái)的六個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，和分別是邊長(zhǎng)為和的正三角形，則球O的體積為（）ABCD設(shè)點(diǎn)，分別是正，的中心，球的半徑為，且，三點(diǎn)共線，正三棱臺(tái)的高為，在等邊中，由，由正弦定理可得： ，得，在等邊中，由，由正弦定理可得： ，得，如下圖，過點(diǎn)作，則在三角形中 ，所以，所以正三棱臺(tái)的高為3，在中，即，在中，即，

8、兩式解得：，所以球O的體積為：. 故選：B.三側(cè)棱垂直于底面5（德陽二診）已知是球面上的四個(gè)點(diǎn)，平面，則該球的表面積為（）ABCD因?yàn)槠矫妫裕郑裕郑云矫妫煌砥矫妫瑒t兩兩互相垂直，將三棱錐補(bǔ)形成以為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體，如下圖所示，又是球面上的四個(gè)點(diǎn)，所以球的直徑為該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，又，所以該長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為，即球的直徑，其中是球的半徑；所以球的表面積為.故選:B.6（保定一模）已知三棱錐，其中平面，則該三棱錐外接球的表面積為（）ABCD解析：根據(jù)題意設(shè)底面的外心為，O為球心，所以平面，因?yàn)槠矫妫裕O(shè)是中點(diǎn)，因?yàn)椋裕驗(yàn)槠矫妫矫妫裕虼耍虼怂倪呅问瞧叫兴倪呅危剩捎嘞叶ɡ恚茫烧叶ɡ恚茫栽撏饨忧虻陌霃綕M足，故選：C四最值問題3（眉山三模）已知是邊長(zhǎng)為3的等邊三角形，三棱錐全部頂點(diǎn)都在表面積為的球O的球面上，則三棱錐的體積的最大值為（）ABCD球O的半徑為R，則，解得：，由已知可得：，其中球心O到平面ABC的距離為，故三棱錐的高的最大值為3，體積最大值為故選：C4三棱錐的頂點(diǎn)都在以PC為直徑的球M的球面上，若球M的表面積為，