1、WORD18/18二次函數與四邊形一二次函數與四邊形的形狀A例1.(義烏市) 如圖，拋物線與x軸交A、B兩點（A點在B點左側），直線與拋物線交于A、C兩點，其中C點的橫坐標為2（1）求A、B 兩點的坐標與直線AC的函數表達式；（2）P是線段AC上的一個動點，過P點作y軸的平行線交拋物線于E點，求線段PE長度的最大值；（3）點G是拋物線上的動點，在x軸上是否存在點F，使A、C、F、G這樣的四個點為頂點的四邊形是平行四邊形？如果存在，求出所有滿足條件的F點坐標；如果不存在，請說明理由B(0,4)A(6,0)EFO練習1.(省實驗區) 23如圖，對稱軸為直線的拋物線經過點A（6，0）和 B（0，4）

2、（1）求拋物線解析式與頂點坐標；（2）設點E（，）是拋物線上一動點，且位于第四象限，四邊形OEAF是以OA為對角線的平行四邊形求平行四邊形OEAF的面積S與之間的函數關系式，并寫出自變量的取值圍；當平行四邊形OEAF的面積為24時，請判斷平行四邊形OEAF是否為菱形？是否存在點E，使平行四邊形OEAF為正方形？若存在，求出點E的坐標；若不存在，請說明理由練習2.（省德陽市）25.如圖，已知與軸交于點和的拋物線的頂點為，拋物線與關于軸對稱，頂點為（1）求拋物線的函數關系式；（2）已知原點，定點，上的點與上的點始終關于軸對稱，則當點運動到何處時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形？（3）在上是否存在點

3、，使是以為斜邊且一個角為的直角三角形？若存，求出點的坐標；若不存在，說明理由1234554321練習3.（卷）如圖，已知拋物線與坐標軸的交點依次是，（1）求拋物線關于原點對稱的拋物線的解析式；（2）設拋物線的頂點為，拋物線與軸分別交于兩點（點在點的左側），頂點為，四邊形的面積為若點，點同時以每秒1個單位的速度沿水平方向分別向右、向左運動；與此同時，點，點同時以每秒2個單位的速度沿堅直方向分別向下、向上運動，直到點與點重合為止求出四邊形的面積與運動時間之間的關系式，并寫出自變量的取值圍；（3）當為何值時，四邊形的面積有最大值，并求出此最大值；（4）在運動過程中，四邊形能否形成矩形？若能，求出此時

4、的值；若不能，請說明理由二二次函數與四邊形的面積例1.（資陽市）25.如圖10，已知拋物線P：y=ax2+bx+c(a0) 與x軸交于A、B兩點(點A在x軸的正半軸上)，與y軸交于點C，矩形DEFG的一條邊DE在線段AB上，頂點F、G分別在線段BC、AC上，拋物線P上部分點的橫坐標對應的縱坐標如下：x-3-212y-4-0圖10(1) 求A、B、C三點的坐標；(2) 若點D的坐標為(m，0)，矩形DEFG的面積為S，求S與m的函數關系，并指出m的取值圍；(3) 當矩形DEFG的面積S取最大值時，連接DF并延長至點M，使FM=kDF，若點M不在拋物線P上，求k的取值圍.練習1.（省十二市2007

5、年第26題）如圖，平面直角坐標系中有一直角梯形OMNH，點H的坐標為（8，0），點N的坐標為（6，4）（1）畫出直角梯形OMNH繞點O旋轉180的圖形OABC，并寫出頂點A，B，C的坐標（點M的對應點為A， 點N的對應點為B， 點H的對應點為C）；（2）求出過A，B，C三點的拋物線的表達式； （3）截取CE=OF=AG=m，且E，F，G分別在線段CO，OA，AB上，求四邊形BEFG的面積S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值圍；面積S是否存在最小值?若存在，請求出這個最小值；若不存在，請說明理由；（4）在（3）的情況下，四邊形BEFG是否存在鄰邊相等的情況，若存在，請直接寫出此時m的值，

6、并指出相等的鄰邊；若不存在，說明理由練習3.（課改卷）如圖，正方形的邊長為，在對稱中心處有一釘子動點，同時從點出發，點沿方向以每秒的速度運動，到點停止，點沿方向以每秒的速度運動，到點停止，兩點用一條可伸縮的細橡皮筋聯結，設秒后橡皮筋掃過的面積為BCPODQABPCODQA（1）當時，求與之間的函數關系式；（2）當橡皮筋剛好觸與釘子時，求值；（3）當時，求與之間的函數關系式，并寫出橡皮筋從觸與釘子到運動停止時的變化圍；（4）當時，請在給出的直角坐標系中畫出與之間的函數圖象練習4.（資陽卷）如圖，已知拋物線l1：y=x2-4的圖象與x軸相交于A、C兩點，B是拋物線l1上的動點(B不與A、C重合)，

7、拋物線l2與l1關于x軸對稱，以AC為對角線的平行四邊形ABCD的第四個頂點為D.(1) 求l2的解析式；(2) 求證：點D一定在l2上；(3) ABCD能否為矩形？如果能為矩形，求這些矩形公共部分的面積(若只有一個矩形符合條件，則求此矩形的面積)；如果不能為矩形，請說明理由. 注：計算結果不取近似值.三二次函數與四邊形的動態探究例1.(市)28. 如圖1，在平面直角坐標系中，有一矩形紙片OABC，已知O(0，0)，A(4，0)，C(0，3)，點P是OA邊上的動點(與點O、A不重合)現將PAB沿PB翻折，得到PDB；再在OC邊上選取適當的點E，將POE沿PE翻折，得到PFE，并使直線PD、PF

8、重合(1)設P(x，0)，E(0，y)，求y關于x的函數關系式，并求y的最大值；(2)如圖2，若翻折后點D落在BC邊上，求過點P、B、E的拋物線的函數關系式；(3)在(2)的情況下，在該拋物線上是否存在點Q，使PEQ是以PE為直角邊的直角三角形？若不存在，說明理由；若存在，求出點Q的坐標圖1圖2例2.（2010年市第26題）、已知拋物線yax2bxc與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，其中點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，線段OB、OC的長（OBOC）是方程x210 x160的兩個根，且拋物線的對稱軸是直線x2（1）求A、B、C三點的坐標；（2）求此拋物線的表達式；（3）連接AC、

9、BC，若點E是線段AB上的一個動點（與點A、點B不重合），過點E作EFAC交BC于點F，連接CE，設AE的長為m，CEF的面積為S，求S與m之間的函數關系式，并寫出自變量m的取值圍；（4）在（3）的基礎上試說明S是否存在最大值，若存在，請求出S的最大值，并求出此時點E的坐標，判斷此時BCE的形狀；若不存在，請說明理由例3.(省) 27如圖，矩形ABCD中，AB3，BC4，將矩形ABCD沿對角線A平移，平移后的矩形為EFGH（A、E、C、G始終在同一條直線上），當點E與C重時停止移動平移中EF與BC交于點N，GH與BC的延長線交于點M，EH與DC交于點P，FG與DC的延長線交于點Q設S表示矩形P

10、CMH的面積，表示矩形NFQC的面積（1） S與相等嗎？請說明理由（2）設AEx，寫出S和x之間的函數關系式，并求出x取何值時S有最大值，最大值是多少？（3）如圖11，連結BE，當AE為何值時，是等腰三角形 圖11圖10練習1.（07年市）如圖12，四邊形OABC為直角梯形，A（4，0），B（3，4），C（0，4）點從出發以每秒2個單位長度的速度向運動；點從同時出發，以每秒1個單位長度的速度向運動其中一個動點到達終點時，另一個動點也隨之停止運動過點作垂直軸于點，連結AC交NP于Q，連結MQ圖12（1）點（填M或N）能到達終點；（2）求AQM的面積S與運動時間t的函數關系式，并寫出自變量t的取值

11、圍，當t為何值時，S的值最大；（3）是否存在點M，使得AQM為直角三角形？若存在，求出點M的坐標，若不存在，說明理由練習2.(省) 25實驗與探究（1）在圖1，2，3中，給出平行四邊形的頂點的坐標（如圖所示），寫出圖1，2，3中的頂點的坐標，它們分別是，；圖1圖2圖3（2）在圖4中，給出平行四邊形的頂點的坐標（如圖所示），求出頂點的坐標（點坐標用含的代數式表示）；圖4歸納與發現（3）通過對圖1，2，3，4的觀察和頂點的坐標的探究，你會發現：無論平行四邊形處于直角坐標系中哪個位置，當其頂點坐標為（如圖4）時，則四個頂點的橫坐標之間的等量關系為；縱坐標之間的等量關系為（不必證明）；運用與推廣（4）

12、在同一直角坐標系中有拋物線和三個點，（其中）問當為何值時，該拋物線上存在點，使得以為頂點的四邊形是平行四邊形？并求出所有符合條件的點坐標答案：一二次函數與四邊形的形狀例1.解：（1）令y=0，解得或A（-1，0）B（3，0）；將C點的橫坐標x=2代入得y=-3，C（2，-3）直線AC的函數解析式是y=-x-1 （2）設P點的橫坐標為x（-1x2）則P、E的坐標分別為：P（x，-x-1）， E（P點在E點的上方，PE=當時，PE的最大值=（3）存在4個這樣的點F，分別是B(0,4)A(6,0)EFO練習1.解：（1）由拋物線的對稱軸是，可設解析式為把A、B兩點坐標代入上式，得 解之，得故拋物線解

13、析式為，頂點為（2）點在拋物線上，位于第四象限，且坐標適合，y0,y表示點E到OA的距離OA是的對角線，因為拋物線與軸的兩個交點是（1，0）的（6，0），所以，自變量的取值圍是16根據題意，當S = 24時，即化簡，得 解之，得故所求的點E有兩個，分別為E1（3，4），E2（4，4）點E1（3，4）滿足OE = AE，所以是菱形；點E2（4，4）不滿足OE = AE，所以不是菱形當OAEF，且OA = EF時，是正方形，此時點E的1234554321坐標只能是（3，3） 而坐標為（3，3）的點不在拋物線上，故不存在這樣的點E，使為正方形練習2.解：（1）由題意知點的坐標為設的函數關系式為又點在

14、拋物線上，解得拋物線的函數關系式為（或）（2）與始終關于軸對稱， 與軸平行設點的橫坐標為，則其縱坐標為，即當時，解得當時，解得當點運動到或或或時，以點為頂點的四邊形是平行四邊形（3）滿足條件的點不存在理由如下：若存在滿足條件的點在上，則123554321，（或），過點作于點，可得，點的坐標為但是，當時，不存在這樣的點構成滿足條件的直角三角形練習3. 解 （1）點，點，點關于原點的對稱點分別為， 設拋物線的解析式是，則解得所以所求拋物線的解析式是 （2）由（1）可計算得點 過點作，垂足為當運動到時刻時， 根據中心對稱的性質，所以四邊形是平行四邊形所以所以，四邊形的面積 因為運動至點與點重合為止，

15、據題意可知所以，所求關系式是，的取值圍是 （3），（）所以時，有最大值 提示：也可用頂點坐標公式來求（4）在運動過程中四邊形能形成矩形 由（2）知四邊形是平行四邊形，對角線是，所以當時四邊形是矩形所以所以 所以解之得（舍）所以在運動過程中四邊形可以形成矩形，此時 點評本題以二次函數為背景，結合動態問題、存在性問題、最值問題，是一道較傳統的壓軸題，能力要求較高。二二次函數與四邊形的面積例1. 解：（1）解法一：設，任取x,y的三組值代入，求出解析式，令y=0，求出；令x=0，得y=-4，A、B、C三點的坐標分別是A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4) . 解法二：由拋物線P過點(1，-)，

16、(-3，)可知，拋物線P的對稱軸方程為x=-1，又 拋物線P過(2，0)、(-2，-4)，則由拋物線的對稱性可知，點A、B、C的坐標分別為 A(2，0)，B(-4，0)，C(0，-4).（2）由題意，而AO=2，OC=4，AD=2-m，故DG=4-2m，又，EF=DG，得BE=4-2m， DE=3m，=DGDE=(4-2m) 3m=12m-6m2 (0m2).注：也可通過解RtBOC與RtAOC，或依據BOC是等腰直角三角形建立關系求解.(3)SDEFG=12m-6m2 (0m2)，m=1時，矩形的面積最大，且最大面積是6 .當矩形面積最大時，其頂點為D(1，0)，G(1，-2)，F(-2，-

17、2)，E(-2，0)，設直線DF的解析式為y=kx+b，易知，k=，b=-，又可求得拋物線P的解析式為：，令=，可求出. 設射線DF與拋物線P相交于點N，則N的橫坐標為，過N作x軸的垂線交x軸于H，有=，點M不在拋物線P上，即點M不與N重合時，此時k的取值圍是k且k0.說明：若以上兩條件錯漏一個，本步不得分.若選擇另一問題：(2)，而AD=1，AO=2，OC=4，則DG=2，又， 而AB=6，CP=2，OC=4，則FG=3，=DGFG=6.練習1.解：利用中心對稱性質，畫出梯形OABC 1分A，B，C三點與M，N，H分別關于點O中心對稱，A（0，4），B（6，4），C（8，0） 3分（寫錯一個

18、點的坐標扣1分）（2）設過A，B，C三點的拋物線關系式為，拋物線過點A（0，4）， 則拋物線關系式為 4分將B（6，4）， C（8，0）兩點坐標代入關系式，得 5AB，垂足為G，則sinFEGsinCAB分 解得 6分所求拋物線關系式為： 7分（3）OA=4，OC=8，AF=4m，OE=8m 8分OA（AB+OC）AFAGOEOFCEOA（ 04） 10分 當時，S的取最小值又0m4，不存在m值，使S的取得最小值 12分（4）當時，GB=GF，當時，BE=BG 14分練習3.解 （1）當時，即 （2）當時，橡皮筋剛好觸與釘子， （3）當時，即 作，為垂足當時，即或（4）如圖所示：練習4.解 (

19、1)設l2的解析式為y=ax2+bx+c(a0)，l1與x軸的交點為A(-2，0)，C(2，0)，頂點坐標是(0，- 4)，l2與l1關于x軸對稱，l2過A(-2,0),C(2,0)，頂點坐標是(0，4)，a=-1,b=0,c=4，即l2的解析式為y= -x2+4 . (還可利用頂點式、對稱性關系等方法解答)(2) 設點B(m，n)為l1：y=x2-4上任意一點，則n= m2-4 (*).四邊形ABCD是平行四邊形，點A、C關于原點O對稱，B、D關于原點O對稱， 點D的坐標為D(-m,-n) .由(*)式可知， -n=-(m2-4)= -(-m)2+4，即點D的坐標滿足y= -x2+4， 點D

20、在l2上. (3) ABCD能為矩形.過點B作BHx軸于H，由點B在l1：y=x2-4上，可設點B的坐標為 (x0，x02-4)，則OH=| x0|，BH=| x02-4| .易知，當且僅當BO= AO=2時，ABCD為矩形.在RtOBH中，由勾股定理得，| x0|2+| x02-4|2=22，(x02-4)( x02-3)=0，x0=2(舍去)、x0= EQ R(,3) .所以，當點B坐標為B( EQ R(,3) ，-1)或B(- EQ R(,3) ，-1)時，ABCD為矩形，此時，點D的坐標分別是D(- EQ R(,3) ，1)、D( EQ R(,3) ，1).因此，符合條件的矩形有且只有

21、2個，即矩形ABCD和矩形ABCD .設直線AB與y軸交于E ，顯然，AOEAHB， EQ F(EO,AO) = EQ F(BH,AH) ，.EO=4-2 . 由該圖形的對稱性知矩形ABCD與矩形ABCD重合部分是菱形，其面積為S=2SACE=2 EQ F(1,2) AC EO =2 EQ F(1,2) 4(4-2 EQ R(,3) )=16 - 8 EQ R(,3) . 三二次函數與四邊形的動態探究例1.解：(1)由已知PB平分APD，PE平分OPF，且PD、PF重合，則BPE=90OPEAPB=90又APBABP=90，OPE=PBARtPOERtBPA即y=(0 x4)且當x=2時，y有

22、最大值(2)由已知，PAB、POE均為等腰三角形，可得P(1，0)，E(0，1)，B(4，3)設過此三點的拋物線為y=ax2bxc，則y=(3)由(2)知EPB=90，即點Q與點B重合時滿足條件直線PB為y=x1，與y軸交于點(0，1)將PB向上平移2個單位則過點E(0，1)，該直線為y=x1由得Q(5，6)故該拋物線上存在兩點Q(4，3)、(5，6)滿足條件例2.解：（1）解方程x210 x160得x12，x281分點B在x軸的正半軸上，點C在y軸的正半軸上，且OBOC點B的坐標為（2，0），點C的坐標為（0，8）又拋物線yax2bxc的對稱軸是直線x2由拋物線的對稱性可得點A的坐標為（6，

23、0）4分（2）點C（0，8）在拋物線yax2bxc的圖象上c8，將A（6，0）、B（2，0）代入表達式，得解得所求拋物線的表達式為yx2x87分（3）依題意，AEm，則BE8m，OA6，OC8，AC10EFACBEFBAC即EFFG8mSSBCESBFE（8m）8（8m）（8m）（8m）（88m）（8m）mm24m10分自變量m的取值圍是0m811分（4）存在理由：Sm24m（m4）28且0，當m4時，S有最大值，S最大值812分m4，點E的坐標為（2，0）BCE為等腰三角形14分（以上答案僅供參考，如有其它做法，可參照給分）例3解: （1）相等 理由是：因為四邊形ABCD、EFGH是矩形，所

24、以所以 即：（2）AB3，BC4，AC5，設AEx，則EC5x，所以，即配方得：，所以當時，S有最大值3（3）當AEAB3或AEBE或AE3.6時，是等腰三角形練習1解：（1）點M1分（2）經過t秒時，則，=當時，S的值最大（3）存在設經過t秒時，NB=t，OM=2t 則，=若，則是等腰Rt底邊上的高是底邊的中線點的坐標為（1，0）若，此時與重合點的坐標為（2，0）練習2.解：（1），（2）分別過點作軸的垂線，垂足分別為，分別過作于，于點在平行四邊形中，又，又，設由，得由，得（3），或，（4）若為平行四邊形的對角線，由（3）可得要使在拋物線上，則有，即（舍去），此時若為平行四邊形的對角線，由（3）可得，同理可得，此時若為平行四邊形的對角線，由（3）可得，同理可得，此時綜上所述，當時，拋物線上存在點，使得以為