1、教學(xué)設(shè)計基本信息名稱 最短路徑問題執(zhí)教者胡玉紅課時1課時所屬教材目錄人教版八年級上冊 第十三章 軸對稱13.4 課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題教材分析隨著課改的深入，數(shù)學(xué)更貼近生活，更著眼于解決生產(chǎn)、經(jīng)營中的問題，于是就出現(xiàn)了為省時、省財力、省物力而尋求最短路徑的數(shù)學(xué)問題。本節(jié)是“課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題”，是本章的最后一節(jié)，這節(jié)課主要是解決“將軍飲馬問題”，解決這個問題的關(guān)鍵是通過軸對稱變化把問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”的問題，在解決這個問題的過程中滲透了“化歸”的思想。學(xué)情分析（1）認知基礎(chǔ)：在七年級已經(jīng)研究過“兩點之間,線段最短”、“垂線段最短”等最短路徑問題,在本章的前面學(xué)生也初步掌握了作點

2、關(guān)于某直線的對稱點,所有這些內(nèi)容構(gòu)成了本節(jié)課的認知基礎(chǔ).（2）活動經(jīng)驗：通過初中學(xué)段一年多的學(xué)習(xí),學(xué)生已經(jīng)有了圖形變換以及模型構(gòu)建的意識,獲得了初步的數(shù)學(xué)思維轉(zhuǎn)化這一數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗,具備了一定的主動參與、合作交流的意識和初步的觀察、分析、歸納、猜想和解決問題的能力.教學(xué)目標知識與能力目標已知直線同側(cè)兩點A、B，會在直線上求一點P，使PA+PB的距離最短。能利用軸對稱解決實際生活中的最短路徑問題。過程與方法目標培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想。情感態(tài)度與價值觀目標通過獨立思考，合作探究，培養(yǎng)學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的基本能力，感受學(xué)習(xí)成功的快樂。教學(xué)重難點重點利用軸對稱作圖確定使距離最短的點。

3、難點數(shù)形結(jié)合思想和數(shù)學(xué)建模思想的培養(yǎng)。教學(xué)策略與 設(shè)計說明本節(jié)課以數(shù)學(xué)史中的一個經(jīng)典問題“將軍飲馬問題”為載體開展對“最短路徑問題”的課題研究，讓學(xué)生經(jīng)歷將實際問題抽象為數(shù)學(xué)的線段和最小問題，再利用軸對稱將線段和最小問題轉(zhuǎn)化為“兩點之間，線段最短”（或“三角形兩邊之和大于第三邊”）問題。教學(xué)過程教學(xué)環(huán)節(jié)（注明每個環(huán)節(jié)預(yù)設(shè)的時間）教師活動學(xué)生活動設(shè)計意圖一、創(chuàng)設(shè)情景 引入課題（5分鐘）師：我們都知道“數(shù)學(xué)來源于生活，應(yīng)用于生活。”前面我們研究過一些關(guān)于“兩點的所有連線中，線段最短”、“連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短”等的問題，我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾栴}現(xiàn)實生活中經(jīng)常涉及到選擇最

4、短路徑的問題本節(jié)將體會如何運用數(shù)學(xué)知識選擇最短路徑。引例1：如圖所示：從A地到B地有三條路可供選擇，你會選擇哪條路距離最短？你的理由是什么？引例2：如圖，要在燃氣管道L上修建一個泵站，分別向A、B兩鎮(zhèn)供氣，泵站修在管道的什么地方，可使所用的輸氣管線最短？ 二、自主探究 合作交流 建構(gòu)新知（25分鐘）將軍飲馬問題相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題： 從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？ 精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的知識回答了這個問題這個

5、問題后來被稱為“將軍飲馬問題”BAl追問1這是一個實際問題，你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ 將A，B 兩地抽象為兩個點，將河l 抽象為一條直 線 B。Al追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ （1） 點A，B 在直線l 的同側(cè)，在l 上找一點C，使AC 與CB 的和最小？ （2） 思考：如何將點B“移”到l 的另一側(cè)B處，滿足直線l 上的任意一點C，都保持CB 與CB的長度相等？ lABCB強調(diào)：將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題”你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點B嗎？ 師生活動：學(xué)生獨立思考，畫圖分析，并嘗試回答，互相補充，找到解決辦法：（

6、1）作點B 關(guān)于直線l 的對稱點B；（2）連接AB，與直線l 相交于點C，則點C 即為所求 如圖所示：BlCAB追問3你能用所學(xué)的知識證明AC +BC最短嗎？ 教師展示：證明：如圖，在直線l 上任取一點C（與點C 不重合），連接AC，BC，BC 由軸對稱的性質(zhì)知， BC =BC，BC=BC AC +BC = AC +BC = AB， AC+BC = AC+BC在ABC中， ABAC+BC， AC +BCAC+BC即AC +BC 最短BlABCC追問4證明AC +BC 最短時，為什么要在直線l 上任取一點C（與點C 不重合），證明AC +BC AC+BC？這里的“C”的作用是什么？ 若直線l 上

7、任意一點（與點C 不重合）與A，B 兩點的距離和都大于AC +BC，就說明AC + BC 最小 師生活動：共同回顧作圖方法。追問5回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的過程、借助什么解決問題的？ 三、運用新知（12分鐘）練習(xí)元旦時我們班舉行聯(lián)歡會，把桌子擺成兩直條（如圖1中的AO，BO），AO桌面上擺滿了桔子，BO桌面上擺滿了糖果，坐在C處的楊光同學(xué)先拿桔子再拿糖果，然后回到座位請你幫助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短？拓展練習(xí) 如圖，A為馬廄，B為帳篷，牧馬人某一天要從馬廄牽出馬，先到草地某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后牽馬回到帳篷，請你幫他確定這一天所走的最短路線.教師提問題學(xué)生思考并

8、觀察圖片獲得感性認識.觀察口答動手連線觀察口答請一位同學(xué)讀題獨立思考合作交流學(xué)生嘗試回答， 并互相補充，最后達成共識。.分組討論，合作交流，然后派代表回答。小組交流，然后派代表回答。思考，回答。學(xué)生獨立完成，集體訂正用身邊的實際問題激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣及探索欲望.為學(xué)生提供參與數(shù)學(xué)活動的生活情境，培養(yǎng)學(xué)生的把生活問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題的能力.經(jīng)歷觀察-畫圖-說理等活動，感受幾何的研究方法，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯思考能力.提高學(xué)生的閱讀理解能力，加深對問題的理解。 將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模思想。達到軸對稱知識的學(xué)以致用注意問題解決方法的小結(jié)：抓對稱性來解決及時進行學(xué)法指導(dǎo)，注重方法規(guī)律的提煉總結(jié)

9、.通過把AC+BC,AC+BC分別轉(zhuǎn)化成AB、AC+BC，培養(yǎng)學(xué)生的轉(zhuǎn)化思想，體會軸對稱的作用。通過追問4，了解證明方法的排他性，增強證明結(jié)論的可信度。通過追問5，進一步體會軸對稱的作用。學(xué)以致用，及時鞏固課堂小結(jié)2分鐘本節(jié)課研究的主要問題是什么？軸對稱起在所研究問題中起什么作用？通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？還有哪些疑惑？和同學(xué)們交流一下。布置作業(yè)1分鐘1、如圖，小河邊有兩個村莊A、B要在河邊建一自來水廠向A村與B村供水 若要使廠部到A、B村的水管最省料，應(yīng)建在什么地方？2、如圖，兩條公路OA、OB相交，在兩條公路的中間有一個油庫，設(shè)為點P，如在兩條公路上各設(shè)置一個加油站，（1）若要使油庫

10、分別到兩個加油站距離最短，應(yīng)在何處設(shè)置加油站？（2）若要使運油車從油庫出發(fā)，經(jīng)過一個加油站，再到另一個加油站，最后回到油庫所走的路程最短，應(yīng)如何設(shè)置？板書設(shè)計13.4課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題兩點之間，線段最短。垂線段最短。方法提煉：最短路徑問題線段和最小問題兩點之間，線段最短。教學(xué)反思1、本節(jié)課很好的完成了教學(xué)目標，課堂上學(xué)生積極主動，思維活躍，對教學(xué)效果比較滿意。2、在拓展練習(xí)時，同學(xué)們思維活躍，各抒己見，是讓我最興奮的地方。3、學(xué)生對這節(jié)課的學(xué)習(xí)達到了我期望的水平，我比較滿意。我覺得不足的地方是在課堂中，還是老師講的比較多，限制了學(xué)生的思維發(fā)展。4、在做第一個練習(xí)時，有的同學(xué)提出的方法出乎我的意料。我和同學(xué)們一起耐心比較，找出解決問題的最佳方法。5、如果重上這節(jié)課