1、層次分析法層次分析法Analytical Hierarchy Process ,簡稱AHP)是美國匹茲堡大學教授A.L.Saaty于20世紀70年代提出的一種系統分析方法。由于研討任務的需求，Saaty教授開發了一種綜合定性與定量分析，模擬人的決策思想過程，以處理多要素復雜系統，特別是難以定量描畫的社會系統的分析方法。1977年舉行的第一屆國際數學建模會議上，Saaty教授發表了。從此，AHP開場引起了人們的留意，并陸續運用。1980年，Saaty 教授出版了有關AHP的論著。近年來，世界上有許多著名學者在AHP的理論研討和實踐運用上作了大量的任務。.1982年11月，我國召開的能源、資源、環

2、境學術會議上，美國Moorhead大學能源研討所所長Nezhed教授初次向我國學者引見了AHP方法。其后，天津大學許樹柏等發表了我國第一篇引見AHP的論文。隨后，AHP的實際研討和實踐運用在我國迅速開展。1988年9月，在天津召開了國際AHP學術討論會，Saaty教授等國外學者和國內許多學者一同討論了AHP的實際和運用問題。目前，AHP運用在能源政策分析、產業構造研究、科技成果評價、開展戰略規劃、人才考核評價、以及開展目的分析的許多都獲得了令人稱心的成果。.AHP是一種將定性分析與定量分析相結合的系統分析方法。在進展系統分析時，經常會碰到這樣的一類問題：有些問題難以甚至根本不能夠建立數學模型進

3、展定量分析；也能夠由于時間緊，對有些問題還來不及進展過細的定量分析，只需作出初步的選擇和大致的斷定就行了。例如選擇一個新廠的廠址，購買一臺重要的設備，確定到哪里去旅游等等。這時，我們假設運用AHP進展分析，就可以簡便而且地處理問題。AHP是分析多目的、多準那么的復雜大系統的有力工具。它具有思緒明晰、方法簡單、適用面廣、系統性強等特點，便于普及推行，可成為人們任務中思索問題、處理問題的.一種方法。將AHP引入決策，是決策科學化的一大提高。它最適宜于處理難以完全用定量方法進展分析的決策問題。因此，它是復雜的社會經濟系統實現科學決策的有力工具。一。AHP的根本原理為了闡明AHP的根本原理，首先讓我們

4、分析下面的簡單現實。假定我們知n個西瓜的總分量為1，每個西瓜的分量為 問每個西瓜相對于其他西瓜的相對分量是多重？可經過兩兩比較相除，得到比較矩陣以后稱之為判別矩陣：.顯然矩陣A滿足1稱滿足1式的矩陣為互反矩陣。且滿足2.即n是A的一個特征根，是A的對應與特征根n的一個特征向量。設有.如今提出相反的問題：假設事先不知道每個西瓜的分量，也沒有衡器去稱量，如何斷定每個西瓜的相對分量呢？即如何斷定那個最重，那個次之，哪個最輕呢？我們可以經過兩兩比較的方法，得出判別矩陣A,然后求出A的最大特征值 ，進而經過求出A的特征向量.然后經過將 規范化：那么 即為n個西瓜的相對分量。.運用AHP，判別矩陣的一致性

5、是非常重要的。所謂判別矩陣的一致性，即判別矩陣能否滿足如下關系：假設上式完全成立時，稱判別矩陣具有完全一致性。可以證明，n階完全一致性矩陣具有以下的性質：1。A的秩為1，A的獨一非零特征根為n。2。A的任一列行向量都是對應于特征根n的特征向量。證明：設.是n階完全一致性矩陣，那么.留意到：有.所以.在普通情況下，可以證明判別矩陣的最大特征值為單根，且當判別矩陣具有稱心的一致性時， 稍大于矩陣階數 ，其他特征根接近于零。這時AHP得出的結論才根本合理。但由于客觀事物的復雜性和人們認識上的多樣性，要求一切的判別都有完全的一致性是不能夠的，但我們要求一定程度上的判別一致，因此對構造的判別矩陣需求進展

6、一致性檢驗。.二。AHP的步驟用AHP分析問題大體要經過以下五個步驟： 建立層次構造模型； 構造判別矩陣； 層次單排序； 層次總排序； 一致性檢驗。其中后三個步驟在整個過程中需求逐層地進展。. 建立層次構造模型人們在日常生活中經常會碰到許多決策問題：買一件襯衫，他要在棉的、絲的、滌綸的、及花邊的、白的、方格的、之中作出抉擇；請朋友吃飯，要謀劃是辦家宴還是去飯店，是吃西餐還是西餐或自助餐；假期旅游，失去風光綺麗的杭州，還是去誘人的北戴河，或者是去山水甲天下的桂林。假設他以為這些日常生活小事不用作為決策問題仔細對待的話，那么，當他面臨報考學校、選擇專業，或者抉擇工作崗位的時候，就要慎重思索、反復思

7、索，盡能夠地做出滿意的抉擇了。.從事各種職業的人也經常面臨決策：一個廠長要決議購買哪種設備，上馬什么產品；科技人員要選擇研討課題；醫生要為疑問病例選擇治療方案；經理要從假設干應試者中選擇秘書；各地域、各部門的官員要對人口、交通、經濟、環境等領域的開展規劃作出決策。層次分析法的根本思緒與人對一個復雜的決策問題的思想、判斷過程大體上類似。無妨用前面提到過的假期旅游為例，假設有 、 、 三個旅游勝地供他選擇，他會根據諸如風光、費用、居住、飲食、旅途條件等一些準那么去反復比較哪三個候選地點。首先，他會確定這些準那么在他心目中各占多大比重，如.果他經濟寬綽、醉心旅游，自然特別看重風光，而平素簡樸或手頭拮

8、據的人那么會優先思索費用，中老年那么會對居住、飲食等條件給予較大關注。其次，他會就每一準那么將三個地點進展對比，譬如 風光最好， 次之； 費用最低， 次之； 居住條件較好等。最后，他要將這兩個層次的比較判別進展綜合，在 ， ， 中確定哪個作為最正確地點。上面的思想過程可以加工整理成以下幾個步驟：1將決策問題分解為3個層次，最上層為目的層，即選擇旅游地，最下層為方案層，有 ， ， 3個供他選擇地點，中間層為準那么層，有風光、費用、居住、飲食、旅途5個準那么，各層間的聯絡用相連的直線表示。見以下圖.目的層選擇旅游地風光費用居住飲食旅途 準那么層 方案層 圖5.1 選擇旅游地的層次構造 . 構造判別

9、矩陣 經過相互比較確定各準那么對于目的的權重，即構造判別矩陣。設準那么層5個準那么 風光， 費用， 居住， 飲食 旅途。相對于目的層：選擇旅游地， 兩兩比較打分。相對重要程度定義解釋135792，4，6，8同等重要略微重要相當重要明顯重要絕對重要介于兩重要程度之間目標i比j同樣重要目標i比j略微重要目標i比j重要目標i比j明顯重要目標i比j絕對重要.采用19的比例表度的根據是：心思學的實驗闡明，大多數人對不同事物在一樣屬性上的差別的分辨才干在59，采用19的標度反映了大多數人的判別才干；大量的社會調查闡明，19的比例標度早已被人們所熟習和采用；科學調查和實際闡明，19的比例標度已完全能區分引起

10、人們感覺差別的事物的各種屬性。.選擇旅游地風光費用居住飲食旅途.相對于風光相對于費用相對于居住相對于飲食.相對于旅途 層次單排序所謂層次單排序是指，對于上一層某要素而言，本層次各要素的重要性的排序。詳細計算是：對于判別矩陣B，計算滿足.的特征根于特征向量，式中 為 的最大最大特征根， 為對應于 的正規化的特征向量， 的分量 即是相應元素單排序的權值。自上而下，先求判別矩陣A的最大特征值于特征向量。.例如：相對于風光經計算對應于 的正規化的特征向量為對應于 的正規化的特征向量為.同理算出 的最大特征值分別為：所對應的特征向量分別為.將5個特征向量按列依次排成一矩陣：為了檢驗矩陣的一致性，需求計算

11、它的一致性目的CI，定義普通的，只需 就可以為判別矩陣具有稱心的一致性。. 層次總排序各個方案優先程度的排序向量為首選旅游地為 ，其次為 ，再者.普通地，假設層次構造由k個層次目的層算第一層，那么方案的優先程度的排序向量為.二。層次分析法的計算方法層次分析法有兩大問題：判別矩陣一致性的調整；判別矩陣的最大特征根與特征向量的計算。對于，準確解應是線性代數中的計算方法。但從運用的角度看，普通采用近似方法計算。主要有三種計算方法。1。冪法冪法使我們有能夠利用計算機的到恣意準確解的最大特征根及其對應的特征向量。步驟為 任取與判別矩陣B同價的正規化的初始向量 ； 計算. 令 計算 對于預先給定的準確度

12、，當對一切i=1,2, n成立時，那么 為所求特征向量。 可由下式求得式中：n為矩陣的階數；為向量的第i個分量。.2。和積法為簡化計算，可采用近似方法和積法計算，它可以進適用計算器在保證足夠準確度的條件下運用AHP。其詳細計算步驟為： 將判別矩陣每一列正規化 將按行相加. 將 規范化得向量. 計算判別矩陣最大特征根例 用和積法求以下的判別矩陣的最大特征值和相應的特征向量。.列向量規一化按行求和規一化.這個方法實踐上是將A的列向量規一化后取平均值，作為A的特征向量。由于當A為一致陣時，它的每一列向量都是特征向量，所以當A的不一致性不嚴重時，取A的列向量歸一化后平均值作為近似特征向量是合理的。.3.方根法 將判別矩陣每一列正規化 將按行相乘 將 規范化.得向量 計算判別矩陣最大特征根.例9 某單位擬從3名干部中選拔一名指點，選拔的規范有政策程度、任務作風、業務知識、口才、寫作才干和安康狀況。下面用AHP方法對3人綜合評價、量化排序。建立層次構造模型.目的層選一指點干部安康情況業務知識口才寫作才干任務作風 準那么層 方案層 政策程度.安康情況業務知識寫作才干口才政策