1、第四章 平面(pngmin)問題極坐標解答共八十六頁第四章 平面(pngmin)問題的極坐標解答研究(ynji)對象： 圓形、扇形、楔形體等物體內 容： 極坐標下平面問題的基本方程 應力法的基本方程討論問題： 軸對稱問題、圓環或圓筒受均 布壓力、應力集中、半平面體 的受力問題共八十六頁41 極坐標中的平衡(pnghng)微分方程共八十六頁41 極坐標中的平衡(pnghng)微分方程一、極坐標各分量(fn ling)的表示方法1、單元劃分 厚度為1的薄板 坐標系 P點坐標： 單元：共八十六頁二、極坐標各分量的表示(biosh)方法2.應力(yngl)分量 徑向正應力 環向正應力徑向體力分量環向體

2、力分量 環向切應力 法向切應力3.體力分量41 極坐標中的平衡微分方程符號：正面正向，負面負向；反之為負。符號：與坐標軸方向一致為正，反之為負。共八十六頁三、兩個(lin )坐標系的區別直角坐標系： 正交坐標系， 為直線坐標、方向固定，量綱為長度量綱。41 極坐標中的平衡(pnghng)微分方程極坐標系： 正交坐標系， 在不同點有不同的方向， 為直線坐標、量綱為長度量綱； 為曲線坐標、量綱為一的量綱。共八十六頁41 極坐標中的平衡(pnghng)微分方程平衡(pnghng)微分方程推導的基本思路（1）畫出極坐標下的微元；（2）標出微元體所受的應力（受力分析）；（3）列 出力和力矩的平衡方程；（

3、4）處理方程組，得到平衡微分方程。共八十六頁四、平衡(pnghng)微分方程考慮 、 增量引起應力的增量注意：PA面與BC面不平行(pngxng)， PB面與AC面面積不同。41 極坐標中的平衡微分方程受力平衡共八十六頁應力分量(fn ling)3個，平衡方程2個。極坐標下的平衡微分方程:41 極坐標中的平衡(pnghng)微分方程討論直角坐標下的平衡微分方程:共八十六頁42 極坐標中的幾何(j h)方程及物理方程共八十六頁42 極坐標中的幾何方程(fngchng)及物理方程推導(tudo)幾何方程的思路:（1）在物體上作兩條互相垂直的線（一直，一弧）；（2）畫出兩條線的變形增量；（3）考慮直

4、線變形造成的應變；（4）考慮弧變形造成的應變；（5）兩者疊加得到極坐標下的幾何方程。共八十六頁將變形分兩部分(b fen)：徑向位移(圖42a)、環向位移（圖42（b）42 極坐標中的幾何方程(fngchng)及物理方程(fngchng)一、幾何方程圖42：徑向位移； ：環向位移：徑向線應變； ：環向線應變； ：切應變共八十六頁42 極坐標中的幾何方程(fngchng)及物理方程(fngchng)1、只有徑向(jn xin)位移由徑向應變引起的：徑向線應變：環向線應變：切應變：徑向線段 移動到 環向線段 移動到徑向線段PA的線應變：共八十六頁42 極坐標中的幾何(j h)方程及物理方程1、只有

5、徑向(jn xin)位移由徑向應變引起的：徑向線應變：環向線應變：切應變：由徑向位移引起的環向線段的線應變共八十六頁1、只有(zhyu)徑向位移由徑向應變(yngbin)引起的：徑向線應變：環向線應變：切應變：42 極坐標中的幾何方程及物理方程由徑向位移引起的切應變徑向線段PA的轉角環向線段PB的轉角切應變：共八十六頁42 極坐標中的幾何(j h)方程及物理方程2、只有(zhyu)環向位移由環向位移引起的：徑向線應變：環向線應變：切應變：P，A，B三點的位移由環向位移引起的徑向線段PA的線應變徑向線應變：共八十六頁2、只有(zhyu)環向位移由徑向應變(yngbin)引起的：徑向線應變：環向線

6、應變：切應變：42 極坐標中的幾何方程及物理方程環向線段PB的線應變：共八十六頁42 極坐標中的幾何(j h)方程及物理方程2、只有(zhyu)環向位移由徑向應變引起的：徑向線應變：環向線應變：切應變：由環向位移引起的切應變：徑向線段PA的轉角環向線段PB的轉角切應變：共八十六頁42 極坐標中的幾何(j h)方程及物理方程所以(suy)，幾何方程：（42）共八十六頁42 極坐標中的幾何(j h)方程及物理方程 由于極坐標和直角坐標都是正交坐標系，因此，極坐標和直角坐標的物理方程應該(ynggi)有相同的形式。極坐標下的物理方程：(212)（43）平面坐標下的物理方程：共八十六頁42 極坐標中的

7、幾何方程(fngchng)及物理方程（43）平面(pngmin)應力：平面應變：（44）平面應力 平面應變共八十六頁物理(wl)方程平衡(pnghng)方程幾何方程極坐標下的基本方程共八十六頁43 極坐標中的應力函數與相容(xin rn)方程共八十六頁相容(xin rn)方程一、直角坐標的相容方程和應力(yngl)分量不計體力的應力分量體力為常量或零的情況：設應力函數為43 極坐標中的應力函數與相容方程共八十六頁1、極坐標和直角坐標(zh jio zu bio)的變換公式得到(d do)二、極坐標的相容方程和應力分量43 極坐標中的應力函數與相容方程共八十六頁43 極坐標中的應力(yngl)函

8、數與相容方程把 看成復合函數，根據(gnj)復合函數的鏈式求導法則：一階導數：共八十六頁(a)(b)(c)二階導數(do sh)：43 極坐標中的應力函數與相容(xin rn)方程共八十六頁 在坐標=0時，極坐標的各分量和直角坐標各分量相同(xin tn)。將上面各式代入應力分量的表達式（常體力）得到(d do)應力分量（45）43 極坐標中的應力函數與相容方程共八十六頁43 極坐標中的應力(yngl)函數與相容方程（45）的前兩式相加直角坐標(zh jio zu bio)系的相容方程極坐標系的相容方程共八十六頁相容(xin rn)方程（46）43 極坐標中的應力函數與相容(xin rn)方程

9、當體力不記時，在極坐標中按應力求解平面問題，歸結為求 ， 它一般也是用逆解法和半逆解法求得，和直角坐標一樣，（1）它必須滿足相容方程（46）；（2）滿足應力邊界條件；（3）多連體時，還要滿足位移單值條件。共八十六頁44 應力分量的坐標(zubio)變換共八十六頁44 應力分量的坐標(zubio)變換 在工程中，有些問題屬于(shy)兩種坐標系的問題。如板中有孔的應力問題等，坐標變換如圖所示。圖（43）共八十六頁2、用極坐標應力分量(fn ling)表示直角坐標應力分量(fn ling)44 應力分量(fn ling)的坐標變換（48）1、用直角坐標應力分量表示極坐標應力分量（47）共八十六頁4

10、5 軸對稱問題(wnt)和相應的位移共八十六頁45 軸對稱問題(wnt)和相應的位移軸對稱問題：物體的形狀(xngzhun)或某物理量式繞一軸對稱的，凡是通過對稱軸的任何面都是對稱面。軸對稱問題：在空間問題中，如果彈性體的幾何形狀、約束情況及受到的外來因素都是對稱于某一軸（通過這個軸的任一平面都是對稱面），則所有的應力，應變和位移也都對稱于這一軸。軸對稱問題：應力分量僅是半徑的函數。共八十六頁半逆解法(ji f)的基本思路：1）針對所要求解的問題，根據邊界形狀和受力情況(qngkung)，假設部分或全部應力分量的函數形式；2）推出應力函數的形式；3）代入相容方程，求出應力函數的具體表達形式；4

11、）再按（2-24）式由應力函數求得應力分量；5）考查應力分量是否滿足全部邊界條件（多連體還要滿足位移單值）；6）滿足是問題的解，不滿足重新假設求解。45 軸對稱問題和相應的位移共八十六頁45 軸對稱問題和相應(xingyng)的位移軸對稱應力函數（1）假設應力(yngl)分量的函數形式軸對稱問題的應力函數（2）極坐標下的相容方程共八十六頁45 軸對稱問題和相應(xingyng)的位移引入軸對稱問題(wnt)的Laplace operator則相容方程可以寫成對上面方程積分四次（410）（3）求出應力函數的具體表達形式共八十六頁（49）45 軸對稱問題(wnt)和相應的位移（411）即為軸對稱問

12、題的一般(ybn)解答（4）由應力函數求得應力分量（411）共八十六頁45 軸對稱問題和相應(xingyng)的位移由物理(wl)方程求出應變將（411）代入物理方程（43）將上式代入幾何方程（42）（a）共八十六頁45 軸對稱問題和相應(xingyng)的位移 處理方程組（a）：先將（a1）積分，代入（a2），再將（a2）積分把兩個(lin )積分后的式子代入（a3）解微分方程 式中的A、B、C、H、I、K都是待定常數，其中H、I、K代表剛體位移。（412）共八十六頁45 軸對稱問題和相應(xingyng)的位移Discussion（1）方程（411）（412）的適用范圍：任何軸對稱應力(y

13、ngl)問題；（2）待定常數可以用應力邊界條件和位移邊界條件賴確定；（3）對于平面應變情況；平面應力 平面應變共八十六頁46 圓環或圓筒受均布壓力(yl)共八十六頁46 圓環或圓筒受均布壓力(yl)圖44共八十六頁46 圓環或圓筒受均布壓力(yl)首先判斷軸對稱問題，軸對稱問題的應力和位移(wiy)解適用于該問題。（412）（411）共八十六頁46 圓環或圓筒受均布壓力(yl)要想求解(qi ji)應力，必須給出應力邊界條件代入（411）兩個方程3個未知數問題：為什么給出了所有的應力邊界條件卻解不出應力？（a）（b）共八十六頁46 圓環或圓筒受均布壓力(yl)該問題(wnt)是一個多連體，因此

14、還要給出位移單值條件代入（412）把B0代入（b）圓筒受均布壓力的拉梅解答共八十六頁46 圓環或圓筒受均布壓力(yl)討論(toln)：（1）如果只有內壓（2）如果（3）如果只有外壓（4）以上解答是對圓環還是對圓筒的？共八十六頁47 壓力(yl)隧洞共八十六頁47 壓力(yl)隧洞圖45共八十六頁47 壓力(yl)隧洞問題描述：圓筒和一個(y )無限大彈性體的接觸問題。接觸問題：兩個彈性體在邊界上互相接觸，這是要考慮接觸條件設：彈性體的材料常數：圓筒的材料常數：怎樣解接觸問題？給出接觸面上的接觸條件即可：應力相等位移相等共八十六頁47 壓力(yl)隧洞 圓筒和無限大彈性體的應力分布(fnb)都

15、是軸對稱的，因此可應用應力解答（411）和位移解答（412）；（1）單值條件圓筒解答的系數： ；無限大彈性體圓筒無限大彈性體共八十六頁47 壓力(yl)隧洞（2）邊界條件圓筒邊界條件無限大彈性體邊界條件（3）接觸(jich)條件其中：共八十六頁47 壓力(yl)隧洞圓筒及無限大彈性體的應力(yngl)分量表達式共八十六頁47 壓力(yl)隧洞接觸(jich)問題簡介（1）完全接觸 ：不脫離不滑動，接觸面上正應力相等，切應力也相等， 法向位移相等，切向位移也相等。（2）光滑接觸 ：不脫離有可能滑動，接觸面上正應力相等，應力為零， 法向位移相等，切向位移有可能不等。共八十六頁課堂(ktng)習題

16、內半徑為a，外半徑為b的狹矩形截面的圓軸曲梁，在兩端受大小(dxio)相等方向相反的彎矩，為軸對稱問題。共八十六頁 內半徑為a，外半徑為b的狹矩形截面的圓軸曲梁，在兩端受大小相等方向相反(xingfn)的彎矩，為軸對稱問題。邊界(binji)切應力都為零。 上述解滿足該邊界條件。在梁的內外兩面，正應力要求:共八十六頁在梁端的(dund)邊界條件要求:由邊界條件得到(d do):共八十六頁代入，并由邊界條件將 的表達式共八十六頁 在這里有三個方程和三個待定常數，解出A、B和C，代入應力分量表達式，得到(d do)郭洛文解答:其中(qzhng)：共八十六頁48 圓孔的孔口(kn ku)應力集中共八

17、十六頁48 圓孔的孔口(kn ku)應力集中什么(shn me)叫孔口應力集中？由于開孔，孔口附近的應力將遠遠大于無孔時的應力，也遠大于距孔口較遠處的應力。下面用一個中心開有圓孔矩形薄板為例子來說明這個問題共八十六頁48 圓孔的孔口集中(jzhng)應力問題(wnt)分析：（1）應該在什么坐標下求解這個問題？（2）孔會對應力分布會造成什么樣的影響？（3）本節和上節的問題有什么相似之處？1、應力等效由31節知道，一個兩邊受均布拉力的方板，板內的應力為本問題中有個孔，板內應力分布肯定會改變，咋辦？共八十六頁48 圓孔的孔口(kn ku)應力集中應力集中：桿件外形突然(trn)變化，而引起局部應力急

18、劇增大的現象。考慮距離孔心b的一點A，ba，可以認為A點的應力分布不受孔的影響則微元上的應力：共八十六頁48 圓孔的孔口應力(yngl)集中把應力(yngl)分成兩部分：（a）（b）（a）的解答由于 上面的解答可近似成 共八十六頁48 圓孔的孔口(kn ku)應力集中下面(xi mian)求（b）的解答（b）下面用半逆解法解這個問題半逆解法的基本思路：1）針對所要求解的問題，根據邊界形狀和受力情況，假設部分或全部應力分量的函數形式；2）推出應力函數的形式；3）代入相容方程，求出應力函數的具體表達形式；4）再按（2-24）式由應力函數求得應力分量；5）考查應力分量是否滿足全部邊界條件（多連體還要

19、滿足位移單值）；6）滿足是問題的解，不滿足重新假設求解。共八十六頁48 圓孔的孔口應力(yngl)集中設應力函數：代人相容(xin rn)方程： 刪去因子 并求解這個常微分方程應力函數：共八十六頁48 圓孔的孔口應力(yngl)集中由應力(yngl)函數求出應力(yngl)分量給出邊界條件和（b）共八十六頁48 圓孔的孔口(kn ku)應力集中（a）的解加上（b）的解，得到(d do)齊爾西解答討論：（1） ：（2）沿y軸：共八十六頁48 圓孔的孔口(kn ku)應力集中（3）沿x軸：（4）應力(yngl)集中圖：圖48共八十六頁48 圓孔的孔口應力(yngl)集中（5）以下情況(qngkun

20、g)能不能簡單求解？（1） （2）共八十六頁49 半平面(pngmin)體在邊界上受集中力共八十六頁49 半平面(pngmin)體在邊界上受集中力圖49用半逆解法(ji f)求解怎樣求解該問題？量綱分析法來假設應力分量的形式：應力分量只可能是 的形式。N：無量綱，和 有關。共八十六頁49 半平面(pngmin)體在邊界上受集中力根據應力分量的形式設應力函數代入相容方程求解應力函數(hnsh)的具體表達式應力函數的具體表達式由于應力函數的具體表達式 （420）共八十六頁49 半平面(pngmin)體在邊界上受集中力求出應力(yngl)分量考察邊界條件自動滿足考察邊界條件集中力作用點處怎么辦？根據圣維南原理：共八十六頁49 半平面(pngmin)體在邊界上受集中力應力(yngl)分量的解答（421）集中力的邊界條件共八十六頁應力(yngl)分量的解答（421）49 半平面(pngmin)體在邊界上受集中力Discussion（1）當外力垂直與邊界時（422）共八十六頁49 半平面(pngmin)體在邊界上受集中力（2）變換(binhun)到直角坐標下（423）（424）共八十六頁49 半平面(pngmin)體在邊界上受集中力求解位移（當外力垂直(chuzh)與邊界時）（1）把應力代人物理方程求應變（平面應力）（2）把應變代人幾何方