1、規范答題示例4空間角的計算問題典例4(15分)(2017浙江)如圖，已知四棱錐PABCD，PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，BCAD，CDAD，PCAD2DC2CB，E為PD的中點(1)證明：CE平面PAB；(2)求直線CE與平面PBC所成角的正弦值審題路線圖方法一(1)取PA的中點為F，連接EF，FB證明四邊形BCEF為平行四邊形CEBFCE平面PAB所以EFAD且EFAD，又因為BCAD，BCAD，規范解答分步得分方法一(1)證明如圖，設PA的中點為F，連接EF，FB.因為E，F分別為PD，PA中點，1212所以EFBC且EFBC，所以四邊形BCEF為平行四邊形，所以CEBF.4分因為

2、BF平面PAB，CE平面PAB，因此CE平面PAB.6分構建答題模板第一步找平行：通過三角形中位線，找出線線平行進而得到線面平行第二步找夾角：通過作輔助線及線線、線面及面面之間的關系找到夾角第三步找關系：由圖形找出各線段之間的長度關系，進而求得夾角的1(2)解分別取BC，AD的中點為M，N，連接PN交EF于點Q，連接MQ.正弦值.在PBN中，由PNBN1，PB3得QH，在RtMQH中，QH，MQ2，因為E，F，N分別是PD，PA，AD的中點，所以Q為EF的中點，在平行四邊形BCEF中，MQCE.由PAD為等腰直角三角形得PNAD.由DCAD，N是AD的中點得BNAD，又PNBNN，PN，BN平

3、面PBN，所以AD平面PBN.9分由BCAD得BC平面PBN，又BC平面PBC，那么平面PBC平面PBN.過點Q作PB的垂線，垂足為H，連接MH.MH是MQ在平面PBC上的投影，所以QMH是直線CE與平面PBC所成的角.12分設CDeqoac(,1.)在PCD中，由PC2，CD1，PD2得CE2，1414第四步得結論：得到所求夾角的正弦值.所以sinQMH2，8所以直線CE與平面PBC所成角的正弦值是28.15分以O為原點建立空間直角坐標系，求各點的坐標求平面PAB的法向量n和CE的坐標CEn0得出結論(2)求平面PBC的法向量m利用sin|cosCE，m|求線面角的正弦值審題路線圖方法二(1

4、)取AD中點為O，連接OB，OPAD平面OPB2BCADOD，且BCOD，規范解答分步得分方法二(1)證明設AD的中點為O，連接OB，OP.PAD是以AD為斜邊的等腰直角三角形，OPAD.12四邊形BCDO為平行四邊形，又CDAD，OBAD，OPOBO，OP，OB平面OPB，AD平面OPB.2分過點O在平面POB內作OB的垂線OM，交PB于M，以O為原點，OB所在直線為x軸，OD所在直線為y軸，OM所在直線為z軸，建立空間直角坐標系，如圖.4分設CD1，則有A(0，1,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0)設P(x,0，z)(z0)，由PC2，OP1，構建答題模板第一步找垂

5、直：找出(或作出)具有公共交點的三條兩兩垂直的直線第二步寫坐標：建立空間直角坐標系，寫出點坐標第三步求向量：求直線的方向解得x，z.x121z24，得x2z21，1322向量或平面的法向量.第四步即P，0，E為PD的中點，E，.AP，1，AB(1,1,0)，1322113424設平面PAB的法向量為n(x1，y1，z1)，1322求夾角：計算向量的夾角第五步得結論：得到所求兩個平面所成的角或直線和平面所成的角.x1y13nAP0，nAB0，1z0，即221xy0，11解得x1y1，z13y1，令y1，得n(1，1，3).7分3而CE，CEn0，BC(0,1,0)，BP，0，135424又CE平

6、面PAB，CE平面PAB.10分(2)解設平面PBC的法向量為m(x2，y2，z2)，3322mBC0，mBP0，y20，即332x22z20，|CEm|2則sin|cosCE，m|.|CE|m|令x21，得m(1,0，3).13分設直線CE與平面PBC所成的角為，8故直線CE與平面PBC所成角的正弦值為28.15分評分細則(1)方法一第(1)問中證明CE平面PAB缺少條件扣1分，第(2)問中證明PNAD和BNAD各給1分(2)方法二中建系給2分，兩個法向量求出1個給3分，沒有最后結論扣1分，法向量取其他形式同樣給分跟蹤演練4(2018全國)如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F分別為AD，BC

7、的中點，以DF為折痕把DFC折起，使點C到達點P的位置，且PFBF.(1)證明：平面PEF平面ABFD；(2)求DP與平面ABFD所成角的正弦值(1)證明由已知可得BFPF，BFEF，PFEFF，PF，EF平面PEF，所以BF平面PEF.又BF平面ABFD，所以平面PEF平面ABFD.(2)解方法一如圖，作PHEF，垂足為H.4以H為坐標原點，HF的方向為y軸正方向，|BF|為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標系所以PH3則H(0,0,0)，P0，0，3，D1，0，DP1，3，HP0，0，3又HP為平面ABFD的法向量，由(1)得，PH平面ABFD.Hxyz.由(1)可得，DEPE.又DP2，DE1，所以PE3.又PF1，EF2，所以PEPF.32，EH2.3223.222設DP與平面ABFD所成的角為，則sin|HPDP|4|HP|DP|3334.所以DP與平面ABFD所成角的正弦值