1、圓周率n的計算及簡單應用一、二的來歷二即圓周率，定義為：圓的周長與直徑之比，是一個常數。通常用希臘字母n來表示。英國人瓊斯在1706年首次創用n代表圓周率。但是，他的符號并未立刻被采用，后來，歐拉予以提倡，才漸漸被推廣開來。此后n才成為圓周率的專用符號。二的歷史是饒有趣味的。對二的研究程度，在一定程度上反映一個地區和時代的數學水平，。實際上，在古代長期使用二=3這個數值，古巴比倫、古印度、古中國都是如此。直到公元前2世紀，中國的周髀算經里已有周三徑一的記載。后來東漢的數學家又將n值改為約為3.16。然而直正使圓周率的計算建立在科學的基礎上，應歸功于阿基米德。他用幾何方法證明了圓周率與圓直徑之比

2、小于22/7而大于223/71，為此專門寫了一篇論文圓的度量，同時這也是第一次在科學中創用上、下界來確定近似值。但是第一次用正確方法計算n值的，是中國魏晉時期的劉徽，在公元263年，他首創了用圓的內接正多邊形的面積來逼近圓面積的方法即窮竭法，算得n值約為3.14。在我國稱這種方法為割圓術。直到1200年后，西方人才找到了類似的方法。后人為紀念劉徽的貢獻，也將圓周率稱為徽率。公元460年，南朝的祖沖之利用劉徽的割圓術，把二值算到小點后第七位即3.1415926，這個具有七位小數的圓周率在當時是世界首次。同時，祖沖之還找到了兩個分數，分別是22/7和355/113。用分數來代替n，極大地簡化了計算

3、，這種思想比西方也早一千多年。由中國南朝數學家祖沖之計算出的圓周率，保持了一千多年的世界記錄。直到在1596年，才由荷蘭數學家盧道夫打破了。他把二值推到小數點后第15位小數，后來又推到了第35位。人們在他1610年去世后，為了紀念他的這項成就，為此在他的墓碑上刻上：這個數，從此也把它稱為盧道夫數。之后，隨著數學的發展，尤其是微積分的發現，西方數學家計算二的工作，有了飛速的進展。1948年1月，費格森與雷思奇合作，算出了808位小數的二值。二的人工計算時代隨著電子計算機的問世而宣告結束。在20世紀50年代，人們借助計算機算得了10萬位小數的二，在70年代又突破這個記錄，算到了150萬位。到90年

4、代初，用新的計算方法，算到的二值已到4.8億位。至2010年最新記錄是2000萬億。二的計算經歷了幾千年的歷史，它的每一次重大進步，都標志著算法和技術的革新。二、n的定義圓周率（Pi）是圓周長與直徑的比值，一般用希臘字母二表示，是一個在數學及物理學中普遍存在的數學常數。二也等于圓形之面積與半徑平方之比。因此，二是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關鍵值。在分析學里，二可以嚴格地定義為滿足sinx=0的最小正實數x。圓周率5）般定義為一個圓的周長（C）與直徑（d）的比:二=C。由圖形的相似性可以知道對于任何的圖形的C的值都相等。dd這樣就定義出了常數二。但是也可以換一個角度-從求圓面積和

5、半徑的比來定義。現說明如下：任取半徑為R的圓，畫出它的內接正n邊形，并把多邊形的面積記作Sn。顯然，當n無限增加時，內接正n邊形周長Pn接近于圓周長C，Pn接近于圓周長；同時，Sn也接近一個確定值。這個值叫圓的面積A。也就是說當n無限增加C時，內接正多邊形面積組成的無窮數列S3,S4,S5,.Sn,.的極限是A。現在證明：圓周率二又是A和R的平方的比，即（1）A-二R2成立。事實上，這時D=2R,而n,an和園內接正2n邊形的面積之間，有明（2）也成立明（2）也成立S2n二nR/2和（3）4二nan的關系。其中（3）成立是顯然的，下面證如左圖畫。O的內接正2n邊形并連接它的中心和頂點，這2n條

6、連線就把它分成2n個三角形。把其中相鄰的兩個三角形記作OACOCB,這時，AB與AC垂直相交于D，于是有（4）OB的面積二CDAB/2。而AB二an是圓內接正n邊形的一邊，又ODCD=OC二R。因此，從（4）和（5）就可以得到（6）QAC的面積OCB的面積AOB的面積ACB的面積二(ODCD)AB/2二Ran/2。而圓內接正2n邊形是由n個這樣的相鄰三角形組.9ACJ0CB拼成的，因此由（6）就得到（2）。從（2）和（3）就可得到S2n二PnR/2。當n無限增加時，S2n趨向于A，pn趨向于C，所以（7）的兩邊就分別趨向于A和CR/2，而CR/2DR/2R2,這就得到（1）。這樣就從另外一個角

7、度一一用圓面積來定義了二。三、n的性質二的性質怎樣？這是人們研究了幾千年的的問題。關圓周率的性質及人們對它進行研究的歷史，不同的數學家研究方法各不相同。在美國數學史家達維德.尤金.史密斯的著作數論尺規作圖及周率一書中，將二的歷史分為以下三個時代：（1）自古時至17世紀中期，這個時代大都是求一個正方形等于一個已知圓等的努力，或用目前的初等教科書中所描述的那種純粹幾何方法，來求二的近似值。（2）自微積分起，到德國數學家蘭伯特證明二是無理數為止，即約17世紀60年代至18世紀60年代的100年，這一時代的特色，是解析方法替代了古代的幾何方法；并認為其著名的研究者為牛頓、萊布尼茲、詹姆斯伯努利和約翰.

8、伯努利、歐拉等。這個時代求二值的方法，不再用古代的“窮竭法”，而是用無窮級數及無窮乘積等。（3）從18世紀中期至20世紀，其特色是探求二的性質，即是否為有理數、代數數、超越數等。F面要說的是二的性質，指的是二是一個什么樣的數。例如，它是整數還是分數？是常數還是變量？是有理數還是無理數？等等。古希臘數學家歐幾里得在幾何原本一書中，就提到了二是常數。中國公元前的古書墨子中也有“小圓之圓與大圓之圓同”的記載；周髀算經中也有“徑一而周三”的記載，也認為二是一個常數。雖然古人一直篤信二是一個常數，而且知道它的近似值，但其準確值卻無人知曉。多數國家的古人最早都認為二是整數3.在中國，出上述周髀算經等書籍之

9、外，大約在1世紀的九章算術中也是這樣認為。在古希臘、巴比倫、埃及、印度、日本中關于數學的史料中也是同樣的記載。例如，希伯來人的兩個編年史中就有二、3的記載。這種二：、3的認識，大致持續到劉徽之前，即約3世紀。不過古希臘是一個例外-因為阿基米德在公元前200多年就科學地求得實用而較準確的二值3.14.無理數最早由古希臘數學家畢達哥拉斯學派中的西帕索斯發現。他計算出邊長為1的正方形的對角線長2。但是2不能用任何兩個數的比來表示即不是有理數，也就是是無限不循環小數。在當時叫“沒有比”或“不能表示”，后來稱之為“不可通約量”。14世紀。數學家布拉德瓦丁最早采用“無理”一詞后，至十六七世紀，歐洲人逐漸將

10、無理數納入運算。荷蘭科學家西蒙.斯蒂文、兩位英國數學家沃利斯和哈利奧特、法國數學家笛卡爾等都承認無理數。無理數的本質特征是“無限不循環”，由于在各種形式的二的級數展開式中，始終沒有找到一個遞減的幾何級數，也一直沒有找到二的“萊布尼茲級數和”的公式，對二值的“馬拉松”式的計算競賽中也一直沒有發現任何循環現象。于是，認為二可能是有理數的希望逐漸消失。事實上，早在十五六世紀，印度數學家尼拉斯塔.薩瑪亞吉就確信二是無理數了。此后在超越數時期，人們又猜測二是超越數，在1822年，林德曼在連續函數的意義下，用歐拉公式仁0，終于證明了二是超越數。下面分別給出二是無理數好超越數的證明。二是無理數的證明蘇格蘭數

11、學家詹姆斯.格雷戈里是第一個企圖證明二是無理數的人。不過，他的巧妙的證明不很嚴格，因而不太令人滿意。此外，法國數學家托馬斯.范特.德.拉尼也在17世紀末對二的物理性做出過推斷，這一推斷在半個世紀后，有蘭伯特證明。1737年，歐拉給出了用無限連分數計算平方根的一般方法，并將自然對數的底展開成三種無限連分數。1761年，蘭伯特向柏林科學院提交論文，初步證明了二也是無理數。他用歐拉的方法，并從歐拉發現的e111丄丄2161014和數學家布隆克子爵發現的41232521-兀2+2+2+入手，先得到后來以他姓氏命名的兩個連分式：ex-1111111x=.,tanx二.。ex12/x6/x10/x1/x-

12、3/x-5/x蘭伯特研究了兩個式子的性質之后，得到以下兩個定理。定理1如果x是0以外的有理數，則tanx必然是無理數；反之，如果tanx是0以外的有理數，則x必然是無理數。定理2如果x是0以外的有理數，則ex必然是無理數；反之，如果ex為1以外的有理數，則x必然為無理數。最后，他假設x/4，則tanx=1;因為1是有理數，所以由定理1知道，二/4必然是無理數，因而n也必然是無理數。不過，蘭伯特的上述證明并不十分嚴格。下面給出n是無理數的兩種證明方法。證法一：首先給出二一個定義。定義理=2minl，0,cos：=0,即二是使cos、=0的最小正數的兩倍。按這個定義，利用定積分容易得到半徑為r的圓

13、的面積為2行，因此這樣的定義是合理的。下面證明:是無理數。利用反證法。設二是有理數，則2二也是有理數，于是存在正整數p,nnq，使得二2=衛。由于丄0(n：J因此存在正整數N使得qn!n!設f是如下定義的2N次多項式f(x)二f(x)二xN(1-X)N!則f滿足f(x)二f(1-x),f(k)(x)=(-1)kf(k)(1-x)(k=1,2,)展開f的表達式得對其求導k次(0空k空2N)得12N3市濃。I2Nf(k)(x)nn-k1)CnxnNn:max和,k若0豈kN,顯然f(k)(0)Z,因此由f(k)(x)=(-1)kf(k)(1-x)，知f(k)(1)Z;若N乞k乞2N,顯然f(k)(

14、0)仏Z,因此顯然f(k)(1)Z。N!N令F(x)八(-1)jpgqjf(2j)(x),則利用fk(0)乙f(k)(1)Z得到j=0F(0)Z,F(1)Z。進一步計算得NF(n)(x)二2F(x)八(-1)jpN_jqjfj=0N(2j2)2jNjj(x)十兀Z(j)PCj=0qjf(2j)(x)NjN-j1jJ(2j)(x)二(-1)pqfj=0(2N2)N4N2(x)+pqf(x)=p兀f(x),NjN-jj(2j)-(-1)pqfj=0NN-十1)qf(x)其中利用了f是2N次多項式，因此f(22)(x)=0。再令g(x)二F(x)sin：xF(x)cos：x,則g(x)二F(x)二2

15、F(x)sin二x二pN二2f(x)sin二x。一1一、一，且f(1)f(0)=丄g(1)-g(0)。利用Lagrange中值定理得，存在(0,1)，使得F(1)F(0)=1g()=pN二f()sin二。Tt由f的定義可知o：f()1，于是0：f()sin1N!N!,因此十兀0:F(1)F(0)=pN二f()sin二：:：p：1。N!但已知F乙F(1)乙因此F(1)F(0)Z,與上式矛盾。這就證明了二是無理數。證法二:定理設a,b,n,為正整數，令f(x-(a-,則有n!(1)f(ax)=f(x)；b當x=O,x=a時，f(k)(x)(0豈k乞2n)取值為整數；b假設二是有理數，即:-a,a,

16、b為即約正整數，貝Jf(x)sinxdxTOCo1-5hzb、0為整數，由此可知二不可能是有理數。證明(1)直接驗算可得f(x)；f(x)；(b_x)nab(ax)n和abx)n(bx)nEkn!(b)n!n!(2)可由(1)得f(k)(x)=f(k)(a_x).(-1)k,k=1,2,.2n;f(0)=f(k)(旦)(-1)k,k=1,2.,2n;顯然bb瞪)=f(0)=0,b由于X=0是f(x)的n階零點，于是f(k)(0f(k)(旦)=0,k=1,2,.n1;b1n1利用f(x)二一cn(-b)ixn1an4，當i=0,1,n時，f(n(0)cn(-b)(ni)!anJn!1=0n!為正

17、整數，所以f(k)(0)和f(k)(-)均為整數(k=0,1,.,2n),f(2n1)(x)=0;b(3)假設二是有理數，即二二空，其中a,b為即約正整數。b用分部積分法并由(2)的結果，即知ff(x)sinxdx為整數，事實上，由于f(k)(0),f(k(),sin(k)(0),sin(k)C)(k=1,2,.,2n)均為整數，且f(2n30,經過分部積分得:n(2n)of(x)sinxdx二of(x)(-1)(sinx)dx=(_1)nf(x)(sinx)(2n“_ff(x)(sinx)(2nJ)dx00ZEE。ZEE：-f(x)(sinx)(2nJL)沃+ff(x)(sinx)(2n)d

18、x0-f(x)(sinx)(2nN+.+f(2n)(x)sinxdx00)nf(x)的x)2-f(x)(sinx)2(-宀(x)sinx)(f2n(x)co叫,由此可知of(x)sinxdx為整數；另一方面，當0：x：旦時，有b221nnan1nan1nzan1a、nf(x)xb(x)bx(x)b(2)(),!bn!bn!4bn!4bb2n:：)，這就表:：)，這就表a于疋0：f(x)sinxdx(0(n“10n!4b明ff(x)sinxdx不是整數，這個矛盾說明了兀不是有理數，因此兀是無理數。認識了二是無理數，從理論上徹底解決了求二精確值的問題。從理論上講，人們盡管可以求得它準確到任意有限位

19、小數的值，但實際上永遠不可能得到準確值-有無限多位。:是超越數的證明雖然在1822年，林德曼給出了二是超越數的證明，但其證明相當冗長。后來很多數學家對這個證明進行了簡化并且給出了初等證明。下面用反證法來說明。定理二是超越數證明：若二是代數數，則二二也是代數數，以片廠門2，.片表示的極小多項式的全部零點，記m二denG)，由L-1，則有(1e)(1e).(1e)=0(1)(1)式也可以寫成2n個之和，其中-門；nvn，,為0或1.假設這些有l個不為零，記1,.，那么(1)式寫為qe：1.e：=0,q=2n_1。設P為充分大的素數，含多項式f(x)為f(x)二mlpxp(x-：Jp.(x-：JpJ

20、八I(：k)八；e：2f(u)dukikz!0四、n的計算二值是多少和它是怎樣被計算出來的？國內外關于二值計算方面的論著頗豐，但歸納起來主要有五種：割圓術、分析法、橢圓積分法、概率模型法。下面就分別以這四種方法來計算二值。割圓術古希臘數學家、物理學家阿基米德是割圓術的鼻祖，因此介紹阿基米德的割圓方法，其他割圓方法都可以從此出得來。阿基米德割圓術的數學思想是：圓周長介于這個圓的內接多邊形和外切多邊形之間，當這些多邊形的邊數增加時，圓周長和它們的周長差相差越小；因此，通過計算這些多邊形的周長來接近圓的周長-只要多邊形的邊數增多到某種程度，就能得到符合精確度的圓周長進而得到一定精度的二值如圖所示，0

21、為圓心，AB為。O的外切正6邊形一邊的一半，OA為半徑，/AOB二300,0是角/AOB的角平分OAABOAAB5710BCBOA0BACCBOAOBOAAB153OAACOAACABAC該式子與前面的譽嚅比較就得到OA571AC153線。顯然此時有等嚅小詈。把這兩個式子相加就得到從這個不等式出發，立即可以推出圓外切正6邊形、正12邊形的周長與直徑之比的上界。同樣，計算圓內接正多邊形的邊長，可以確定比值的下界。利用比例關系和勾股定理重復上述過程，一直算到96邊形，最后得到1468822774673722236336內接正96邊形周長外切96邊形周長7n7；7120仃1直徑直徑4由此可得出223

22、/71：二:22/7。事實上采用較簡單的22/7，而不取223/71。阿基米德首次科學而準確地確定223/71廠：:：:22/7。取二兩位實用值為3.14或22/7。從理論上指出了一種可以求得任意準確度的二值的計算方法一一-割圓術即“古典方法”。且第一次在科學中提出誤差估計及其準確度和如何確定的問題，即用上下界確定近似值；這與其后的祖沖之確定二值的計算方法有異曲同工之妙。分析法隨著微積分的發現，數學家們對二值的計算方法的改進也在不斷進行，人們開始擺脫由阿基米德開創的“割圓術”-幾何方法，而采用分析法來計算二值。下面先來介紹分析法計算二值的簡要歷史，然后提出一種易于理解的計算方式。1650年，英

23、國數學家沃利斯利用類比、歸納和極限的方法，從計算圓的面積入手，得出二=24466，載于他的著作無窮算41X3X3X5X5X.述中。這是分析法計算二值正式誕生前的“前奏曲”。1671年，詹姆斯.格雷戈里公開他發現的公式：TOCo1-5hz3579XXXXarctanx=x.（1：x乞1）。3579但其沒有認識到發現的上述公式已經為計算二值開辟了一個新的時代。如果設式子中的x=1，就可以得到二十1J.。43579由于是萊布尼茲發現這個式子，后人把它稱之為“萊布尼茲公式”或“萊布尼茲級數和”。但是，用萊布尼茲公式算二，則收斂太慢，工作量太大。例如，要求出3.14要算628項。而要求出二值的第六位小數

24、，就不多不少正好取2106項。由于工作繁雜，所以很少有人實際用這種方法去計算二值。1676年，微積分的發明者牛頓，發現了一個反正弦函數的展開式：257丄x丄3x丄5xarcsinx=x.。2漢352漢4X67他設式子中的X=1/2，就得到1丄13+十十62232324525246727并用他計算出二的14位小數。由于用上述式子計算值效率并不高，所以牛頓的這個值還不如早于他的古典方法。雖然牛頓計算二的位數不多，但此時由他和萊布尼茲創立的微積分正開始顯示強大的生命力一一他的計算是用分析法算二值的第一次小試牛刀。1699年英國數學家阿伯拉罕.夏普假設格雷戈里公式公式里的就得到夏普公式:就得到夏普公式

25、:1337一)111/3(12一63335他用這個公式將二算到小數點后72位，其中71位正確。在夏普之前分析法在提高二值位數上并無輝煌戰果。69年后的夏普用分析法把二值增加到72位，才開始了分析法大規模計算二值的實戰歷程。其后令人眼花繚亂的各種算二值的分析法如雨后春筍。這一漫長歷程一直持續了近300年-知道20世紀50年代之后。1789年威加利用歐拉發現的公式：兀1311二5arctan2arctan2arctanarctan。477937將二值計算到143位。1844年德國漢堡的數學家約翰.馬丁扎卡賴亞斯.達什用許爾茨.馮.斯特拉斯尼茨基教授發現的公式:1=4arctanarctan170a

26、rctan199將二值計算到后205位年弗格森利用高斯發現的公式：兀111=3arctanarctanarctan44201985將二值計算到后809位。年6月，美國數學家列維.史密斯和雷恩奇，算出了1121位二值，創造了人工算二值的最高紀錄。隨后隨著科學技術的發展，尤其是電子計算機的出現，“人工”算二的時代宣告結束，電子計算機在計算的準確性和速度方面比人工計算快樂許多。在1973年，法國數學家讓.吉勞德和同事馬丁.玻葉等，用CDC-7600型機花去23小時18分鐘，將二值算到小數點后1001250位，登上100萬高峰。直到2010年利用“云計算”利用23天已經達到2000萬億位。下面從分析法

27、中具體舉例如下：例一：利用沃利斯公式Wallis公式幾種表達式如下:或J行（2/廠斗FiF面證明這個公式:X21dx利用分部積分法利用分部積分法(1-x2tir=xl-x2p+/?1/1心2x2(l-x_12dx-0v0=忒1-(1-*)(1-X2ftfc=心丄-叭于是有關系式(5)(5)從上式可知1。=1li二n/4.根據這兩個初值條件有剛!/X嚴為偶數(w+l)!7_,幷為奇數S+1)!4或者（2m）!(2m+1)!1l2m+lr!7T2w-1=(2W+2)2其中n=0,1,2,而由（7）式也可知V厶卿一1厶胡2V厶卿一1厶胡2（8）將（9）式代入（8）式（2m）!（2w-l）!n（2血一

28、2）!*0且有上限，而%_（2機+2艸（2郴+1）（2冊-1艸氏（2m+3）（2W+l!2（2m!f（2附+2）4nr+4m+4-f：r-1*（2m+3）（2m+1）4m2+4m+3說明Wm隨著m的增大遞增，所以如下極限存在，且由夾逼定理得其值limWm=7rWallis公式得證。例二顯然Wallis公式比割圓術要易于計算得多，且簡單易懂，但是Wallis公式在形勢上仍顯復雜，且全部乘除算法也難以提咼計算機計算效率。在計算機上計算最好是只有乘除項之和，如：n在式中，實際上令X=cos、：，則有dx二sin、：d：.式變為厶訂(I_/二-jsin&(sit?祚朋二fsin6d6I如果令x=sin

29、，則只變換形式不影響結果。可以據此設想利用其它的三角函數也能得到同樣的結果。令=f4taifOdO.1(10)注意這里的積分上限改成了二/4，因為二/2宀.二/4的時候ta”1，將導致積分發散。對(10)式做變換hcosJoIcose=ta：r2ode-坦嚴彌Jodeh.7于是有關系式而初值T=/4，觀察規律有7T77T7總結規律得l_4Il_4I心12胡一1)(12)其中m=1,2,3而從式(10)中可知其中m=1,2,3而從式(10)中可知lim=0flt-KO結合(12)式，得到戶-黑十（”冊(13)或者(-lf+12m一1(-lf+12m一1(14)顯然利用這種方法在形式上要比利用Wa

30、llis簡單得多，計算機執行運算的時候也能更加快速。例三橢圓積分法橢圓積分法建立在橢圓積分變換的理論上，始作俑者是印度數學家拉馬努金。他在1914年“模方程和二的逼近”一文中，給出了14個計算二的公式。其中之一，是關于橢圓積分變換理論和二的快速逼近之間，聯系緊密的“拉馬努金公式”（“LM”）122；:-（4n兒110326390n、二亦n燉（詼）。用“LM”每計算一項就可以得到8位的十進制精度，“LM”的(1/4人(1/2人(3/4人(n!)3(1/4人(1/2人(3/4人(n!)3一個有趣的“變種”是994n2110326390n這里(Cn)是遞增階乘，即G)=c(c1)(c-2).(cn-

31、1)不過，拉馬努金沒有給出公式的哦證明，僅僅給出了一些不充分的解釋。直到1987年，才有加拿大的波爾穩兄弟給出證明。只取“LM的前兩項就有122r（4、22r（41兒1103263901匚二莎苛（躋）9801荷（站），由此可以算出7：3.1415935.：3.14159.-得到了六位準確二值。由此可見，“LM是一個收斂很快的公式。例三概率法首先用概率法計算二值的是法國數學家蒲豐，該實驗也被稱之為蒲豐實驗，而此類問題也被稱為蒲豐問題。我們先給蒲豐實驗做一個通俗的說明。假設下圖中平行線距離為4厘米，針長2厘米。將任意擲向向平耳/臚;行線時，可能相交-有一端碰到平行線也二f一-算相交，也可能不相交。

32、問題是，大量多次投擲時，投擲總次數n與相交次數k的比值即n/k=?根據“公平競爭”原則，顯然每一毫米長的針與直線相交的次數為k/20，沒2毫米則為2k/20，等等-針與直線可能相交的次數與針的長度成正比。當然，這個結論對上圖所表示的任意形狀的、總長位2厘米的針也適用。不過，彎針可能有幾處和直線相交，就必須把每個交點都算進去。現在，改用用直徑4厘米，周長4二厘米長的圓形針，任然將它投向上述平行線。顯然，每次投擲的必然結果是，和兩條直線都相交（相切也視為相交）。如果哦投擲n次，則相交次數必為2n次。對比以上實驗，并用上述可能相交次數與長度成正比的結論，就有2/（4二）=k/2n，也就是n/k二二。

33、1777年，蒲豐在1760年寫成的或然算術試驗出版，書中給出了擲針問題的一般情況的解答。如果向畫有等距離且距離為a的一組平行線投擲長為1（1:a）的直針，那么，直針與直線相交的概率為p=21/（a二）。以下證明這一結論。如左圖所示，設AD與平行線中的任意一條MN相交，顯然針不可能和兩條線相交，只有當且僅當s二BC乞（Isin）/2的時候，針和MN才相交。又建立一個s隨變化的坐標系，同時畫一個長為二、寬為a/2的矩形。那么，這個矩形的面積表示什么呢？不管線與針相不相交，都有s=BCa/2和汀。所以，矩形面積表示相交和不相交次數的總和即總投擲次數。再在上圖所示的位置畫正弦曲線s=（lsin）/2的

34、半周。顯然，陰影部分內的點就表示線與針相交，而陰影部分的面積就表示相交的次數。這就得到概率p二k/n二陰影面積/矩形米面積二ld：si-（:）=21022a兀，就是p=k/n=2I/（a二）。這也證明了前述p=2l/（a：），并且得到投針法求二的一般公式專=2nl/（ak）。此時，如果向前面那樣假設2I=a就得到:二n/k。蒲豐實驗引出過很多數學和其他學科的成果。例如，著名的蒙特卡羅方法即統計方法，他的濫觴就是蒲豐實驗。再如，投針問題用頻率代替概率，還提供了一種概率模型，計算這種模型的概率叫幾何概率。此外，蒲豐實驗還啟發一門重要的數學分支-積分幾何的誕生因此蒲實驗的理論實踐意義都十分重大。五、

35、二的應用二是一個奇跡般的數字，數學公式、定理中幾乎無處不在，而隨著數學的發展，它也會繼續在數學以及其他學科的大海里繼續漫游。下面舉例說明二在數學及其他學科當中的應用。例一二與曲線圖形面積有關圓或其中一部分的問題要涉及二，這已不足為奇，但求非圓或圓弧圍成的圖形面積時，也會出現二。例如求心形線r二a(1cos(a0)所圍平面圖形的面積A，有A%10232a2A%10232a2二12r2=2.a(1cos2dr出現二的原因，還是求面積過程中積分運算的結果。再看一個一個名例：求正弦交流電i=Imsi的平均值Ipj。這就相當于求正弦曲線所圍成的曲線圖形面積。如圖所示正弦交流電的正負半周對稱，所以，在一個

36、周期內交流電的“平均值”為0，這種含義的“平均值”沒有任何意義。而前述Ipj則是先分別取正負半周的絕對值再“平均”，這是有意義的；這種Ipj又叫均絕值。因此，要求它的Ipj就要先求得正半周的平均值。可以算得電流i的Ipj是出21PJ2lmsintdt/(T/2)=兀即平均值是最大值Im的210.637倍；對電動勢和電壓也存在這倍數關系。在這里，二又一次出現在計算結果中nLaOn例二二與旋轉體體積如圖所示，任意曲線y=f(x)，他在區間-a,b上繞軸旋轉，并與垂直于X軸的兩個平面(這兩X個平面由x=-a和x=b繞X軸旋轉而成)的一部分構成一個旋轉體。其體積微元即陰影部分的體積就是二y2dx，所以

37、他的體積V二b：f2(x)dx，-a結果中必然含有二可見，星形線旋轉體的體積公式也含有二例四二與伯努利難題雅各布.伯努利對無窮級數很有研究，也求過一些無窮級數的和，但在求1匕二匕.一一“伯努利級數”時卻一籌莫展。在伯努利223242死后兩年，歐拉用奇妙、大膽的類比求得這個和為二2/6。以下是歐拉的求法:假設有一個2n次代數方程TOCo1-5hzbo-b|XTOCo1-5hzbo-b|X這就是著名的1$4-。這就解決了伯努利難題。px6223242歐拉采用的類比方法雖然巧妙、大膽，然而有失嚴密。因為，雖然“一元n次方程有n個根”成立，但既無“一元無限次方程有無限一（_1）ndx=0。（1）式（1）有2n個不同的根一“_2.Jn。如果兩個代數方程有相同的根，而且常數項相等，那么這兩個方程其他項的系數也應該分別相等，那么有222bo_bixb2X-.（_1）tnx=0（1-2）（1-2）（12）。P1卩2Pn比較上式兩邊x2的系數。就得到1b二bo（.2.22）。（2）_1_2n考慮三角形方程sinx=0，他有無窮個根:0,_二,2二,。將sinx展開為級數后，把方程兩邊除以x,就得到1-x2/3!x4/5!-x個根”的定理，也不知道一元無限次方程與系數的關系。歐拉個人也/7!=0。（3）顯然（3）式的根是：:,2二,。本來（3）式的