1、2021-2022高考數學模擬試卷注意事項1考生要認真填寫考場號和座位序號。2試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B 鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知展開式中第三項的二項式系數與第四項的二項式系數相等，若，則的值為( )A1B1C8lD812雙曲線的漸近線方程為( )ABCD3已知函數且，則實數的取值范圍是( )ABCD4一個空間幾何體的正視圖是長為4，寬為的長方形，側視圖是邊長

2、為2的等邊三角形，俯視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（ ）ABCD5 “哥德巴赫猜想”是近代三大數學難題之一，其內容是：一個大于2的偶數都可以寫成兩個質數(素數)之和，也就是我們所謂的“1+1”問題.它是1742年由數學家哥德巴赫提出的，我國數學家潘承洞、王元、陳景潤等在哥德巴赫猜想的證明中做出相當好的成績.若將6拆成兩個正整數的和，則拆成的和式中，加數全部為質數的概率為（ ）ABCD6一輛郵車從地往地運送郵件，沿途共有地，依次記為，（為地，為地）從地出發時，裝上發往后面地的郵件各1件，到達后面各地后卸下前面各地發往該地的郵件，同時裝上該地發往后面各地的郵件各1件，記該郵車到達，各地裝卸完畢后

3、剩余的郵件數記為則的表達式為（ ）ABCD7若集合，則=（ ）ABCD8在平面直角坐標系中，已知是圓上兩個動點，且滿足，設到直線的距離之和的最大值為，若數列的前項和恒成立，則實數的取值范圍是（ ）ABCD9已知函數的圖象向左平移個單位后得到函數的圖象，則的最小值為（ ）ABCD10設等差數列的前n項和為，且，則( )A9B12CD11已知等差數列的前n項和為，且，若（，且），則i的取值集合是（ ）ABCD12金庸先生的武俠小說射雕英雄傳第12回中有這樣一段情節，“洪七公道：肉只五種，但豬羊混咬是一般滋味，獐牛同嚼又是一般滋味，一共有幾般變化，我可算不出了”.現有五種不同的肉，任何兩種（含兩種）

4、以上的肉混合后的滋味都不一樣，則混合后可以組成的所有不同的滋味種數為（ ）A20B24C25D26二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13已知為矩形的對角線的交點，現從這5個點中任選3個點，則這3個點不共線的概率為_.14執行以下語句后，打印紙上打印出的結果應是：_15記復數za+bi（i為虛數單位）的共軛復數為，已知z2+i，則_16如果橢圓的對稱軸為坐標軸，短軸的一個端點與兩焦點組成一正三角形，焦點在x軸上，且=, 那么橢圓的方程是 三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）已知.（1）求不等式的解集；（2）若存在，使得成立，求實數的取值范圍1

5、8（12分）如圖，在四棱錐中，底面，為的中點，是上的點.（1）若平面，證明：平面.（2）求二面角的余弦值.19（12分）已知為坐標原點，點，動點滿足，點為線段的中點，拋物線：上點的縱坐標為，.（1）求動點的軌跡曲線的標準方程及拋物線的標準方程；（2）若拋物線的準線上一點滿足，試判斷是否為定值，若是，求這個定值；若不是，請說明理由.20（12分）4月23日是“世界讀書日”，某中學開展了一系列的讀書教育活動學校為了解高三學生課外閱讀情況，采用分層抽樣的方法從高三某班甲、乙、丙、丁四個讀書小組（每名學生只能參加一個讀書小組）學生抽取12名學生參加問卷調查各組人數統計如下：小組甲乙丙丁人數12969（

6、1）從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取2人，求這2人來自同一個小組的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取2人，用表示抽得甲組學生的人數，求隨機變量的分布列和數學期望21（12分）在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為矩形，平面ABEF平面ABCD，EFAB，BAF90，AD2，ABAF2EF2，點P在棱DF上（1）若P是DF的中點，求異面直線BE與CP所成角的余弦值；（2）若二面角DAPC的正弦值為，求PF的長度22（10分）某工廠的機器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發生損壞時，需要送維修處維修工廠規定當日損壞的元件A在次日早上 8：30 之前送到維修處，并要求維修

7、人員當日必須完成所有損壞元件A的維修工作每個工人獨立維修A元件需要時間相同維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個數，具體數據如下表：日期 1 日 2 日 3 日 4 日 5 日 6 日 7 日 8 日 9 日 10 日 元件A個數 9 15 12 18 12 18 9 9 24 12 日期 11 日 12 日 13 日 14 日 15 日 16 日 17 日 18 日 19 日 20 日 元件A個數 12 24 15 15 15 12 15 15 15 24 從這20天中隨機選取一天，隨機變量X表示在維修處該天元件A的維修個數（）求X的分布列與數學期望；（）若a，b，且b-a=6，求

8、最大值；（）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個維修工人每天維修元件A的個數的數學期望不超過4個，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結論）參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1B【解析】根據二項式系數的性質，可求得，再通過賦值求得以及結果即可.【詳解】因為展開式中第三項的二項式系數與第四項的二項式系數相等，故可得，令，故可得，又因為，令，則，解得令，則.故選：B.【點睛】本題考查二項式系數的性質，以及通過賦值法求系數之和，屬綜合基礎題.2A【解析】將雙曲線方程化為標準方程為，其漸近線方程為，化簡整理即得漸近線方程

9、.【詳解】雙曲線得，則其漸近線方程為，整理得.故選：A【點睛】本題主要考查了雙曲線的標準方程，雙曲線的簡單性質的應用.3B【解析】構造函數，判斷出的單調性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【詳解】構造函數，由解得，所以的定義域為，且，所以為奇函數，而，所以在定義域上為增函數，且.由得，即，所以.故選：B【點睛】本小題主要考查利用函數的單調性和奇偶性解不等式，屬于中檔題.4B【解析】由三視圖確定原幾何體是正三棱柱，由此可求得體積【詳解】由題意原幾何體是正三棱柱，故選：B【點睛】本題考查三視圖，考查棱柱的體積解題關鍵是由三視圖不愿出原幾何體5A【解析】列出所有可以表示成和為6的正整數式子，找到加數全

10、部為質數的只有，利用古典概型求解即可.【詳解】6拆成兩個正整數的和含有的基本事件有:(1,5),(2,4),(3,3), (4,2),(5,1),而加數全為質數的有(3,3),根據古典概型知，所求概率為.故選：A.【點睛】本題主要考查了古典概型，基本事件，屬于容易題.6D【解析】根據題意，分析該郵車到第站時，一共裝上的郵件和卸下的郵件數目，進而計算可得答案【詳解】解：根據題意，該郵車到第站時，一共裝上了件郵件，需要卸下件郵件，則，故選：D【點睛】本題主要考查數列遞推公式的應用，屬于中檔題7C【解析】求出集合，然后與集合取交集即可【詳解】由題意，則，故答案為C.【點睛】本題考查了分式不等式的解法

11、，考查了集合的交集，考查了計算能力，屬于基礎題8B【解析】由于到直線的距離和等于中點到此直線距離的二倍，所以只需求中點到此直線距離的最大值即可。再得到中點的軌跡是圓，再通過此圓的圓心到直線距離，半徑和中點到此直線距離的最大值的關系可以求出。再通過裂項的方法求的前項和，即可通過不等式來求解的取值范圍.【詳解】由，得，.設線段的中點，則，在圓上，到直線的距離之和等于點到該直線的距離的兩倍，點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離與圓的半徑之和，而圓的圓心到直線的距離為，.故選：【點睛】本題考查了向量數量積，點到直線的距離，數列求和等知識，是一道不錯的綜合題.9A【解析】首先求得平移后的函數，再根據求

12、的最小值.【詳解】根據題意，的圖象向左平移個單位后，所得圖象對應的函數，所以，所以又，所以的最小值為故選：A【點睛】本題考查三角函數的圖象變換，誘導公式，意在考查平移變換，屬于基礎題型.10A【解析】由，可得以及，而，代入即可得到答案.【詳解】設公差為d，則解得，所以.故選：A.【點睛】本題考查等差數列基本量的計算，考查學生運算求解能力，是一道基礎題.11C【解析】首先求出等差數列的首先和公差，然后寫出數列即可觀察到滿足的i的取值集合.【詳解】設公差為d，由題知，解得，所以數列為，故.故選：C.【點睛】本題主要考查了等差數列的基本量的求解，屬于基礎題.12D【解析】利用組合的意義可得混合后所有

13、不同的滋味種數為，再利用組合數的計算公式可得所求的種數.【詳解】混合后可以組成的所有不同的滋味種數為（種），故選：D.【點睛】本題考查組合的應用，此類問題注意實際問題的合理轉化，本題屬于容易題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13【解析】基本事件總數，這3個點共線的情況有兩種和，由此能求出這3個點不共線的概率【詳解】解：為矩形的對角線的交點，現從，這5個點中任選3個點，基本事件總數，這3個點共線的情況有兩種和，這3個點不共線的概率為故答案為：【點睛】本題考查概率的求法，考查對立事件概率計算公式等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題141【解析】根據程序框圖直接計算得到答案.【

14、詳解】程序在運行過程中各變量的取值如下所示：是否繼續循環 i x循環前 1 4 第一圈 是 4 4+2第二圈 是 7 4+2+8第三圈 是 10 4+2+8+14退出循環，所以打印紙上打印出的結果應是：1故答案為：1【點睛】本題考查了程序框圖，意在考查學生的計算能力和理解能力.1534i【解析】計算得到z2（2+i）23+4i，再計算得到答案.【詳解】z2+i，z2（2+i）23+4i，則故答案為：34i【點睛】本題考查了復數的運算，共軛復數，意在考查學生的計算能力.16【解析】由題意可設橢圓方程為：短軸的一個端點與兩焦點組成一正三角形，焦點在軸上又，橢圓的方程為，故答案為考點：橢圓的標準方程

15、，解三角形以及解方程組的相關知識三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）.（2）.【解析】試題分析：（）通過討論x的范圍，得到關于x的不等式組，解出取并集即可；（）求出f（x）的最大值，得到關于a的不等式，解出即可試題解析：（1）不等式等價于或或，解得或，所以不等式的解集是；（2），解得實數的取值范圍是點睛：含絕對值不等式的解法有兩個基本方法，一是運用零點分區間討論，二是利用絕對值的幾何意義求解法一是運用分類討論思想，法二是運用數形結合思想，將絕對值不等式與函數以及不等式恒成立交匯、滲透，解題時強化函數、數形結合與轉化化歸思想方法的靈活應用，這是命題的新動向18

16、（1）證明見解析（2）【解析】（1）因為，利用線面平行的判定定理可證出平面，利用點線面的位置關系，得出和，由于底面，利用線面垂直的性質，得出，且，最后結合線面垂直的判定定理得出平面，即可證出平面.（2）由（1）可知，兩兩垂直，建立空間直角坐標系，標出點坐標，運用空間向量坐標運算求出所需向量，分別求出平面和平面的法向量，最后利用空間二面角公式，即可求出的余弦值.【詳解】（1）證明：因為，平面，平面，所以平面，因為平面，平面，所以可設平面平面，又因為平面，所以.因為平面，平面，所以，從而得.因為底面，所以.因為，所以.因為，所以平面.綜上，平面.（2）解：由（1）可得，兩兩垂直，以為原點，所在直線

17、分別為，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為，所以，則，所以，.設是平面的法向量，由取取，得.設是平面的法向量，由得取，得，所以，即的余弦值為.【點睛】本題考查線面垂直的判定和空間二面角的計算，還運用線面平行的性質、線面垂直的判定定理、點線面的位置關系、空間向量的坐標運算等，同時考查學生的空間想象能力和邏輯推理能力.19（1）曲線的標準方程為.拋物線的標準方程為.（2）見解析【解析】（1）由題知|PF1|+|PF2|2|F1F2|，判斷動點P的軌跡W是橢圓，寫出橢圓的標準方程，根據平面向量數量積運算和點A在拋物線上求出拋物線C的標準方程；（2）設出點P的坐標，再表示出點N和Q的坐標，根據題意

18、求出的值，即可判斷結果是否成立【詳解】（1）由題知，所以 ，因此動點的軌跡是以，為焦點的橢圓，又知，所以曲線的標準方程為.又由題知，所以 ，所以，又因為點在拋物線上，所以，所以拋物線的標準方程為.（2）設，由題知，所以，即，所以 ，又因為，所以，所以為定值，且定值為1.【點睛】本題考查了圓錐曲線的定義與性質的應用問題，考查拋物線的幾何性質及點在曲線上的代換，也考查了推理與運算能力，是中檔題20（1）（2）見解析， 【解析】（1）采用分層抽樣的方法甲組抽取4人，乙組抽取3人，丙組抽取2人，丁組抽取3人，從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取2人，基本事件總數為，這兩人來自同一小組取法共有，由此可求

19、出所求的概率；（2）從已抽取的甲、丙兩個小組的學生中隨機抽取2人，而甲、丙兩個小組學生分別有4人和2 人，所以抽取的兩人中是甲組的學生的人數的可能取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出隨機變量的分布列和數學期望.【詳解】（1）由題設易得，問卷調查從四個小組中抽取的人數分別為4，3，2，3（人），從參加問卷調查的12名學生中隨機抽取兩名的取法共有（種），抽取的兩名學生來自同一小組的取法共有（種），所以，抽取的兩名學生來自同一個小組的概率為（2）由（1）知，在參加問卷調查的12名學生中，來自甲、丙兩小組的學生人數分別為4人、2人，所以，抽取的兩人中是甲組的學生的人數的可能取值為0，1，2

20、,因為所以隨機變量的分布列為：012所求的期望為【點睛】此題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，考查分層抽樣、古典概型、排列組合等知識，考查運算能力，屬于中檔題.21（1）（2）【解析】（1）以A為原點，AB為x軸，AD為y軸，AF為z軸，建立空間直角坐標系，則（1，0，2），（2，1，1），計算夾角得到答案.（2）設，01，計算P（0，2，22），計算平面APC的法向量（1，1，），平面ADF的法向量（1，0，0），根據夾角公式計算得到答案.【詳解】（1）BAF90，AFAB，又平面ABEF平面ABCD，且平面ABEF平面ABCDAB，AF平面ABCD，又四邊形ABCD為矩形，以A為原點，AB