1、保險精算 南通大學理學院主講教師：陸志峰教材指定教材王曉軍等，保險精算原理與實務（第二版），中國人民大學出版社，2010。參考資料Kellison,S.G.，Theory of Interest，2nd Edition,SOA，1991.Bowers,N.L，Actuarial Mathematics，2nd Edition，SOA，1997. 課程結構基礎利息理論基礎 生命表基礎核心保費計算 責任準備金計算多重損失模型保單的現金價值與紅利拓展特殊年金與保險壽險定價與負債評估償付能力與監管第一章 導論2022/7/154精算科學(Actuarial Science) 精算科學是以概率論與數理統

2、計為基礎的，與經濟學、金融學及保險理論相結合的應用與交叉性的學科。在保險和社會保障領域，精算科學通過對風險事件及其損失的預先評價，實現科學的風險管理，為保險和社會保障事業的財務穩健發展提供基本保障。保險精算學的基本原理(1) 要素未來事件不確定性財務收支預先評估(2) 模型和方法模型：各因素相互關系的數學公式方法：借助精算模型實現預先評估(3) 精算假設對未來風險發生規律的假設在過去經驗的基礎上，根據對未來的判斷預先做出基本精算原理-例按照收支對等原則 如果1人投保1年期100,000元壽險，假設1年內死亡概率4.3%，在不考慮保險公司的費用、投資收益、利潤的情況下： 保費=期望損失=100,

3、0000.004 3=430元（忽略利息）精算師精算師被稱為金融、保險、投資和風險管理的工程師通過對風險和損失的預先評價，對風險事件做出預先的財務安排，保證風險經營的財務穩健性。精算師的主要職業領域保險公司（壽險、非壽險、健康保險）養老金計劃社會保障銀行、投資、公司財務、金融工程法律法規教育精算管理控制系統環境因素（法律、社會、人口、稅收等）風險分析產品設計定價監測和分析經驗數據償付能力評估資產負債管理資產評估利潤分析負債評估怎樣成為精算師考試制度：英國精算學會、北美壽險精算學、北美非壽險精算學會、美國養老金精算師學會、加拿大精算學會。教育認可制度：澳大利亞：初級課程認可，高級課程考試；德國、

4、意大利、法國、瑞士、西班牙、荷蘭、巴西、墨西哥等國家主要采取學歷認可制度。國際精算協會的精算師后續教育制度精算職業發展1775年，英國的公平人壽社團最早將精算師引入保險領域。1848年，英國在世界上最早成立了精算學會1889年，美國精算學會1892年，法國精算學會1895年，國際精算協會2006年，中國精算師協會第二章利息理論基礎利息理論要點利息的度量利息問題求解的原則年金收益率分期償還表與償債基金第一節利息的度量第一節漢英名詞對照積累值現實值實質利率單利復利名義利率貼現率利息效力Accumulated valuePresent valueEffective annual rateSimple

5、 interestCompound interestNominal interestDiscount rateForce of interest 一、利息的定義定義：利息產生在資金的所有者和使用者不統一的場合，它的實質是資金的使用者付給資金所有者的租金，用以補償所有者在資金租借期內不能支配該筆資金而蒙受的損失。 影響利息大小的三要素：本金利率時期長度二、利息的度量積累函數金額函數貼現函數第N期利息0t1-K- -1累積函數累積函數是單位本金的累計額，以 表示。 其中， ， 。累積函數a(t)01ta(t)01ta(t)01t 圖2-1 圖2-2 圖2-3a(t)通常為t 的連續函數，在坐標平面

6、上表現為通過（0，1）點的曲線，如圖2-1和圖2-2所示a(t)為增函數時才能保證總額函數的遞增性和存在正的利息。有時，當利息定期結算時，也表現為不連續的階梯函數，在定期內，為常數，定期結算后，上一個臺階，如圖2-3所示。利息度量一計息時刻不同期末計息利率第N期實質利率期初計息貼現率第N期實質貼現率利息率利息率1年內1單位本金的利息就是實際年利息率 以 表示第n個基本計息時間單位的實際利率 現值和貼現率現值和貼現率在復利下，現值和貼現率在單利下，現值和貼現率貼現率：單位貨幣在單位時間內的貼現額，單位時間以年度衡量時，成為實際貼現率。 d表示一年的貼現率: dn表示第n年貼現率: 可見， d6.

7、036%,選擇A。否則選擇B。利息的再投資問題（一）例2.30:某人一次性投資10萬元進基金A。該基金每年年末按7%的年實質利率返還利息，假如利息可按5%實質利率再投資，問10年后這10萬元的積累金額等于多少？01210例2.30的積累過程-利息再投資帳戶基金帳戶例2.31答案利息的再投資問題（二）例2.32（例2.31續）假如此人在10年期內每年年初都投資1萬元進基金A，本金按7%年實質利率計息，而利息可按5%實質利率再投資，那么第10年末該這10萬本金的積累金額又等于多少？01210例2.32的積累過程-基金帳戶利息再投資帳戶基金收益率計算基本符號A=初始資金B=期末資金I=投資期內利息C

8、t= t時期的凈投入（可正可負）C= 在b時刻投資1元，經過a時期的積累，產生的利息幣值加權方法時間加權方法原理時間012-m-1m投資C1C2C3Cm-1金額B0B1B2Bm-1Bm收益率j1j2j3jm-1jm基本公式例2.32某投資基金1月1日，投資100000元5月1日，該筆資金額增加到112000元,并再投資30000元11月1日，該筆資金額降低為125000元，并抽回投資42000元。次年1月1日，該資金總額為100000元。請分別用幣值加權的方法和時間加權的方法計算這一年該投資基金的年收益率。例2.32答案幣值加權和時間加權的比較都是計算單位時期投資收益率的方法幣值加權方法重點考

9、察的是整個初始本金經過一個單位時期綜合投資之后的實際受益率。時間加權方法得到的是在這種市場條件下能達到的理論收益率。它可以作為考察投資正確與否的某個指標。第五節分期支付與償債基金第五節中英文單詞對照分期償還方法分期償還表償債基金償債基金表Amortization methodAmortization scheduleSinking fundSinking fund schedule債務償還方式分期償還：借款人在貸款期內，按一定的時間間隔，分期償還貸款的本金和利息。償債基金：借款人每期向貸款人支付貸款利息，并且按期另存一筆款項，建立一個基金，在貸款期滿時這一基金恰好等于貸款本金，一次償付給貸款者

10、。分期償還常見分期償還類型等額分期償還不等額分期償還遞增分期償還遞減分期償還分期償還五要素時期 每次還款額 每次償還利息每次償還本金未償還貸款余額等額分期償還等額分期償還債務的方法是在規定的還款期內每次償還相等數額的還款方式。每次償還金額為第k 期末的未償還本金余額 貸款本金是B0 ，是Bk,還款期限為n 年，每年末還款，年實際利率為i 等額分期償還表 時期 付款金額 支付利息 償還本金 未償還貸款余額 0 1 R R(1-vn)Rvnk R R(1-vn-k+1) Rvn-k+1 n R R(1-v) Rv0 總計 nR 變額分期償還變額分期償還指每期償還的金額不等的還款方式。 原始貸款金額

11、為B0 ，第k 期償還的金額為Rk （k=1，2，,n）例 2.26一筆金額為nR 元的貸款，年利率為i ，期限為n 年，每年償還R 元本金，其分期償還表如下： 時期 付款金額 支付利息 償還本金 未償還貸款余額 0 nR1 R (1+in)inRR(n-1)Rk R 1+i(n-k+1) i(n-k+1)R R(n-k)R n R (1+i)iR R0 總計 nR +i n(n+1)/2 i n(n+1)/2 nR分期償還表（等額貸款為例）時期每次還款額每次償還利息每次償還本金貸款余額0-11k1n10總計n-例2.33某借款人每月末還款一次，每次等額還款3171.52元，共分15年還清貸款

12、。每年計息12次的年名義利率為5.04%。計算（1）第12次還款中本金部分和利息部分各為多少？（2）若此人在第18次還款后一次性償還剩余貸款，問他需要一次性償還多少錢？前18次共償還了多少利息？例2.33答案償債基金常見償債基金類型等額償債基金不等額償債基金償債基金六要素時期 每期償還利息每次存入償債基金金額每期償債基金所得利息償債基金積累額未償還貸款余額償債基金償債基金的還款方法是借款人在貸款期間分期償還貸款的利息，同時為了能夠在貸款期末一次性償還貸款的本金，定期向一個“基金”供款，使該“基金”在貸款期末的積累值正好等于貸款本金。這一基金稱為償債基金，其基金累計的利率與貸款利率可能相等，也可

13、能不等。等額償債基金等額償債基金方法下借款人每期向償債基金的儲蓄金額相等，設為D ，如果該償債基金每期的利率恒為j，n 為貸款期限，當期支付的利息設為I，則借款人每期支付總金額為：假設償債基金的利率與貸款利率相等，即j =i ，則借款人每期支付總金額為，變額償債基金設原始貸款本金為B0 ，貸款利率為i ，償債基金利率為j ，借款人在第k 期末支付的總金額為Rk （k=1，2，n），則，第k 期末向償債基金的儲蓄額為(Rk iB0)，償債基金在第n 期末的累積值等于原始貸款本金B0 ，即，當i= j時，償債基金表（貸款利率i，償債基金利率j，貸款1元）時期支付貸款利息每期償債基金儲蓄每期償債基金

14、利息償債基金積累值未償還貸款余額0 -1102Kn10償債基金利息本金分析對償債基金而言，第次付款的實際支付利息為：第次付款的實際償還本金為：例2.34A曾借款1萬元,實質利率為10%.A積累一筆實質利率為8%的償債基金一償還這筆貸款.在第10年末償債基金余額為5000元,在第11年末A支付總額為1500元,問1500中又多少是當前支付給貸款的利息?1500中有多少進入償債基金?1500中又多少應被認為是利息?1500中有多少應被視為本金?第11年末的償債基金余額為多少?例2.34答案例2.35(1)一位借款人向貸款人借L元貸款,在10年內以每年年末付款來償還這一實質利率為5%的貸款,其付款方

15、式為:第一年付款200元,第二年付190元,如此遞減至第10年末付110元.求貸款金額L.(2)假如該借款人貸款年限與付款方式與(1)相同,但采用償債基金形式還清貸款.在還款期內該借款人向貸款人每年支付實質利率為6%的利息,并以實質利率為5%的償債基金以償還貸款金額,求貸款金額L.例2.35答案債券價值按利息的支付方式，債券可分為零息債券和附息債券兩種。零息債券在債券到期前不支付利息，而是在債券到期時隨本金一次性支付所累計的利息。附息債券由發行人在到期日前定期支付利息，投資者可定期獲得固定的息票收入。債券定價原理：債券的理論價格就是債券未來息票收入的現值和到期償還值的現值之和。基本符號和概念：

16、P債券的理論價格； i投資者要求的收益率或市場利率；F債券的面值；C債券的償還值；r債券的息票率；rF每期的息票收入；g債券的修正息票率；n息票的償還次數；K償還值按收益率i 計算的現值； G債券的基價，債券價值基本公式：溢價公式：基價公式：Makeham公式：債券的賬面價值整數息票支付周期的債券價格和賬面值第k 期末的賬面值為：任意時點的賬面值第三章生命表函數與生命表構造本章重點生命表函數生存函數剩余壽命死亡效力生命表的構造有關壽命分布的參數模型生命表的起源生命表的構造選擇與終極生命表有關分數年齡的三種假定本章中英文單詞對照死亡年齡生命表剩余壽命整數剩余壽命死亡效力極限年齡選擇與終極生命表A

17、ge-at-deathLife tableTime-until-deathCurtate-future-lifetimeForce of mortalityLimiting ateSelect-and-ultimate tables第一節生命表函數生命表相關定義生命表：反映在封閉人口的條件下，一批人從出生后陸續死亡的全部過程的一種統計表。封閉人口：指所觀察的一批人只有死亡變動，沒有因出生的新增人口和遷入或遷出人口。 生命表基本函數lx：存活到確切整數年齡x歲的人口數，x=0,1,-1。 ndx：在xx+n歲死亡的人數，當n=1時，簡記為dxnqx：x歲的人在xx+n歲死亡的概率，當n=1時，簡

18、記為qx生存分布一、新生兒的生存函數二、x歲余壽的生存函數三、死亡力四、整值平均余壽與中值余壽F(x)：新生兒未來存活時間（新生兒的死亡年齡）為x的分布函數。s(x)：生存函數，它是新生兒活到x歲的概率，以概率表示為xp0。 新生兒在xz歲間死亡的概率，以概率的方式表示為：新生兒的生存函數新生兒的生存函數生命表函數中的存活人數lx 正是生命表基數l0與x歲生存函數之積，lx=l0s(x)而s(x)曲線形狀如下圖所示，x歲余壽的生存函數以（x）表示年齡是x歲的人，（x）的余壽以T(x)表示x歲的人在t時間內存活的概率 tpx 當x=0時，T(0)=X ，正是新生兒未來余壽隨機變量。x歲的人在t時

19、間內死亡的概率tqxx歲余壽的生存函數考慮x歲的人的剩余壽命時，往往知道這個人已經活到了x歲 ，tqx實際是一個條件概率x歲的人在x+tx+t+u的死亡概率 ，以概率的方式表示為： x歲余壽的生存函數整值剩余壽命定義： 未來存活的完整年數，簡記概率函數生存函數定義意義：新生兒能活到 歲的概率。與分布函數的關系：與密度函數的關系：新生兒將在x歲至z歲之間死亡的概率：剩余壽命定義：已經活到x歲的人（簡記(x)），還能繼續存活的時間，稱為剩余壽命，記作T(x)。分布函數 ：剩余壽命剩余壽命的生存函數 ：特別：剩余壽命 ：x歲的人至少能活到x+1歲的概率 ：x歲的人將在1年內去世的概率 ：X歲的人將在

20、x+t歲至x+t+u歲之間去世的概率 生命表基本函數：表示x歲的人存活n年并在第n+1年死亡的概率， 或x歲的人在x+nx+n+1歲死亡的概率。：表示x歲的人在x+nx+n+m歲之間死亡的概率。整值剩余壽命定義： 未來存活的完整年數，簡記概率函數剩余壽命的期望與方差期望剩余壽命： 剩余壽命的期望值(均值),簡記剩余壽命的方差整值剩余壽命的期望與方差期望整值剩余壽命： 整值剩余壽命的期望值(均值),簡記整值剩余壽命的方差生命表基本函數(1)(2)(3)生命表基本函數npx： xx+n歲的存活概率,與nqx相對的一個函數。 當n=1，簡記為px 。生命表基本函數nLx：x歲的人在xx+n生存的人年

21、數。人年數是表示人群存活時間的復合單位，1個人存活了1年是1人年，2個人每人存活半年也是1人年，在死亡均勻分布假設下，xx+n歲的死亡人數ndx平均來說存活了n/2年，而活到lx+n歲的人存活了n年，故當n=1時， ：x歲人群的平均余壽，表明未來平均存活的時間。當x為0時，表示出生時平均余壽，即出生同批人從出生到死亡平均每人存活的年數。 生命表基本函數Tx：x歲的人群未來累積生存人年數。在均勻分布假設下，死亡力定義： 的瞬時死亡率，簡記死亡力與生存函數的關系死亡力實際上生命表x歲平均余壽正是T(x)隨機變量的期望值死亡力死亡力生命表x歲死亡人數dx正是生存人數函數lx+t與死亡力之積在 01上

22、的積分生命表x歲生存人年數Lx正是生存人數函數lx+t在01上的積分生命表x歲累積生存人年數Tx正是生存人數函數lx+t在0上的積分 死亡力對于x歲期望剩余壽命 ，可以證明：死亡效力定義： 的瞬時死亡率，簡記死亡效力與生存函數的關系死亡效力死亡效力與密度函數的關系死亡效力表示剩余壽命的密度函數整值平均余壽與中值余壽 x歲的整值平均余壽是指x歲未來平均存活的整數年數，不包括不滿1年的零數余壽，它是整值余壽隨機變量K(x)的期望值，以ex表示，整值平均余壽與中值余壽 由于，所以 整值平均余壽與中值余壽 由于故，在死亡均勻分布假設下，故，整值平均余壽與中值余壽 中值余壽是(x)的余壽T(x)的中值，

23、（x）在這一年齡之前死亡和之后死亡的概率均等于50 %，以m(x)表示x歲的中值余壽，則即， 非整數年齡存活函數的估計死亡均勻分布假設死亡力恒定假設巴爾杜奇(Balducci) 假設有關非整數年齡的假設 使用背景:生命表提供了整數年齡上的壽命分布,但有時我們需要分數年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個整數生存數據,選擇某種分數年齡的生存分布假定， 估計分數年齡的生存狀況基本原理:插值法常用方法均勻分布假定(線性插值)常數死亡力假定(幾何插值)Balducci假定(調和插值)死亡均勻分布假設假設死亡在整數年齡之間均勻發生，此時存活函數是線性的。死亡均勻分布假設 (0t, 0y,0t+y)

24、當假設死亡力在xx+1上恒定時， (x為整數，0t1)，死亡力恒定假設 由死亡力的定義，死亡力恒定假設若以表示，有此時， 巴爾杜奇(Balducci)假設以意大利精算師巴爾杜奇的名字命名，這一假設是當x為整數，0t1時，生存函數的倒數是t的線性函數，即巴爾杜奇(Balducci)假設 （其中，0t1, 0y1, 0t+y1） 此時，三種假定下的生命表函數函數均勻分布常數死亡力Ballucci第二節生命表的構造生命表的編制一、生命表編制的一般方法二、選擇生命表生命表編制的一般方法 時期生命表(假設同批人生命表)：采用假設同批人方法編制，描述某一時期處于不同年齡人群的死亡水平，反映了假定一批人按這

25、一時期各年齡死亡水平度過一生時的生命過程。 Dx：某年齡x歲的死亡人數； ： x歲的平均人數，即年初x歲人數與年末x歲人數的平均數，有時也用年中人數代替。 x歲的中心死亡率 （分年齡死亡率）為，生命表編制的一般方法 生命表分年齡中心死亡率 ：生命表分年齡死亡人數在分年齡生存人年數中的比例。 生命表編制的一般方法在死亡均勻分布假設下，有，變換后，通常 與 非常接近，實際中常用 近似 選擇生命表選擇生命表構造的原因需要構造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優于很早以前接受體檢的老成員。需要構造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失選擇生命表的使用選擇生命表函數關系有關壽命分布

26、的參數模型 De Moivre模型(1729) Gompertze模型(1825)有關壽命分布的參數模型 Makeham模型(1860)Weibull模型(1939)參數模型的問題至今為止找不到非常合適的壽命分布擬合模型。這四個常用模型的擬合效果不令人滿意。使用這些參數模型推測未來的壽命狀況會產生很大的誤差壽險中通常不使用參數模型擬合壽命分布，而是使用非參數方法確定的生命表擬合人類壽命的分布。在非壽險領域，常用參數模型擬合物體壽命的分布。生命表起源生命表的定義根據已往一定時期內各種年齡的死亡統計資料編制成的由每個年齡死亡率所組成的匯總表.生命表的發展歷史1662年,Jone Graunt,根據

27、倫敦瘟疫時期的洗禮和死亡名單,寫過生命表的自然和政治觀察。這是生命表的最早起源。1693年，Edmund Halley,根據Breslau城出生與下葬統計表對人類死亡程度的估計，在文中第一次使用了生命表的形式給出了人類死亡年齡的分布。人們因而把Halley稱為生命表的創始人。生命表的特點構造原理簡單、數據準確（大樣本場合）、不依賴總體分布假定（非參數方法）生命表的構造原理在大數定理的基礎上，用觀察數據計算各年齡人群的生存概率。（用頻數估計頻率）常用符號新生生命組個體數：年齡：極限年齡：生命表的構造 個新生生命能生存到年齡X的期望個數： 個新生生命中在年齡x與x+n之間死亡的期望個數：特別：n=

28、1時，記作生命表的構造 個新生生命在年齡x至x+t區間共存活年數： 個新生生命中能活到年齡x的個體的剩余壽命總數：生命表實例（美國全體人口生命表）年齡區間死亡比例期初生存數期間死亡數在年齡區間共存活年數剩余壽命總數期初存活者平均剩余壽命天0-1.00463100000463273738775873.881-7.00246995372451635738748574.227-28.00139992921385708738585074.38年0-1.0126010000126098973738775873.881-2.00093987409298694728878573.822-3.00065986

29、486498617719009172.89例2.1：已知 計算下面各值：（1）（2）20歲的人在5055歲死亡的概率。（3）該人群平均壽命。例2.1答案選擇-終極生命表選擇-終極生命表構造的原因需要構造選擇生命表的原因：剛剛接受體檢的新成員的健康狀況會優于很早以前接受體檢的老成員。需要構造終極生命表的原因：選擇效力會隨時間而逐漸消失選擇-終極生命表的使用選擇-終極表實例x選擇表終極表70.0175.0249.0313.0388.0474.05457571.0191.0272.0342.0424.0518.05967672.0209.0297.0374.0463.0566.06527773.02

30、28.0324.0409.0507.0620.07147874.0249.0354.0447.0554.0678.07817975.0273.0387.0489.0607.0742.08558076.0298.0424.0535.0664.0812.09368177.0326.0464.0586.0727.0889.102482第三節有關分數年齡的假設 有關分數年齡的假設 使用背景:生命表提供了整數年齡上的壽命分布,但有時我們需要分數年齡上的生存狀況,于是我們通常依靠相鄰兩個整數生存數據,選擇某種分數年齡的生存分布假定， 估計分數年齡的生存狀況基本原理:插值法常用方法均勻分布假定(線性插值)常

31、數死亡力假定(幾何插值)Balducci假定(調和插值)三種假定均勻分布假定(線性插值)常數死亡力假定(幾何插值)Balducci假定(調和插值)三種假定下的生命表函數函數均勻分布常數死亡力Ballucci例2.2：已知 分別在三種分數年齡假定下，計算下面各值：例2.2答案例2.2答案例2.2答案第三章人壽保險躉繳純保費的厘定本章結構人壽保險躉繳純保費厘定原理死亡即刻賠付保險躉繳純保費的厘定死亡年末賠付保險躉繳純保費的厘定遞歸方程計算基數第三章中英文單詞對照一躉繳純保費精算現時值死亡即刻賠付保險死亡年末給付保險定額受益保險Net single premiumActuarial present

32、valueInsurances payable at the moment of death Insurances payable at the end of the year of deathLevel benefit insurance第三章中英文單詞對照二定期人壽保險終身人壽保險兩全保險生存保險延期保險變額受益保險Term life insuranceWhole life insuranceEndowment insurancePure endowment insuranceDeferred insuranceVarying benefit insurance第一節人壽保險躉繳純保費厘定

33、的原理 人壽保險簡介什么是人壽保險狹義的人壽保險是以被保險人在保障期是否死亡作為保險標的的一種保險。 廣義的人壽保險是以被保險人的壽命作為保險標的的一種保險。它包括以保障期內被保險人死亡為標的的狹義壽險，也包括以保障期內被保險人生存為標底的生存保險和兩全保險。人壽保險的分類受益金額是否恒定定額受益保險 變額受益保險保單簽約日和保障期期始日是否同時進行非延期保險延期保險 保障標的的不同人壽保險（狹義）生存保險兩全保險 保障期是否有限 定期壽險 終身壽險人壽保險的性質保障的長期性這使得從投保到賠付期間的投資受益（利息）成為不容忽視的因素。保險賠付金額和賠付時間的不確定性人壽保險的賠付金額和賠付時間

34、依賴于被保險人的生命狀況。被保險人的死亡時間是一個隨機變量。這就意味著保險公司的賠付額也是一個隨機變量，它依賴于被保險人剩余壽命分布。被保障人群的大數性這就意味著，保險公司可以依靠概率統計的原理計算出平均賠付并可預測將來的風險。躉繳純保費的厘定假定條件:假定一：同性別、同年齡、同時參保的被保險人的剩余壽命是獨立同分布的。假定二：被保險人的剩余壽命分布可以用經驗生命表進行擬合。假定三：保險公司可以預測將來的投資受益（即預定利率）。純保費厘定原理原則保費凈均衡原則解釋所謂凈均衡原則，即保費收入的期望現時值正好等于將來的保險賠付金的期望現時值。它的實質是在統計意義上的收支平衡。是在大數場合下，收費期

35、望現時值等于支出期望現時值 基本符號 投保年齡 的人。 人的極限年齡 保險金給付函數。 貼現函數。 保險給付金在保單生效時的現時值躉繳純保費的厘定躉繳純保費的定義在保單生效日一次性支付將來保險賠付金的期望現時值 躉繳純保費的厘定按照凈均衡原則，躉繳純保費就等于第二節死亡即刻賠付躉繳純保費的厘定死亡即刻賠付死亡即刻賠付的含義死亡即刻賠付就是指如果被保險人在保障期內發生保險責任范圍內的死亡 ，保險公司將在死亡事件發生之后，立刻給予保險賠付。它是在實際應用場合，保險公司通常采用的理賠方式。由于死亡可能發生在被保險人投保之后的任意時刻，所以死亡即刻賠付時刻是一個連續隨機變量，它距保單生效日的時期長度就

36、等于被保險人簽約時的剩余壽命。主要險種的躉繳純保費的厘定n年期定期壽險終身壽險延期m年的終身壽險n年期生存保險n年期兩全保險延期m年的n年期的兩全保險遞增終身壽險遞減n年定期壽險1、n年定期壽險定義保險人只對被保險人在投保后的n年內發生的保險責任范圍內的死亡給付保險金的險種，又稱為n年死亡保險。假定： 歲的人，保額1元n年定期壽險基本函數關系躉繳純保費的厘定符號：厘定：現值隨機變量的方差方差公式記（相當于利息力翻倍以后求n年期壽險的躉繳保費）所以方差等價為 例3.1設計算例3.1答案2、終身壽險定義保險人對被保險人在投保后任何時刻發生的保險責任范圍內的死亡均給付保險金的險種。假定： 歲的人，保

37、額1元終身壽險基本函數關系躉繳純保費的厘定符號：厘定：現值隨機變量的方差 方差公式記所以方差等價為 例3.2設(x)投保終身壽險，保險金額為1元保險金在死亡即刻賠付簽單時，(x)的剩余壽命的密度函數為計算例3.2答案例3.2答案3、延期終身壽險定義保險人對被保險人在投保m年后發生的保險責任范圍內的死亡均給付保險金的險種。假定： 歲的人，保額1元，延期m年的終身壽險基本函數關系死亡即付定期壽險躉繳純保費的厘定符號：厘定：現值隨機變量的方差 方差公式記所以方差等價于例3.3假設（x）投保延期10年的終身壽險，保額1元。保險金在死亡即刻賠付。已知求：例3.3答案4、n 年定期生存保險定義被保險人投保

38、后生存至n年期滿時，保險人在第n年末支付保險金的保險。假定： 歲的人，保額1元，n年定期生存保險基本函數關系躉繳純保費的厘定符號：躉繳純保費厘定現值隨機變量的方差：5、n年定期兩全保險定義被保險人投保后如果在n年期內發生保險責任范圍內的死亡，保險人即刻給付保險金；如果被保險人生存至n年期滿，保險人在第n年末支付保險金的保險。它等價于n年生存保險加上n年定期壽險的組合。假定： 歲的人，保額1元，n年定期兩全保險基本函數關系躉繳純保費的厘定符號：厘定記：n年定期壽險現值隨機變量為 n年定期生存險現值隨機變量為 n年定期兩全險現值隨機變量為 已知則現值隨機變量方差因為所以例3.4（例3.1續）設計算

39、例3.4答案6、延期m年n年定期兩全保險定義被保險人在投保后的前m年內的死亡不獲賠償，從第m+1年開始為期n年的定期兩全保險假定： 歲的人，保額1元，延期m年的n年定期兩全保險基本函數關系躉繳純保費的厘定符號：厘定現值隨機變量的方差記： m年延期n年定期壽險現值隨機變量為 m年延期n年定期生存險現值隨機變量為 m年延期n年定期兩全險現值隨機變量為 已知則7、遞增終身壽險定義：遞增終身壽險是變額受益保險的一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞增函數特別：一年遞增一次一年遞增m次一年遞增無窮次（連續遞增）一年遞增一次現值隨機變量躉繳保費厘定一年遞增m次現值隨機變量躉繳保費厘定一年遞增無窮次（

40、連續遞增）現值隨機變量躉繳保費厘定8、遞減定期壽險定義：遞減定期壽險是變額受益保險的另一種特殊情況。假定受益金額為剩余壽命的線性遞減函數特別：一年遞增一次一年遞增m次一年遞增無窮次（連續遞增）一年遞減一次現值隨機變量躉繳保費厘定一年遞減m次現值隨機變量躉繳保費厘定一年遞減無窮次（連續遞減）現值隨機變量躉繳保費厘定第三節死亡年末賠付躉繳純保費的厘定死亡年末賠付死亡年末賠付的含義 死亡年末陪付是指如果被保險人在保障期內發生保險責任范圍內的死亡 ，保險公司將在死亡事件發生的當年年末給予保險賠付。由于賠付時刻都發生在死亡事件發生的當年年末，所以死亡年末陪付時刻是一個離散隨機變量，它距保單生效日的時期長

41、度就等于被保險人簽約時的整值剩余壽命加一。這正好可以使用以整值年齡為刻度的生命表所提供的生命表函數。所以死亡年末賠付方式是保險精算師在厘定躉繳保費時通常先假定的理賠方式。 基本符號 歲投保的人整值剩余壽命 保險金在死亡年末給付函數 貼現函數。 保險賠付金在簽單時的現時值。 躉繳純保費。定期壽險死亡年末賠付場合基本函數關系記k為被保險人整值剩余壽命，則躉繳純保費的厘定符號：厘定：現值隨機變量的方差公式記等價方差為死亡年末給付躉繳純保費公式歸納終身壽險延期m年的n年定期壽險延期m年的終身壽險n年期兩全保險延期m年的n年期兩全保險遞增終身壽險遞減n年定期壽險例3.5（x）歲的人投保5年期的定期壽險，

42、保險金額為1萬元，保險金死亡年末給付，按附錄2示例生命表計算（1）20歲的人按實質利率為2.5%計算的躉繳純保費。（2）60歲的人按實質利率為2.5%計算的躉繳純保費。（3）20歲的人按實質利率為6%計算的躉繳純保費。（4）60歲的人按實質利率為6%計算的躉繳純保費。例3.5答案死亡即刻賠付與死亡年末賠付的關系（剩余壽命在分數時期均勻分布假定） 以終身壽險為例，有剩余壽命等于整值剩余壽命加死亡之年分數生存壽命：則有 死亡年末給付與死亡即刻給付躉繳純保費之間的關系(UDD)在滿足如下兩個條件的情況下，死亡即刻賠付凈躉繳純保費是死亡年末賠付凈躉繳純保費的 倍。條件1：條件2： 只依賴于剩余壽命的整

43、數部分，即 例3.6（x）歲的人投保5年期的兩全保險，保險金額為1萬元，保險金死亡即刻給付，按附錄2示例生命表計算（1）20歲的人按實質利率為2.5%計算的躉繳純保費。（2）60歲的人按實質利率為2.5%計算的躉繳純保費。（3）20歲的人按實質利率為6%計算的躉繳純保費。（4）60歲的人按實質利率為6%計算的躉繳純保費。例3.6答案例3.7對（50）歲的男性第一年死亡即刻給付5000元，第二年死亡即刻給付4000元，以此按年遞減5年期人壽保險，根據附錄2生命表，以及死亡均勻分布假定，按年實質利率6%計算躉繳純保費。例3.7答案第四節遞歸公式躉繳純保費遞推公式公式一：理解(x)的單位金額終身壽險

44、在第一年末的價值等于(x)在第一年死亡的情況下1單位的賠付額,或生存滿一年的情況下凈躉繳保費 。 躉繳純保費遞推公式公式二：解釋： 個x歲的被保險人所繳的躉繳保費之和經過一年的積累，當年年末可為所有的被保險人提供次年的凈躉繳保費 ，還可以為所有在當年去世的被保險人提供額外的 。 躉繳純保費遞推公式公式三：解釋：年齡為x的被保險人在活到x+1歲時的凈躉繳保費與當初歲時的凈躉繳保費之差等于保費的一年利息減去提供一年的保險成本。 躉繳純保費遞推公式公式四：解釋(y)的躉繳純保費等于其未來所有年份的保險成本的現時值之和。 第五節計算基數常用計算基數計算基數引進的目的：簡化計算常用基數：用計算基數表示常

45、見險種的躉繳純保費例3.8考慮第1年死亡即刻賠付10000，第2年死亡即刻賠付9000元并以此類推遞減人壽保險。按附錄2生命表及i=0.06計算（30）的人躉繳純保費。（1）保障期至第10年底（2）保障期至第5年底例3.8答案第四章生存年金本章結構生存年金簡介與生存相聯的一次性支付連續生存年金離散生存年金年h次支付生存年金等額年金的計算基數公式第四章中英文單詞對照生存年金初付年金延付年金確定性年金當期支付技巧綜合支付技巧Life annuityAnnuities-dueAnnuities-immediateAnnuities-certainCurrent payment techniqueAg

46、gregate payment technique第一節生存年金簡介生存年金生存年金的定義：以被保險人存活為條件，間隔相等的時期（年、半年、季、月）支付一次保險金的保險類型分類初付年金/延付年金連續年金/離散年金定期年金/終身年金非延期年金/延期年金生存年金與確定性年金的關系確定性年金支付期數確定的年金（利息理論中所講的年金）生存年金與確定性年金的聯系都是間隔一段時間支付一次的系列付款生存年金與確定性年金的區別確定性年金的支付期數確定生存年金的支付期數不確定（以被保險人生存為條件）生存年金的用途被保險人保費交付常使用生存年金的方式某些場合保險人保險理賠的保險金采用生存年金的方式，特別在：養老保

47、險傷殘保險撫恤保險失業保險 第二節與生存相關聯的一次性支付定義現齡x歲的人在投保n年后仍然存活，可以在第n年末獲得生存賠付的保險。也就是我們在第三章講到的n年期純生存保險。單位元數的n年期生存保險的躉繳純保費為在生存年金研究中習慣用 表示該保險的精算現值例4.1計算25歲的男性購買40年定期生存險的躉繳純保費。已知假定i6假定i2.5相關公式及意義 年齡xx+tx+n現時值11S1第三節連續生存保險簡介連續生存年金的定義在保障時期那，以被保險人存活為條件，連續支付年金的保險連續生存年金的種類終身連續生存年金/定期連續生存年金連續生存年金精算現值的估計方法綜合支付技巧：考慮年金在死亡或到期而結束

48、時的總值當期支付技巧：考慮未來連續支付的現時值之和終身連續生存年金精算現值的估計一綜合支付技巧步驟一：計算到死亡發生時間T為止的所有已支付的年金的現值之和步驟二：計算這個年金現值關于時間積分所得的年金期望值，即終身連續生存年金精算現值，相關公式終身連續生存年金精算現值的估計二當期支付技巧步驟一：計算時間T所支付的當期年金的現值步驟二：計算該當期年金現值按照可能支付的時間積分，得到期望年金現值例4.2在死亡力為常數0.04，利息力為常數0.06的假定下，求（1）（2） 的標準差（3） 超過 的概率。例4.2答案綜合支付技巧當期支付技巧例4.2答案例4.2答案例4.3在De Moivre假定下，計

49、算：終身連續生存年金精算現值及方差例4.3答案例4.3答案定期連續生存年金精算現值估計綜合支付技巧當期支付技巧相關公式及理解例4.4（例4.3續）在De Moivre假定下，計算：30年定期生存年金精算現值及方差例4. 4答案延期連續生存年金定義:種類延付m年終身連續生存年金延付m年定期連續生存年金常用領域養老金險種延期m年終身生存年金延期m年n年定期生存年金精算現值估計延期連續年金精算現值例4.5（例4.3,4.4續）在De Moivre假定下，計算：30年定期生存年金精算現值及方差例4. 5答案第四節離散生存年金簡介離散生存年金定義：在保障時期內，以被保險人生存為條件，每隔一段時期支付一次

50、年金的保險。 離散生存年金與連續生存年金的關系計算精算現值時理論基礎完全相同連續積分離散求和連續場合不存在初付延付問題，離散場合初付、延付要分別考慮離散生存年金的分類期初年金/期末年金終身年金/定期年金延期年金/非延期年金初付終身生存年金當期支付技巧綜合支付技巧相關公式例4.6已知假定91歲存活給付5，92歲存活給付10，求： 9091929310072390283339例4.6答案思考題：本題可以用 做嗎？初付定期生存年金當期支付技巧綜合支付技巧相關公式延期初付生存年金險種延期m年初付終身生存年金延期m年初付n年定期生存年金精算現值延付生存年金初付生存年金與延付生存年金的關系常見險種的延付生

51、存年金 險種延付年金精算現值終身生存年金n年定期生存年金m年延期終身生存年金m年延期n年定期生存年金第五節年付h次的生存年金簡介分類終身年金與定期年金期初付年金與期末付年金延期年金與非延期年金推導思路尋找與年付年金之間的關系終身生存年金（初付）基本公式UDD假定下的公式近似公式（實際操作公式）定期生存年金基本定義UDD假定下的推導公式近似公式（實際操作公式）延期生存年金延期終身生存年金（UDD假定）定期終身生存年金 （UDD假定）第六節等額年金計算基數公式等額年金計算基數公式 險種初付延付終身生存年金定期生存年金延期終身生存年金延期定期生存年金第五章凈均衡保費與毛保費第一節保費簡介保費的構成保

52、費的分類按保費繳納的方式分：一次性繳納：躉繳（純/毛）保費以年金的方式繳納：期繳（純/毛）保費按保險的種類分：只覆蓋死亡的保險：純壽險保費只覆蓋生存的保險：生存險保費既覆蓋死亡又覆蓋生存的保險：兩全險保費 常見險種的躉繳純保費純壽險躉繳純保費（死亡受益死亡即刻支付）生存險躉繳純保費（一次性生存受益期末支付，生存年金受益期初支付）兩全保險躉繳純保費（死亡受益死亡即刻支付，生存受益期末支付）第二節凈均衡保費凈均衡保費與躉繳純保費的關系純保費厘定原則平衡原則：保險人的潛在虧損均值為零。L=給付金現值-純保費現值E（L）=0E（給付金現值）=E（純保費現值）凈均衡保費與躉繳純保費的關系E（躉繳純保費現

53、值）=E（凈均衡保費現值）凈均衡保費的種類完全連續凈均衡保費死亡即刻給付連續繳費完全離散凈均衡保費死亡年末給付離散繳費半連續凈均衡保費死亡即刻給付離散繳費完全連續年繳凈均衡保費的厘定（以終身人壽保險為例）條件：（x）死亡即刻給付1單位的終身人壽保險，被保險人從保單生效起按年連續交付保費。（給付連續，繳費也連續）厘定過程：常見險種的完全連續凈均衡保費總結險種保費公式終身人壽保險n年定期壽險n年兩全保險h年繳費終身人壽保險h年繳費n年兩全保險n年生存保險m年遞延終身生存保險例5.1已知利息力為0.06，死亡力為0.04，求例5.1答案完全離散純凈均衡保費厘定（終身壽險為例）條件：（x）死亡年末給付

54、1單位終身人壽保險，被保險人從保單生效起按年期初繳費。厘定過程：常見險種的完全離散凈均衡保費總結險種保費公式終身人壽保險n年定期壽險n年兩全保險h年繳費終身人壽保險h年繳費n年兩全保險n年生存保險m年遞延終身生存保險例5.2設一個0歲生命的整值剩余壽命服從概率函數為在其死亡年末賠付1單位的保單，每年年初繳付保費P。當保費按平衡原理決定時，計算保險人虧損現值的期望值與方差（i=6%）。例5.2答案半連續凈均衡年保費厘定（終身壽險為例）條件（x）死亡即刻給付1單位賠償金，而被保險人從保單生效起按年期初繳費。厘定過程：常見險種的半連續凈均衡保費總結險種保費公式終身人壽保險n年定期壽險n年兩全保險h年

55、繳費終身人壽保險h年繳費n年兩全保險n年生存保險m年遞延終身生存保險例5.3根據附錄示例生命表及利率6%計算例5.3答案每年繳納數次的純保費厘定條件：在每一保單年度內，保費分m次繳納。厘定過程：（終身壽險為例）例5.4對于（50）的人死亡年末給付1萬元的20年期兩全保險。計算按半年分期繳費的凈均衡年保費，年利率6%。決定相應的死亡即刻給付的凈均衡年保費。例5.4答案例5.4答案第三節毛保費保險費用簡介保險費用的定義保險公司支出的除了保險責任范圍內的保險金給付外，其它的維持保險公司正常運作的所有費用支出統稱為經營費用。這些費用必須由保費和投資收益來彌補。保險費用的范圍：稅金、許可證、保險產品生產

56、費用、保單銷售服務費用、合同成立后的維持費、投資費用等保險機構費用開支的一種分類方案費用分類成分投資費用（1）投資分析成本（2）購買、銷售及服務成本保險費用1、新契約費（1）銷售費用，包括代理人傭金及宣傳廣告費（2）風險分類，包括體檢費用（3）準備新保單及記錄2、維持費（1）保費收取及會計（2）給付變更及理陪選擇權準備（3）與保單持有人進行聯絡3、營業費用（1）研究、開發新險種費用（2）精算及一般法律服務（3）普通會計（4）稅金、許可證等費用4、理賠費用（1）理陪調查和辯護費（2）各種給付的費用毛保費毛保費的定義保險公司實際收取的保費為用于保險金給付的純保費和用語各種經營費用開支的附加費用之和

57、，即毛保費，簡記為G。毛保費的厘定原則基本原則：精算等價原則毛保費精算現值=純保費精算現值+附加費用精算現值 =各種給付的精算現值+各種費用支出的 精算現值注意事項在確定附加費用時，一般只考慮保險費用，而以投資費用沖銷投資收益，體現在保費計算中則適當降低預定收益率，即預定利率。附加費用中要考慮通貨膨脹或通貨緊縮的趨勢。例5.5（30）購買了保險金額為2萬元的半連續型終身壽險保單，按下表所列各項費用，根據精算等價原理計算年繳純保費和年繳毛保費。（i=6%）未來保險費用的分配第一年續年分類每份每千元保費百分比（%）每份每千元保費百分比（%）2-9年10-15年16年以上1、新契約費（1）銷售費用

58、傭金-50-553 銷售事務-25-2.51.51 其它12.54-（2）分類180.5-（3）發行與記錄4-2、維持費20.25-20.25-3、營業費用（1）（2）（3）40.25-40.25-（4）稅金-3-222小計40.557860.59.58.564、給付費用每份保單18元加上千元報恩0.1元例5.5答案毛保費的精算現值=理賠費用精算現值+其它各種費用精算現值記G為所求年繳毛保費例5.6對（25）購買的保險金額為10萬元的40年兩全保險保單，該保單的第一年費用為100元加上毛保費的25%，續年的費用為25元加上毛保費的10%。發生死亡給付時的理賠費用為100元，生存給付時不發生理賠

59、費用。求凈均衡年繳保費和毛保費。已知例5.6答案保單費用定義：有一部分附加費用只與保單數目有關，與保險金額或保險費無關，這部分費用稱為保單費用，如準備新保單、建立會計記錄、郵寄保費通知的費用等。保險實務一般規定：壽險費率一般是指每千元保額的保費。毛保費分析毛保費可分為三部分：第一部分：跟保險金額有關的費用，如承保費用等第二部分：跟保費數額有關的費用。如代理人傭金、保險費稅金等第三部分：只與保單數目有關的費用（保單費用）。如準備新保單、建立會計記錄、郵寄保費通知單等。毛保費構成公式解釋G(b)：保險金額為b元的毛保費a：保險成本中與保險金額相關的部分，其中純保費是它的主要部分c：每份保單分攤的費

60、用，即單位保單費用。f：與毛保費數額相關的費用在毛保費中所占比例。費率函數費率函數的定義 ：近似費率公式如果 ，近似總保費等于真實總保費。如果 ，近似總保費高于真實總保費。如果 ，近似總保費低于真實總保費。 帶狀費率公式根據保險面額不同，分成若干“bands”(區間帶)如果 ，近似總保費等于真實總保費。如果 ，近似總保費高于真實總保費。如果 ，近似總保費低于真實總保費。 第六章責任準備金本章結構凈責任準備金（受益責任準備金）凈責任準備金的定義凈責任準備金確定原理用前瞻法確定常見險種的凈責任準備金凈責任準備金的其他確定公式完全離散場合責任準備金的遞推公式半連續責任準備金的確定一年繳費若干次責任準