1、第九章 風險資產定價賈懷京北京郵電大學經濟管理學院第九章 風險資產定價9.1 有效集與最優(yōu)投資組合9.2 無風險借貸對有效集的影響9.3 資本資產定價模型9.4 資本資產定價模型的進一步討論9.5 套利定價模型9.1 有效集與最優(yōu)投資組合問題：市場上有N種風險資產，還有無風險資產，投資者如何投資才干實現(xiàn)最優(yōu)決策？問題：無風險資產收益率為Rf，市場上有N種風險資產如股票，第i種風險資產的預期收益率與方差為 和 ，第i、j風險資產的協(xié)方差為 i、j=1，2，3N。假設記投資者的成效函數(shù)為F ， ，那么使投資者成效函數(shù)最大化的投資組合是什么？9.1 有效集與最優(yōu)投資組合 根據(jù)馬柯維茨Markowit

2、z證券組合實際，投資者必需根據(jù)本人的風險收益偏好和各種證券組合的風險、收益特征來選擇最優(yōu)的投資組合。9.1.1 可行集 可行集Feasible set指的是由N種證券所構成的一切組合的集合，它包括了現(xiàn)實生活中一切能夠的組合。圖9-1中，ANBHCD邊線所構成的區(qū)域為可性集。9.1.1、可行集規(guī)范差P圖9-1：可行集和有效集無差別曲線可行集ANBHDC有效集曲線最優(yōu)投資組合9.1 有效集與最優(yōu)投資組合9.1.2、有效集一、有效集的定義對于一個理性的投資者，其是厭惡風險、偏好收益的。可行集中：1對于同樣的風險程度，投資者將會選擇提供最大預期收益率的組合；2對于同樣的預期收益率，他們將會選擇風險最小

3、的組合。滿足這兩個條件的投資組合的集合就是有效集Efficient Set。圖9-1中，N和B之間的上方邊境藍線為有效集。9.1 有效集與最優(yōu)投資組合9.1.2、有效集二、有效集的位置有效集是可行集的一個子集。 1、給定風險看最大預期收益率，能提供最大收益率的組合集是可行集中介于N和H之間的上方邊境上的集合。 2、給定預期收益率看最小風險，能提供最小風險程度的組合是可行集介于A、B之間的左邊邊境上的組合集。 同時滿足上面兩個條件的為有效集的位置。故有效集的位置位于N、B兩點之間上方邊境上的可行集。9.1 有效集與最優(yōu)投資組合9.1.2、有效集三、有效集的外形1、向右上方傾斜的曲線2、向上凸的曲

4、線3、有效集曲線上不能夠有凹陷的地方9.1 有效集與最優(yōu)投資組合9.1.3、最優(yōu)投資組合的選擇 最優(yōu)投資組合：在給定的投資條件下，使投資者的成效最大的投資組合。假設記成效函數(shù)為U預期投資收益率，規(guī)范差U ， ，那么在給定的約束條件下，使投資者成效函數(shù)最大化的投資組合為最優(yōu)投資組合。9.1 有效集與最優(yōu)投資組合9.1.3、最優(yōu)投資組合的選擇 在圖9-1中，投資的約束條件為：投資者的投資處在有效集中，即NB兩點之間的弧線上藍線部分。當成效函數(shù)與有效集曲線相切時，切點處的投資組合便是在約束條件下投資者的投資成效最大的投資組合。 有效集向上凸的特征和無差別曲線向下凸的特征決議了有效集和無差別曲線的相切

5、點是獨一的，即最優(yōu)投資組合是獨一的。圖9-1中的紅點為最優(yōu)投資組合。9.1 有效集與最優(yōu)投資組合9.1.3、最優(yōu)投資組合的選擇 對于投資者來說，有效集是客觀存在，而無差別曲線是客觀的。無差別曲線是由投資者本人的風險收益偏好所決議的。 厭惡風險程度越高的投資者，其無差別曲線的斜率越大，因此最優(yōu)投資組合越接近N點；厭惡風險程度越低的投資者，其無差別曲線的斜率越小，因此最優(yōu)投資組合越接近B點；9.1 有效集與最優(yōu)投資組合9.1.3、最優(yōu)投資組合的選擇求最優(yōu)投資組合的步驟： 找出可行集。 根據(jù)可行集，找出有效集。 給出投資者的無差別曲線。 投資者的無差別曲線與有效集的交點就是投資的最優(yōu)投資組合。9.2

6、 無風險借貸對有效集的影響9.2.1、無風險貸款對有效集的影響一、無風險貸款或無風險資產的定義 在未來的收益是確定的貸款(這里指的是投資者將錢貸給他人)，或者說預期收益率的規(guī)范差為零的貸款為無風險貸款。 在現(xiàn)實生活中，無風險資產首先應沒有任何違約的能夠，其次沒有市場風險。實踐上，嚴厲意義上，只需到期日與投資期相等的國債才是無風險資產。9.2.1、無風險貸款對有效集的影響二、允許無風險貸款下的投資組合1、投資于一種無風險資產和一種風險資產的情形問題：有無風險資產A和風險資產B，如何投資是最優(yōu)投資？ABP9.2.1、無風險貸款對有效集的影響二、允許無風險貸款下的投資組合1、投資于一種無風險資產和一

7、種風險資產的情形問題： 投資于一種無風險資產和一種風險資產的情形下的可行集和有效集分別是什么？ 投資于一種無風險資產和一種風險資產的情形下的預期收益率與風險的關系式是什么？ 9.2.1、無風險貸款對有效集的影響二、允許無風險貸款下的投資組合1、投資于一種無風險資產和一種風險資產的情形 假設風險資產和無風險資產在投資中的比例分別為X1和X2，它們的預期收益率分別為 和 ,它們的規(guī)范差分別等于1和2，它們之間的協(xié)方差為12。根據(jù)X1和X2的定義，我們有X1+ X2=1，且X1、X20。根據(jù)無風險資產的定義，我們有2和12都等于0。這樣，該投資組合的預期收益率和規(guī)范差分別為：9-19-29.2.1、

8、無風險貸款對有效集的影響9-39-4由上式得將9-3代入9-1式得：9.2.1、無風險貸款對有效集的影響 由于 、 和1 知，式9-4是線性函數(shù)，其中為 單位風險的收益率(也稱為Sharpe比率)。圖9中，點表示無風險資產，點表示風險資產，由這兩種資產組合的預期收益率和風險落在、這條線段上。圖9-：無風險資產和風險資產的組合PAB是可行集，也是有效集9.2.1、無風險貸款對有效集的影響二、允許無風險貸款下的投資組合 2、投資于一種無風險資產和一個證券組合的情形問題：有無風險資產A、風險資產B和C，如何投資是最優(yōu)投資？ABPC9.2.1、無風險貸款對有效集的影響二、允許無風險貸款下的投資組合 2

9、、投資于一種無風險資產和一個證券組合的情形問題： 投資于一種無風險資產和一個證券組合的情形下的可行集和有效集分別是什么？ 投資于一種無風險資產和一個證券組合的情形下的預期收益率與風險的關系式是什么？ 二、允許無風險貸款下的投資組合 投資兩個風險證券A、B，投資組合的預期收益率與風險的關系ABC0， 9.2.1、無風險貸款對有效集的影響9.2.1、無風險貸款對有效集的影響二、允許無風險貸款下的投資組合 2、投資于一種無風險資產和一個證券組合的情形 風險資產組合B是由2種風險證券C、D組成的，那么B的有效集位于經過C、D兩點向上凸出的弧線上注，如圖9-3所示。假設我們仍用R1和1代表風險資產組合的

10、預期收益率和規(guī)范差，用X1代表投資該風險資產組合的資金在整個投資組合資金中所占的比重，那么式9-1到9-4的結論同樣適宜于由無風險資產和風險資產組合構成的投資組合的情形。這種投資組合的預期收益率和規(guī)范差一定落在A、B線段上。 9.2.1、無風險貸款對有效集的影響圖9-3：無風險資產和風險資產組合的組合CDABP9.2.1、無風險貸款對有效集的影響圖9-3：無風險資產和風險資產組合的組合CDAPB可行集為B點沿著CD弧線挪動時AB直線所掃過的面積。9.2.1、無風險貸款對有效集的影響三、無風險貸款對有效集的影響 引入無風險貸款后，有效集將發(fā)生艱苦變化。在圖9-4中，弧線CD代表馬柯維茨有效集，A

11、點表示無風險資產。我們可以在有效集中找到一點T，使AT直線與弧線相切于T點。T點所代表的組合稱為切點處投資組合。 引入AT線段后，CT弧線將不再是有效集。P圖9-4：允許無風險貸款時的有效集ACDT 9.2.1、無風險貸款對有效集的影響例1： 假定市場上有A、B兩種證券，其預期收益率分別為8%和13%，規(guī)范差分別為12%和20%。A、B兩種證券的相關系數(shù)為0.3。市場無風險利率為5%。某投資者決議用這兩種證券組成最優(yōu)風險組合。 9.2.1、無風險貸款對有效集的影響四、無風險貸款對投資組合選擇的影響 留意，引入無風險貸款后的有效集為：AT直線段TD弧線。 對于不同的投資者而言，無風險貸款的引入對

12、他們的投資組合選擇有不同的影響。記無差別曲線與有效集的相切點為O點見圖9-5a，當O點位于T點的右上方時，O點為最優(yōu)投資組合。投資者將把一切的資金投資于風險資產，故而能否有無風險貸款對投資組合的選擇沒有影響。 當O點位于T點的左下方時，記無差別曲線與AT直線的相切點為O*見圖9-5b，那么O*點為最優(yōu)投資組合。投資者將把部分資金投資于風險資產，另一部分資產投資于無風險資產見9-4式。9.2.1、無風險貸款對有效集的影響AATCDDOO*TC圖9-5：無風險貸款下的投資組合選擇無差別曲線無差別曲線PPab9.2.2、無風險借款對有效集的影響 在推導馬柯維茨有效集的過程中，我們假定投資者可以購買風

13、險資產的金額僅局限于他初期的財富。然而，在現(xiàn)實生活中，投資者可以借入資金并用于購買資產。由于對所借款的利息支付一定，無不確定性，因此我們把這種借款稱為無風險借款。1、無風險借款并投資于一種風險資產的情形 我們可以把無風險借款看成負的投資，那么投資組合中風險資產和無風險的比例也可以X1和X2表示，且X1+X21，X11，X20。這樣9-1式到9-4式也完全順應于無風險借款的情況。由于X11，X20，因此P1，9-4式在圖上表現(xiàn)為AB線段向右邊的延伸線上，如圖9-6所示。一、允許無風險借款下的投資組合9.2.2、無風險借款對有效集的影響圖9-6：無風險借款和風險資產的組合1、無風險借款并投資于一種

14、風險資產的情形無風險借款(利率為 )并投資于一種風險資產(預期收益率為 )的情形 PP19.2.2、無風險借款對有效集的影響2、無風險借款并投資于風險資產組合的情形圖9-7：無風險借款和風險資產的組合PP1ADC 無風險貸款的利率為 , 風險資產組合的有效集為CD曲線。 無風險借款并投資于風險資產組合的收益與風險的關系為以B點為起點的BE射線，且1A、B、E三點在一條線上。2B點可以在CD曲線上的恣意一點上。E 引人無風險借款后，可行集如以下圖所表示。二、無風險借款對有效集的影響圖9-8(1)：允許無風險借款時的可行集PTACDTP可行集 引人無風險借款后，有效集也發(fā)生了變化。圖9-8中，弧線

15、CD代表風險投資的馬柯維茨有效集，T點仍表示CD弧線與過A點直線的相切點。當存在無風險借款時，由于有P1，C1D，故有效集為AT線段過T點向右邊的延伸線TG，再加上CT弧線段。二、無風險借款對有效集的影響PTACDTP圖9-8(2)：允許無風險借款時的有效集對于厭惡風險較低的人，其無差別曲線與CD弧線相切與TD之間，那么無差別曲線與AT直線相切與O*點見圖9-9a，O*點為最優(yōu)投資組合。此時，投資者將進展無風險借款并投資于風險資產。對于厭惡風險較高的人，其無差別曲線與CD弧線相切與TC之間，切點為O見圖9-9b，那么O點為最優(yōu)投資組合。此時，投資者將不進展無風險借款，他只會用自有資產投資于風險

16、資產。三、無風險借款對投資組合選擇的影響 a b 圖9-9：無風險借款下的投資組合選擇無差別曲線PC最優(yōu)投資組合ATDO*無差別曲線PCODT最優(yōu)投資組合A9.2.3、無風險借、貸款對有效集的影響 投資者可以同時借款或貸款進展無風險或風險投資，那么有效集會發(fā)生怎樣的變化？ 現(xiàn)假定投資者投資于一種無風險資產和一個風險資產證券組合B。風險資產組合B是風險證券C和D組成的，有效集為過A、T點的AT射線如圖9-10所示。 圖9-10：允許無風險借、貸款時的有效集P圖9-10：允許無風險借、貸款時的有效集ACDT9.3 資本資產定價模型1、投資者經過投資組合在單一投資期內的預期收益率和規(guī)范差來評價這些投

17、資組合。2、投資者永不滿足，當面臨其他條件一樣的兩種選擇時，他們將選擇具有較高預期收益率的那一種。3、投資者是厭惡風險的，當面臨其他條件一樣的兩種選擇時，他們將選擇具有較小規(guī)范差的那一種。4、每一種資產都是無限可分的。5、投資者可按一樣的無風險利率借入或貸出資金。6、一切投資者的投資期限都一樣。7、對于一切投資者來說，無風險利率一樣。8、對于一切投資者來說，信息都是免費的并且是立刻可得的。9、投資者對于各種資產的收益率、規(guī)范差、協(xié)方差等具有一樣的預期。 9.3.1、根本的假定9.3 資本資產定價模型根據(jù)上述假設，我們可以得出如下結論：1、根據(jù)一樣預期的假定，我們可以推導出每一個投資者的切點處投

18、資組合都是一樣的，而每一個投資者的線性有效集都是一樣的。有效集為過A、T點的AT射線，如圖9-10所示。2、由于投資者風險收益偏好不同，其無差別曲線的斜率不同，因此他們的最優(yōu)投資組合也不同，但風險資產的構成卻一樣T點處的風險資產構成，如圖9-10所示。9.3.2、資本市場線一分別定理9.3 資本資產定價模型 這里“風險資產的構成一樣的含義： 假定投資者將投資的P比例投資于無風險資產，而1P比例投資于風險資產。假定風險資產有兩項，風險資產C和風險資產D，兩者分別占風險資產投資的比例為XC和XD，XCXD1。那么投資于風險資產C的資金占總投資的比例為1PXC，投資于風險資產D的資金占總投資的比例為

19、1PXD。這里“風險資產的構成一樣指的是XC XD的值是不變的。即，在風險資產的最優(yōu)構造下，不同的投資者的XC XD值是一樣的稱該構造為風險資產組合的最優(yōu)構，但風險資產的投資占總投資比例的1P值那么隨投資者風險態(tài)度的不同而不同。 風險資產組合的最優(yōu)構造：單位風險的添加，風險資產的投資收益率的添加最大。這時的風險資產組合構造稱為風險資產組合的最優(yōu)構造。從圖9-10可看到，有無風險資產投資時，只需切點T處的風險資產組合才干有“單位風險的添加，風險資產的投資收益率的添加最大。故切點T處才是風險資產組合的最優(yōu)構造，也稱最優(yōu)風險資產組合。 9.3.2、資本市場線一分別定理9.3 資本資產定價模型 分別定

20、理：投資者對風險和收益的偏好與該投資者風險資產組合的最優(yōu)構成無關。或者說，各投資者的最優(yōu)風險資產組合是一樣的，但最優(yōu)投資組合那么因人而異，隨其成效函數(shù)的無差別曲線的變化而變化。 圖9-11：分別定理O2無差別曲線F1無差別曲線F2PTO19.3.2、資本市場線一分別定理9.3 資本資產定價模型市場組合：由市場上一切證券構成的組合，在這個組合中，每一種證券的構成比例等于該證券的相對價值。一種證券的相對價值等于該證券市值除以一切證券市值的總和。按市場價錢的同比例持有一切資產的投資組合，也稱為市場組合或市場投資組合。根據(jù)分別定理，得：在平衡形狀下，每一種證券在平衡點處的投資組合中都有一個非零的比例。

21、習慣上，人們將切點處組合叫做市場組合，并用M替代T來表示。或者說，最優(yōu)風險組合中各證券的構成等于市場組合中各證券的構成比例。資本市場線：允許無風險借貸，且為市場組合情況下的有效集。任何不利用市場組合以及不進展無風險借貸的其他一切組合的有效集都將位于資本市場線的下方。 9.3.2、資本市場線二市場組合 從圖9-11可以看出，資本市場線的斜率等于市場組合預期收益率與無風險證券收益率之差 Rf除于它們的風險之差M0。由于資本市場線與縱軸截距為Rf ，因此有：O2無差別曲線F1無差別曲線F2PMO19.3.2、資本市場線三、有效集 9-5M從式9-5可以看出，證券市場的平衡可用兩個關鍵數(shù)字來表示：一是

22、無風險利率Rf，二是單位風險報酬 RfM，它們分別代表時間報酬和風險報酬。因此從本質上來說，證券市場提供了時間和風險買賣的場所，其價錢那么由供求雙方的力量來決議。 9.3.2、資本市場線三、有效集 9-5RfM圖9-11：資本市場線 RfP資本市場線M9.3.3、證券市場線 資本市場線反映的是有效組合的預期收益率和規(guī)范差之間的關系，任何單個風險證券由于均不是有效組合而一定位于該直線的下方。因此，資本市場線并不能通知我們單個證券的預期收益率與規(guī)范差即總風險之間應存在怎樣的關系。為此，我們有必要作進一步的分析。市場組合規(guī)范差的計算公式為： 9-6其中XiM和XjM分別表示證券i和j在市場組合中的比

23、例。 9.3.3、證券市場線 9-6式可以展開為： 根據(jù)協(xié)方差的性質可知，證券i與市場組合的協(xié)方差iM等于證券i與市場組合中每種證券協(xié)方差的加權平均數(shù)： 9-79-89.3.3、證券市場線 9-8式代入9-7式得： 由9-9式可知，市場組合的規(guī)范差等于一切證券與市場組合的協(xié)方差的加權平均數(shù)的平方根，其權數(shù)等于證券在市場組合中的比例。在平衡形狀下，單個證券的預期收益率與風險的關系為：9-99-109-10式表達的就是著名的證券市場線Security Market Line9.3.3、證券市場線 圖9-11：證券市場線 RfiM證券市場線9.3.3、證券市場線記：9-119-129-12式是證券市

24、場線的另一種表達方式。9-11式或9-12式被稱為資本資產定價模型Capital Asset Pricing Model：CAPM 證券市場線的運用例：某公司今年的現(xiàn)金股息為每股0.5元，預期今后每年將以10%的速度穩(wěn)定增長。當前的無風險利率為3%，市場組合的風險溢價為8%，該公司股票的值為1.5。該公司股票當前的合理價錢為多少?9.3.3、證券市場線在資本資產定價模型中，系數(shù)的估算可以經過市場模型9-13式來求得： 9-139-13式中，Ri為證券i的收益率，RM為市場指數(shù)收益率。i為隨機誤差，其期望值為零。Ri為證券i的收益率，計算公式為： 9-14RP：證券收益率, V2：期末證券的市場

25、價值V1：期初證券的市場價值, D：期間投資者得到的現(xiàn)金分配9.3.4、市場模型和值的估計 例如，某養(yǎng)老基金在六月底的市場價值為1億美圓，七月底的市場價值為1.03億美圓，這一個月間投資者收益500萬美圓，那么該基金這個月的收益率為： RM市場指數(shù)收益率計算公式與9-14一樣。市場指數(shù)以某一代表性的市場指數(shù)，比如規(guī)范普爾500股票的市場指數(shù)、道瓊斯工業(yè)平均數(shù)DJIA、那斯達克市場指數(shù)等。 9.3.4、市場模型和值的估計 在西方資本市場上，對于那些買賣活潑的股票，有很多效力機構提供該公司的值資料。這些值經常是過去3-5年的周收益率或月收益率為根底計算出來的。9.3.4、市場模型和值的估計 股票名

26、稱可口可樂0.95 通用電器1.18 通用汽車1.00 固特異1.10 IBM0.73 麥當勞0.96 J.P摩根1.15 寶潔0.87 波音10.15 根據(jù)市場模型統(tǒng)計9-13式計算的股票值(1992年7月31日)注:根據(jù)1992年7月31日前60個月每個月收益率測算,市場指數(shù)運用S&P500指數(shù)資料來源:Merrill Lynch. Security Evaluation Service 最優(yōu)風險資產組合意味單位風險的添加所帶來的收益率的添加最大。因此，最優(yōu)風險資產組合也就是切點T處的風險資產組合。9.3.5、最優(yōu)風險資產組合的求解P圖9-10：允許無風險借、貸款時的有效集ACDT根據(jù)資本

27、市場線方程， 記切點T處的收益率與方差為 那么應有：9.3.5、最優(yōu)風險資產組合的求解Xi為對第i種風險資產的投資占總投資的比例，共有n種風險資產，Rf為無風險資產的收益率。9-169-15最優(yōu)風險資產組合的另一種求解方法是：風險溢價來自于協(xié)方差，即9.3.5、最優(yōu)風險資產組合的求解Xi為對第i種風險資產的投資占風險資產總投資的比例。Rf為無風險資產的收益率。9-179-18例1：假定市場上有A、B兩種風險證券，預期收益率分別為8%和13%，規(guī)范差分別為12%和20%。A、B兩種證券的相關系數(shù)為0.3，市場無風險利率為5%，某投資者決議用這兩種證券構成最優(yōu)風險資產組合，試求之。解：方法一9.3

28、.5、最優(yōu)風險資產組合的求解得：9.3.5、最優(yōu)風險資產組合的求解最優(yōu)組合的預期收益率和規(guī)范差分別為：解：方法二，根據(jù)公式9-16和9-17得：9.3.5、最優(yōu)風險資產組合的求解解：記投資風險資產 占總投資的比例為Y，那么投資無風險資產 的比例為1-Y。9.3.6、最優(yōu)投資組合的求解9.3.7、風險資產有效邊境有效集的求解定理：風險資產有效邊境上的任何一點都可以由有效邊境上的任何其他兩點的某一加權組合構成。假設給出最小方差的風險資產投資組合N點和最優(yōu)風險投資組合T點，就能給出風險資產的有效邊境。規(guī)范差P無差別曲線可行集ANBHDC有效集曲線最優(yōu)投資組合T1、確定最小方差 的風險資產投資組合9.

29、3.7、風險資產有效邊境有效集的求解定理：風險資產有效邊境上的任何一點都可以由有效邊境上的任何其他兩點的某一加權組合構成。定理：使預期收益率方差最小的風險資產的投資組合，是該投資組合的預期收益率與其中每一種風險資產的預期收益率的協(xié)方差都相等的投資組合。9.3.7、風險資產有效邊境有效集的求解2、確定切點處的投資組合根據(jù)9-15和9-16式或者9-16和9-17式確定切點處的投資組合。9.3.7、風險資產有效邊境有效集的求解3、確定風險資產的有效邊境9.3.7、風險資產有效邊境有效集的求解求例1中的風險資產的有效邊境解： 1、確定最小方差的投資組合：根據(jù)使預期收益率方差最小的風險資產的投資組合，是該投資組合的預期收益率與其中每一種風險資產的預期收益率的協(xié)方差都相等的投資組合。9.3.7、風險資產有效邊境有效集的求解求例1中的風險資產的有效邊境解： 1、確定最小方差的投資組合：根據(jù)使預期收益率方差最小的風險資產的投資組合，是該投資組合的預期收益率與其