1、（2）【2015年北京，理2】若x，y滿足xy1，則zx2y的最大值為（）x0，2015年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（理科）第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，選出符合題目要求的一項（1）【2015年北京，理1】復(fù)數(shù)i2i（）（A）12i（B）12i（C）12i（D）12i【答案】A【解析】i2i2ii212i，故選Axy0，（A）0（B）1（C）3（D）22【答案】D【解析】如圖，當(dāng)x0y1，z2，故選Dmax（3）【2015年北京，理3】執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的結(jié)果為（）（A）2，2（B）4，0（C）4

2、，4（D）0，8【答案】Bs0t2x0y2k1【解析】s2t2x2y2k2，結(jié)束，輸出(4,0)，故選Bs4t0 x4y0k3（4）【2015年北京，理4】設(shè)，是兩個不同的平面，m是直線且m“m”是“”的（）（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件【答案】B【解析】m/不能推出/，而/，m/，“m/”是“/”的必要不充分條件，故選B（5）【2015年北京，理5】某三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積是（）（A）25（B）45（C）225（D）5【答案】CABC222，ABAC5，【解析】由三視圖知，PA面ABC，S12,PCPB6，SPBC

3、255，S225，SPABS151251PCA22【解析】aa0，d0，所以a0，a3aa，故選C2故選C（6）【2015年北京，理6】設(shè)a是等差數(shù)列.下列結(jié)論中正確的是（）n（A）若aa0，則aa0（B）若aa0，則aa012231312（C）若0aa，則aaa（D）若a0，則aaaa01221312123【答案】Caa1213213【（7）2015年北京，理7】如圖，函數(shù)fx的圖象為折線ACB，則不等式fxlogx121【解析】由題可知：f(x)，當(dāng)x1,0時，log(x1)02x2x0,2時，f(x)單調(diào)x20 x2的解集是（）（A）x|1x0（B）x|1x1（C）x|1x1（D）x|1

4、x2【答案】C2x2-1x02遞減，g(x)log(x1)單調(diào)遞增，log(x1)x2x1當(dāng)0 x1時，log(x1)x2，222f(x)log(x1)的解集為1,1，故選C2（8）【2015年北京，理8】汽車的“燃油效率”是指汽車每消耗1升汽油行駛的里程，下圖描述了甲、乙、丙三輛汽車在不同速度下的燃油效率情況.下列敘述中正確的是（）（A）消耗1升汽油，乙車最多可行駛5千米（B）以相同速度行駛相同路程，三輛車中，甲車消耗汽油最多（C）甲車以80千米/小時的速度行駛1小時，消耗10升汽油（D）某城市機動車最高限速80千米/小時.相同條件下，在該市用丙車比用乙車更省油【答案】D【解析】由圖可知，對

5、乙車存在一個速度，使燃油效率高于5，A錯；由圖知，當(dāng)以40km/h的速度行駛時，甲車燃油效率最高，行駛相同路程時，耗油最少，B錯；甲車以80km/h行駛1小時耗油8升，故C錯在限速80km/h，相同情況下，丙車燃油效率較乙車高，所以乙車更省油，故選D第二部分（非選擇題共110分）二、填空題：共6小題，每小題5分，共30分。（9）【2015年北京，理9】在2x5的展開式中，x3的系數(shù)為（用數(shù)字作答）【答案】40【解析】Tr1Cr25rxr，當(dāng)r3時，系數(shù)為C32245554240（10）【2015年北京，理10】已知雙曲線3【答案】3x2a2y21a0的一條漸近線為3xy0，則ax2x13（11

6、）【2015年北京，理11】在極坐標(biāo)系中，點2到直線cos3sin6的距離為_【解析】令y20y0，所以3a2aaa33【答案】11362（12）【2015年北京，理12】在ABC中，a4，b5，c6，則【解析】1【解析】直線方程為x3y6x3y60，點為(1,3)，所以點到直線方程的距離為dsin2AsinC【答案】1sin2A2sinAcosA2ab2c2a2425361690sinCsinCc2bc63090（13）【2015年北京，理13】在ABC中，點M，N滿足AM2MC，BNNC若1132MNxAByAC，則x；y_【答案】x，y【解析】MNMCCNACCBAC(ABAC)ABAC

7、，所以x,y112611111111323226262（14）【2015年北京，理14】設(shè)函數(shù)fxxax2ax1.若a1，則fx的最小值為42xax1；若fx恰有2個零點，則實數(shù)a的取值范圍是1；a,12,【答案】f(x)min12【解析】當(dāng)a1時，f(x)，2x1,x14(x1)(x2),x1minf()4()1，所以f(x)x1時，1f(x)1，x1時，f(x)311222min1；當(dāng)2a1，即a時，f(x)恰有兩個零點，所以當(dāng)a1時，f(x)恰有兩個零點；綜上所述a,12,（15）【2015年北京，理15】（本小題滿分13分）已知函數(shù)f(x)2sincos2sin2（）當(dāng)a0時，f(x)

8、沒有兩個零點，（）當(dāng)0a1時，x1時，2xa0 xloga0，f(x)有一個零點；2x1時，f(x)0 xa,x2a；121122（）當(dāng)1a2時，x1時，2xa0 xloga1，f(x)有一個零點；2x1時，f(x)0 xa，x2a，f(x)有兩個零點，12此時f(x)有三個零點；（）當(dāng)a2時，x1時，無零點；x1時，有兩個零點，此時f(x)有兩個零點12三、解答題：共6題，共80分解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程xxx222（）求f(x)的最小正周期；（）求f(x)在區(qū)間，0上的最小值解：（）f(x)222222sinx(1cosx)sinxcosxsin(x)2222242，周期T2

9、12x1sin(x)1f(x)0最小值為1（）x032224444222（16）【2015年北京，理16】（本小題滿分13分）A，B兩組各有7位病人，他們服用某種藥物后的康復(fù)時間（單位：天）記錄如下：A組：10，11，12，13，14，15，16B組：12，13，15，16，17，14，a假設(shè)所有病人的康復(fù)時間互相獨立，從A，B兩組隨機各選1人，A組選出的人記為甲，B組選出的人記為乙（）求甲的康復(fù)時間不少于14天的概率；（）如果a25，求甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長的概率；（）當(dāng)a為何值時，A，B兩組病人康復(fù)時間的方差相等？（結(jié)論不要求證明）33解：（）記甲康復(fù)時間不小于14天為事件A則P(A

10、)，所以甲康復(fù)時間不小于14天的概率為77（）記甲的康復(fù)時間比乙的康復(fù)時間長為事件B基本事件空間如下表甲乙1011121314151612短短短長長長長13短短短短長長長14短短短短短長長15短短短短短短長3161725短短短短短短短短短短短短短短短短短短短短短所以P(B)10107749B2,32a,0，EAa,0,3a，EB2a,32a,0平面AEF的法向量m0,1,0；設(shè)平面AEB的法向量nx,y,z，（）a11或a18由于A組為公差為1的等差數(shù)列，所以當(dāng)a11或a18時B組也為公差為1的等差數(shù)列，所以方差一定相等，而方差相等的方程是關(guān)于a的一個一元二次方程，故最多有兩個解，所以只有a1

11、1或a18兩個值（17）【2015年北京，理17】（本小題滿分14分）如圖，在四棱錐AEFCB中，AEF為等邊三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC4，EF2a，EBCFCB60，O為EF的中點（）求證：AOBE；（）求二面角FAEB的余弦值；（）若BE平面AOC，求a的值解：（）證明：AEF為等邊三角形，O為EF中點，AOEF又平面AEF平面EFCB，平面AEF平面EFCBEF，AO平面EFCB，AOBE。（）以O(shè)為原點建立如圖坐標(biāo)系Ea,0,0，F(xiàn)a,0,0，A0,0,3a，nEA0 x3z0nEB0 x3y0則n，取3,1,1，cosm,nmnmn15155，BE平面AOC，BE

12、OC，OC2,32a,0，（）又二面角FAEB為鈍角，二面角FAEB的余弦值為55BEOC22a32a32a0，解得a2（舍）或a43（18）【2015年北京，理18】（本小題滿分13分）已知函數(shù)fxln（）求曲線yfx在點0，f0處的切線方程；1x1x（）求證：當(dāng)x0，1時，fx2x；（）設(shè)實數(shù)k使得fxkx對x0，1恒成立，求k的最大值解：（）f(x)ln(1x)ln(1x)，f(x)1又f(x)0，2(1x2)22(1x)(1x)2xx33x331111x1x1x1x所以，切線方程為y02(x0)，即y2x22（）F(x)f(x)2xx3ln(1x)ln(1x)2xx3，33112224

13、F(x)22x2(1x)(1x)1x1x1x21x24，又F(0)0，故F(x)F(0)，所以f(x)k(x)又因為0 x1，所以F(x)0，所以F(x)在(0,1)上是增函數(shù)，x33k(x),x(0,1)，設(shè)t(x)lnk(x)0,x(0,1)，（）ln1xx31xx21x31x3t(x)k(1x2)x(0,1)，k0,2，2kx42k1x21x2t(x)0，函數(shù)t(x)是單調(diào)遞增，t(x)t(0)顯然成立。當(dāng)k2時，令t(x)0t(x)0，得x40k2k(0,1)，x(0,x)0t(x)x00(x,1)0+t(x)極值t(x)t(0)0，顯然不成立，由此可知k最大值為201ab0的離心率為

14、，點P0，1【（19）2015年北京，理19】本小題滿分14分）已知橢圓C：x2y2222ab2和點Am，nm0都在橢圓C上，直線PA交x軸于點M（）求橢圓C的方程，并求點M的坐標(biāo)（用m，n表示）；（）設(shè)O為原點，點B與點A關(guān)于x軸對稱，直線PB交x軸于點N問：y軸上是否存在點Q，使得OQMONQ？若存在，求點Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由解：（）由題意知b1，c2a2，又a2b2c2，解得a2,bc1，所以C的方程為y21PA的斜率kPA，所以PA方x2n12mn1mm程yx1，令y0，解得x，所以M,0m1n1n（）Bm,n，同（）可得N,0，tanOQMm1n1kQM，1即t2tanONQ

15、kQN，因為OQMONQ所以kQNkQM1，設(shè)Qt,0則ttm2mm1n2，1n1nn21，即又A在橢圓C上，所以m2m221n22，所以t2，故存在Q2,0使得OQMONQn1，2，記集合Ma|nN*a2an36，an18當(dāng)a18時，ai3，因為aN*，所以a也是3的倍數(shù)；22（20）【2015年北京，理20】（本題滿分13分）已知數(shù)列a滿足：aN*，a36，且n112a，a18，nnn1n（）若a6，寫出集合M的所有元素；1（）若集合M存在一個元素是3的倍數(shù)，證明：M的所有元素都是3的倍數(shù)；（）求集合M的元素個數(shù)的最大值解：（）6，12，24（）若存在a(i1,2,L,n)是3的倍數(shù)，設(shè)a3k(kN*)，ii當(dāng)a18時，a2a6k，a也是3的倍數(shù)；ii1ii1當(dāng)a18時，a2a366k36，a也是3的倍數(shù)ii1ii1綜上，a是3的倍數(shù)，依次類推，當(dāng)ni時，a是3的倍數(shù)；i1n若存在a(i2,3,L,n)是3的倍數(shù)，設(shè)a3k(kN*)，iiaki1i1i1i15i13(6)，因為aN*，所以a也是3的倍數(shù)；22當(dāng)a18時，aia36kii1i1（）當(dāng)a1時，將a1代入a(n1,2,L)，2a36,a18綜上，a是3的倍數(shù)，依次類推，當(dāng)ni時，a是3的倍數(shù)；所以原結(jié)論成立i1n2a,a18nn11n1nn依次得到2，4，8，16，32，28，20