1、誤差理論與數據處理第一章 緒論1 -1研究誤差的意義是什么？簡述誤差理論的主要內容。答：研究誤差的意義為：(1)正確認識誤差的性質，分析誤差產生的原因，以消除或減小誤差；(2)正確處理測量和實驗數據，合理計算所得結果，以便在一定條件下得到更接近于真 值的數據；(3)正確組織實驗過程，合理設計儀器或選用儀器和測量方法，以便在最經濟條件下， 得到理想的結果。誤差理論的主要內容：誤差定義、誤差來源及誤差分類等。1-2試述測量誤差的定義及分類，不同種類誤差的特點是什么？答：測量誤差就是測的值與被測量的真值之間的差；按照誤差的特點和性質，可分為系統誤 差、隨機誤差、粗大誤差。系統誤差的特點是在所處測量條

2、件下，誤差的絕對值和符號保持恒定，或遵循一定的 規律變化(大小和符號都按一定規律變化)；隨機誤差的特點是在所處測量條件下，誤差的絕對值和符號以不可預定方式變化； 粗大誤差的特點是可取性。1-3試述誤差的絕對值和絕對誤差有何異同，并舉例說明。答：(1)誤差的絕對值都是正數，只是說實際尺寸和標準尺寸差別的大小數量，不反映是“大 了”還是“小了”，只是差別量；絕對誤差即可能是正值也可能是負值，指的是實際尺寸和標準尺寸的差值。+多少表明大了 多少，-多少表示小了多少。(2)就測量而言,前者是指系統的誤差未定但標準值確定的，后者是指系統本身標準值未定1 一 5測得某三角塊的三個角度之和為180000 0

3、2，試求測量的絕對誤差和相對誤差 解：絕對誤差等于：180 0002 180 0 = 2相對誤差等于：=180 o 180 義 60 * 60 648000=0.00000308641 氏 0.000031%1-6.在萬能測長儀上，測量某一被測件的長度為50口口，已知其最大絕對誤差為卬m,試 問該被測件的真實長度為多少？解：絕對誤差測得值一真值，即：LLL0已知：L = 50,L=1p m0.001mm,測件的真實長度L0L L 50 0.001 49.999 (mm)1-7.用二等標準活塞壓力計測量某壓力得100.2Pa,該壓力用更準確的辦法測得為100.5Pa, 問二等標準活塞壓力計測量值

4、的誤差為多少？解：在實際檢定中,常把高一等級精度的儀器所測得的量值當作實際值。故二等標準活塞壓力計測量值的誤差測得值實際值,即：100.2100.50.3( Pa)1-8在測量某一長度時，讀數值為2.31m,其最大絕對誤差為20 R /，試求其最大相對誤差。相對誤差maxy誤差max x 100%20X10-6=x 100%2.31=8.66 x 10-4%1-9、解：4兀 2 X 1.04230g = 9.81053m/s2對g二中）進行全微分，2.0480令 h = h + h，并令1g , h, , TT 代替 dg , dh , dT 得_ 4兀 2q h8兀 2hgTg T2T3從而

5、og = Qh 2衛的最大相對誤差為: gh T0.00005 . -0.0005=2 x1.042302.0480=5.3625x10-4%由g = 丁，得T =1 4兀 2h，所以T = :尸!嚴二 2.04790由 口 g max 二 口 max 2 口 max，有 TT= max ABS 1( 口 max 口 g min ), ABS -(min- - 口 g max)g h Tmax2 h g2 h g1-10檢定2.5級（即引用誤差為2.5%）的全量程為100V的電壓表，發現50V刻度點的示值誤差2V為最大誤差，問該電壓表是否合格？最大引用誤差二某量程最大示值誤差測量范圍上限x10

6、0%= 2 x 100% = 2% 12所以L2=80mm方法測量精度高。1-13多級彈導火箭的射程為10000km時，其射擊偏離預定點不超過0.lkm，優秀射手能在距離50m遠處準確地射中直徑為2cm的靶心，試評述哪一個射擊精度高？解：多級火箭的相對誤差為：0 1=0.00001 = 0.001%10000射手的相對誤差為：1皿0.01.50 m50 m=0.0002 = 0.02%多級火箭的射擊精度高。1-14若用兩種測量方法測量某零件的長度L1=110mm,其測量誤差分別為土 “m和士 9Rm而用第三種測量方法測量另一零件的長度L2=150mm。其測量誤差為 12Rm ,試比較三種測 量

7、方法精度的高低。相對誤差I = 1 m =0.01%110mmI = 刖m =0. 0082%110mmI = 12 . m =0.00%1 5 0mm13 12 I1第三種方法的測量精度最高第二章 誤差的基本性質與處理2-1試述標準差、平均誤差和或然誤差的幾何意義。答：從幾何學的角度出發,標準差可以理解為一個從 N 維空間的一個點到一條直線的距離 的函數；從幾何學的角度出發，平均誤差可以理解為N條線段的平均長度；2-2試述單次測量的標準差和算術平均值的標準差，兩者物理意義及實際用途有何不同。2-3試分析求服從正態分布、反正弦分布、均勻分布誤差落在中的概率 2-4.測量某物體重量共8次，測的數

8、據（單位為g）為236.45, 236.37, 236.51, 236.34, 236.39，236.48，236.47，236.40，是求算術平均值以及標準差。0.05 + (-0.03) + 0.11 + (0.06) + (-0.01) + 0.08 + 0.07 + 0 x = 236.4 +g- = = = 0.0212x nn2-5用別捷爾斯法、極差法和最大誤差法計算2-4,并比較2-6測量某電路電流共5次，測得數據（單位為mA）為168.41, 168.54, 168.59, 168.40, 168.50。試求算術平均值及其標準差、或然誤差和平均誤差。-168.41 +168.5

9、4 +168.59 +168.40 +168.50 x =5=168.488（ mA）:Z7，。二一1 = 0.082( mA)0.082=0.037( mA)或然誤差：R = 0.6745g = 0.6745x 0.037 = 0.025(mA)平均誤差：T = 0.7979g- = 0.7979 x 0.037 = 0.030(mA)2-7在立式測長儀上測量某校對量具，重量測量5次，測得數據(單位為mm)為20.0015,20.0016,20.0018,20.0015,20.0011。若測量值服從正態分布,試以99%的置信概率確定- 20.0015 + 20.0016 + 20.0018

10、+ 20.0015 + 20.0011測量結果。x=5=20.0015( mm)g0.00025正態分布p=99%時，t = 2.585= tolim xx0.00025=2.58 x v5=0.0003( mm)測量結果：X = x+5 , = (20.0015 0.0003)mmlim x定測量結果。解：求算術平均值求單次測量的標準差27在立式測長儀上測量某校對量具，重復測量5次，測得數據(單位為mm)為20. 0015, 20.0016, 20.0018, 20.0015, 20.0011。若測量值服從正態分布，試以99%的置信概率確 iix = t=1 = 20.0015mm nV 2

11、 i26 x 10-8 T 八一 =.=2.55 x10-4 mm求算術平均值的標準差o-= x no2.55 x 10-4.5=1.14 x10-4 mm確定測量的極限誤差因n=5較小，算術平均值的極限誤差應按t分布處理。 現自由度為：v =n1=4； a =1 0.99 = 0.01, 查t分布表有：ta = 4.60極限誤差為5 元=t o. =4.60 x1.14x10-4 = 5.24x10-4mmlim寫出最后測量結果匕=x + 5 x = lim0.0015 5.24 x10 -42-9用某儀器測量工件尺寸，在排除系統誤差的條件下，其標準差0 = 0.004mm，若要求測量結果的

12、置信限為士 0.005mm，當置信概率為99%時，試求必要的測量次數。正態分布p=99%時，t = 2.582.58 x 0.004 彳nn = 2.0640.005n = 4.26取 n = 52 10用某儀器測量工件尺寸，已知該儀器的標準差。=0.001mm,若要求測量的允許極限 誤差為0.0015mm,而置信概率P為0.95時，應測量多少次？ 解：根據極限誤差的意義，有 t O- = t = 0.0015* nn根據題目給定得已知條件，有上 %=15 TOC o 1-5 h z n 0.001.查教材附錄表3有若 n=5, v = 4, a =0.05, 有 t = 2.78,t2.78

13、2.78 = 1.24nn552.236若 n=4, v = 3, a =0.05,有 t = 3.18,t3.183.18/二 K 二 T 二 g即要達題意要求,必須至少測量5次。2-12某時某地由氣壓表得到的讀數（單位為Pa）為102523.85, 102391.30, 102257.97,102124.65,101991.33,101858.01,101724.69,101591.36,其權各為1,3,5,7,8,6,4,2,試求加權算術平均值及其標準差。 px.X = i=1 i i = 102028.34(Pa) pii=1 PV 2。_= -1 i Xi氏86.95(Pa)X 卜8

14、 -1) Pi i=12-13測量某角度共兩次，測得值為a 1 = 24。1336， 2 = 24 1324,其標準差分別為o 1 = 3T,o 2 = 13.8,試求加權算術平均值及其標準差。P1:P2=19044:961o22x = 24。1320+19044 X16+961X 4 = 24。13,35 19044+961o =o_iif p190443.1x；*19044 + 961x 3.02-14甲、乙兩測量者用正弦尺對一錐體的錐角0各重復測量5次，測得值如下:a 甲：7。220,7。30,7。235,7。220,7。215;a 乙：7。225,7。225,7。220 ,7。250,

15、7。245;試求其測量結果。20 + 60 + 35 + 20+15甲：元甲=7。2 +二7 2 30oo ；甲二J(-10)2+(30)2+ 52+(-10)2+(-15)2 TOC o 1-5 h z 5=18.418.4 - -甲二二 8.235：5 25 + 25 + 20+50 + 45)乙：乙 : 7 2 += 7 233O乙乙 。5。(-8)2 +(-8)2 +(13)2 +(17)2 +(12)2=13.5o. =乙=13! = 6.04 p : p =-:=3648: 6773廣甲廠乙 o 2 o 28.232 6.042x甲x乙- p X田 + p X 3648 x 30

16、+ 6773 x 33 x = 2七乙二=+ 7 2 = 7 232p + p3648 + 6773。o_=op甲一=8.23 x： 3648 = 4.87xx甲, p甲 + p乙3 3648 + 6773X = x 3o 一 = 7。23215X2-15.試證明n個相等精度測得值的平均值的權為n乘以任一個測量值的權。證明：解：因為n個測量值屬于等精度測量，因此具有相同的標準偏差：n個測量值算術平均值的標準偏差為：o =o/已知權與方差成反比，設單次測量的權為P1,算術平均值的權為P2,則11P : P =一:=1: n n一xP2 = nP12-16重力加速度的20次測量具有平均值為9.81

17、1 m/s2、標準差為0.014m/s2。另外30次測量具有平均值為9.802m/ s2，標準差為0.022m/ s2。假設這兩組測量屬于同一正態總體。試求此50次測量的平均值和標準差。11112 o 2210.01412 V0.02212.xx 2I 育 J I J工 9.808(m/s2)242 義 9.811 +147 * 9.802242 +1470.014 , 242o _ = x lx 0.0025（ m/s2）x20 242 +1472-17對某量進行10次測量，測得數據為14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9, 14.8, 15.1，15.0，試判

18、斷該測量列中是否存在系統誤差。X = 14.96按貝塞爾公式 o1=0.2633嚴的按別捷爾斯法。2 = 1.253 x.0（j。1）x 0.2642由 -2- = 1 + u得 u = 2- - 1 = 0.0034o1o12|u| T+所以兩組間存在系差2-19對某量進行10次測量，測得數據為14.7，15.0，15.2，14.8，15.5，14.6，14.9，14.8，15.1, 15.0,試判斷該測量列中是否存在系統誤差。元=14.96按貝塞爾公式0 1 = 0.2633i按別捷爾斯法1=1.253 x-1氏 0.264210(10 -1)00由7 = 1 + u 得 u = 7 -1

19、 = 0.00340101-2 一U = 0.67所以測量列中無系差存在。n- -12-20對某量進行12次測量,測的數據為20.06,20.07,20.06,20.08,20.10,20.12,20.11,20.14,20.18,20.18,20.21,20.19,試用兩種方法判斷該測量列中是否存在系統誤差。解：殘余誤差校核法% = 20.125口 = (-0.065 - 0.055 - 0.065 - 0.045 - 0.025 - 0.005) - (-0.015 + 0.015 + 0.055 + 0.055 + 0.085 + 0.065) =-0.54因為顯著不為0，存在系統誤差。

20、(2)殘余誤差觀察法殘余誤差符號由負變正，數值由大到小，在變大，因此繪制殘余誤差曲線，可見存在線形系統誤差。周io2 = 1.2531)= 0.06o-2 = 1 + Uo1 o u =一 1 = 0.19 o 1U0O5St格羅布斯準則1下的M個制3y=2&.504,仃二也口3 rL按型據恥曲的大小一解序作網附卜，廣登如，如，= *總 曳在育工個韶員近?)町卻可忸疑“也十?-.：1 = 2&5O4 - 2&4。= (K104升1yl 47H 2S -2S 504=0 026故庖遵先懷蛙陽口是否含有出大誤工一汁科“修修= 0.05,安得,盤13。附”川,就ft=3.!S04gl5J105)=

21、2.41以霜量處 :仃招大我小”.除注意此時不能而推時、呼）迸行期曲，次只傕聯除個 用港.重復上述步驟，判斷是否還含有粗 差,狄克松準則同理，判斷后每次剔 除一個粗差后重復.第三章誤差的合成與分配3-1相對測量時需用54-255mm 的量塊組做標準件，量塊組由四塊量塊研合而成，它們的基 本尺寸為11= 40，12= 12mm，13=1.25mm，14= L005叫經測量，它們的尺寸 偏差及其測量極限誤差分別為 li = 一0.7m ,12 =+0.5叫Al3 =一網m ,A1 = +0.1pm,6 . 1 =0.35pm,& . 1 = +0.25pm,& . 1 = +0.20pm, 1 =

22、 0.20pm 。試求量塊組按基本尺寸使用時的修正值及給相對測量帶來的測量誤差。修正值二-(A11 + A12 + A13 + A14)=-(-0.7 + 0.5 - 0.3 + 0.1)=0.4( p m)測量誤差：6 = 6 2+6 2+6 2+6 21%lim 11lim 12lim 13lim 14= v (0.35)2 + (0.25)2 + (0.20)2 + (0.20)2= 0.51( p m)3-2 為求長方體體積V，直接測量其各邊長為a = 161.6mm，b = 44.5 mmA c = 0.5 mm，測量的極限誤差為6 a= 0.8 mm，c =11-2mm ,已知測量

23、的系統誤差為Aa = L2mm，Ab = -0.8mm，6 = 0.5 mm b6 c= 0.5 mm，試求立方體的體積及其體積的極限誤差。V = abcV0 = abc = 161.6 X 44.5 x 11.2=80541.44( mm 3)體積V系統誤差A V為:A V = bc A a + ac A b + ab A c=2745.744( mm 3) 2745.74( mm 3)立方體體積實際大小為：V = V0-AV = 77795.70(mm3)af儀af、儀af、大6=.;()2 6 2 + ()2 6 2 + ()2 6 2iim v a a aaa bb a c c= 7(

24、bc)26 2 + (ac)26 2 + (ab)26 2 abc= 3729.11( mm 3)測量體積最后結果表示為:V = V0 -AV +61V = (77795.703729.11)mm333長方體的邊長分別為a 1，a 2, a 3測量時：標準差均為。:標準差各為。2、 。3。試求體積的標準差。解：長方體的體積計算公式為:體積的標準差應為：ov TOC o 1-5 h z ，a va va v()2O 2 + ()2O 2 + ()2O 2Y a a1a a2a a3123a v 現可求出：=a aa1若：o 1 =o2 =o3:a va va v a va v a v TOC o

25、 1-5 h z O =.()2 O 2 + ()2 O 2 + ()2 O 2 =O ：()2 + ()2 + ()va a1a a2a a3a aa aa a1123,123=o (a a )2 + (a a )2 + (a a )2若:01 WO2 WO3則有：O = J (a a )2 0 2 + (a a )2 0 2 + (a a )2 0 2 v 22 311 321 233-4測量某電路的電流1 = 22.5mA ,電壓U = 12.6v ,測量的標準差分別為O i = 0.5mAO u = 0.1v,求所耗功率 P = U 及其標準差 0P。P = UI =12.6 * 22

26、.5 = 283.5( mw)P = f (U, I) U、I 成線性關系/.P UI = 10 =：(工2O 2 + (f )2O 2 + 2(f)(f )00p a a u uaiia u ai 瓜 iafa f=0 + 0 = 10 + U0 = 22.5 X 0.1 +12.6 x 0.5 a u Uai I U I=8.55( mw)3-9.測量某電路電阻R兩端的電壓U,按式I=U/R計算出電路電流，若需保證電流的誤差 為0.04A,試求電阻R和電壓U的測量誤差為多少？解：在I=U/R式中，電流I與電壓U是線性關系，若需要保證電流誤差不大于0.04A,則要保證電壓的誤差也不大于 0.

27、04xR。3-12按公式V=nr2h求圓柱體體積，若已知r約為2cm, h約為20cm,要使體積的相對 誤差等于1%,試問r和h測量時誤差應為多少？解：若不考慮測量誤差，圓柱體積為v =兀 r2 - h = 3.14x22 x20 = 251.2cm3根據題意，體積測量的相對誤差為1%,即測定體積的相對誤差為：0-=1% v即 O = v . 1% = 251.2 X1% = 2.51現按等作用原則分配誤差，可以求出測定r的誤差應為：O =- =11. _=_ = 0.007cmr 2 av / ar 1.41 2兀hr測定h的誤差應為：O 12.51 10 = 0.142 cmh2 av/a

28、h 1.41 兀r23-14對某一質量進行4次重復測量，測得數據(單位g)為428.6, 429.2, 426.5, 430.8。已知測量的已定系統誤差 = 一2.6 g,測量的各極限誤差分量及其相應的傳遞系數如下表所_ 428.6 + 429.2 + 426.5 + 430.8X =4=428.775(g)氏 428.8(g)最可信賴值 x = X = 428.8 + 2.6 = 431.4(g)b xT (曇；P (去)2 ” i=1 ii=1i土 4.9( g)測量結果表示為:X = X-A + 5 x = (431.4 4.9) g第四章 測量不確定度41某圓球的半徑為r，若重復10次

29、測量得ror =(3.1320.005)cm，試求該圓球最 大截面的圓周和面積及圓球體積的測量不確定度，置信概率P=99%。解：求圓球的最大截面的圓周的測量不確定度已知圓球的最大截面的圓周為：D = 2九/ed 2其標準不確定度應為：u =- o2 =、:匕兀bo2 = . 4*3.141592*0.0052(3 r J rr= 0.0314cm確定包含因子。查t分布表t0 01 (9)=3.25,及K=3.25 故圓球的最大截面的圓周的測.量不確定度為：U=Ku = 3.25X0.0314=0.102求圓球的體積的測量不確定度圓球體積為：V = 3九 r3其標準不確定度應為：u = if些T

30、o 2 = 4 兀.r2)o 2 二,16* 3.141592 * 3.1324 義 0.0052 : 0.6161% J rr確定包含因子。查t分布表t0(9)=3.25,及K=3.25 最后確定的圓球的體積的測量不.確定度為U=Ku=3.25X0.616=2.0024-2.望遠鏡的放大率D=f1/f2,已測得物鏡主焦距f1a 1= (19.80.10) cm, 目鏡的主焦距f2O 2= (0.8000.005) cm,求放大率測量中由fl、f2引起的 不確定度分量和放大率D的標準不確定度。4-3.測量某電路電阻R兩端的電壓U,由公式I=U/R計算出電路電流I,若測得 Uo u= (16.5

31、00.05) V, Ro R= (4.260.02) Q、相關系數p ur=-0.36，試 求電流I的標準不確定度。4-4某校準證書說明，標稱值10。的標準電阻器的電阻R在20 C時為 10.0 00 7 塞12 9。(P=99%),求該電阻器的標準不確定度，并說明屬于哪一類評定的不確定度。一由校準證書說明給定，屬于B類評定的不確定度-R 在10.000742。-129 悶，10.000742。+129 悶范圍內概率為 99%,不為 100%，不屬于均勻分布，屬于正態分布a = 129 當 p=99%時，Kp = 2.58a 129Kp 2.58=50（悶）4-5在光學計上用52.5mm的量塊

32、組作為標準件測量圓柱體直徑，量塊組由三塊量塊研合而 成，其尺寸分別是：=40 mm ,l 2 = 10 mm , l3= 2.5 mm，量塊按“級”使用，經查手冊得其研合誤差分別不超過0.45m、0.30四m、0.25四m (取置信概率P=99.73% 的正態分布),求該量塊組引起的測量不確定度。 L =52.5mm l = 40mm 110mml = 2. 5mmp - 99.73%Kp - 3U - - 二 - 0.15(目 m) U - - 0.10(目 m)iik 312k 3ppU ， 0.08(目 m)13 k 3 pUL = U( + UI + U 3= 0.152 + 0.10

33、2 + 0.082-0.20(目 m)第五章線性參數的最小二乘法處理3x + y - 2.95-1測量方程為p - 2y - 0.9試求x、y的最小二乘法處理及其相應精度。誤差方程為 2x 3y - 1.9北-2.9 - (3x + y)v - 0.9 - (x - 2y)v - 1.9 - (2x - 3y)l 3列正規方程i=1i=1i=1Za a xi2 i1+Zaay -Zali 2 i 2i 2 i代入數據得、i-1i-1i-114x-5y-13-4 解得卜-0-962-5x +14y - -4.61y - 0.015v - 2.9 - (3 x 0.962 + 0.015) -0.

34、001將 x、y 代入誤差方程式卜:=0.9 - (0.962 - 2 x 0.015) - -0.032 ；-1.9 - (2 x 0.962 - 3 x 0.015) - 0.0213測量數據的標準差為。Zv 2i寸n-7-0.038求解不定乘數d11 d21dd2214 d - 5 d = 1-5 d + 14d = 0111214 d - 5 d = 0-5 d + 14d = 12122解得d 11 = d 22 = 0.082x、y的精度分別為o x=O41= 0.01x - 3 y = -5.6, p = 15-7不等精度測量的方程組如下：4 x + y = 8.1, p = 22x - y - 0.