1、 第9講函數模型及其應用 (必修1) 第三章 函數的應用 了解指數函數、對數函數、冪函數、分段函數等函數模型的意義，并能建立簡單的數學模型，利用這些知識解決應用問題.1.擬定從甲地到乙地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)=1.06(0.50m+1)給出，其中m0,m是大于或等于m的最小整數(如4=4,2.7=3,3.8=4).若從甲地到乙地的一次通話時間為5.5分鐘的電話費為( )CA.3.71元 B.3.97元C.4.24元 D.4.77元 由題設知,f(5.5)=1.06(0.505.5+1)=1,06(0.56+1)=4.24.故選C.2.在某種新型材料的研制中,實驗人員獲得了如下

2、一組數據： 現準備用下列四個函數中的一個近似地表示這些數據的規律,其中最接近的一個是( )x1.99345.16.12y1.54.047.51218.01BA.y=2x-2 B.y= (x2-1)C.y=log2x D.y=( )x將各組數據代入驗證，選B.3.某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元.一個月的本地網內打出電話時間（分鐘）與打出電話費s（元）的函數關系如圖，當打出電話150分鐘時，這兩種方式的電話費相差（ ）AA.10元 B.20元C.30元 D. 元兩種話費相差為y，根據幾何關系可得y=y, =12,y=10，所以y=10.4.某汽車運輸公司，

3、購買了一批豪華大客車投入客運，據市場分析，每輛客車營運的總利潤y萬元與營運年數x (xN*)的關系為y=-x2+12x-25，則為使其營運年平均利潤最大,每輛客車營運年數為（ ） CA.2 B.4 C.5 D.6 平均利潤 = 12-10=2,當且僅當x= ,即x=5時,等號成立,故選C. 函數是描述客觀世界變化規律的基本數學模型，不同的變化規律需要用不同的函數模型來描述.那么，面臨一個實際問題，應當如何選擇恰當的函數模型來刻畫它呢？事實上，要順利地建立函數模型，首先要深刻理解基本函數的圖象和性質,熟練掌握基本函數和常用函數的特點,并對一些重要的函數模型必須要有清晰的認識.一般而言，有以下8種

4、函數模型：一次函數模型:f(x)= +b(k、b為常數,k0);反比例函數模型：f(x)= +b(k、b為常數,k0);二次函數模型：f(x)=ax2+bx+c(a、b、c為常數，a0)，二次函數模型是高中階段應用最為廣泛的模型，在高考的應用題考查中最為常見的;指數型函數模型：f(x)=kax+b(k、a、b為常數，k0,a0且a1);對數型函數模型：f(x)=mlogax+n(m、n、a為常數,m0,a0且a1);冪函數型模型：f(x)=axn+b(a、b、n為常數,a0,n0);“勾”函數模型：f(x)=x+ (k為常數,k0)，這種函數模型應用十分廣泛,因其圖象是一個“勾號”,故我們把它

5、稱之為“勾”函數模型,分段函數模型：這個模型實則是以上兩種或多種模型的綜合，因此應用也十分廣泛.題型一 函數模型的選擇例1 扇形的周長為c(c0)，當圓心角為多少弧度時，扇形面積最大？當r= 時， Smax= ,此時|= = = =2.所以當圓心角大小為2 rad時，扇形面積最大，為 . (方法一)因為c=l+2r,所以l=c-2r0,所以0r .面積S= lr= (c-2r)r=( -r)r(0r ),當且僅當= ，即=2時，等號成立.所以當圓心角大小為2 rad時，扇形面積最大，為 .(方法二)因為c=l+2r=r+2r,所以r= .所以S= r2=( )2= = = . (1)雖然問“為

6、多少時”，但若以為自變量，運算較大且需用到均值不等式等技巧，而方法一以半徑為自變量，是一個簡單的二次函數模型.同樣，若以弧長l為自變量，也是一個二次函數模型.所以在構造函數過程中，要合理選擇自變量.(2)一般的，當線繞點旋轉時，常以旋轉角為變量.(3)合理選擇是畫圖象還是分離參數解決不等式組成立問題.當圖易于作出時，常用圖象解決；當易分離參數且所得函數的最值易于求解時，可用分離參數法.題型二 已知函數模型求參數值例2 如圖,木桶1的水按一定規律流入木桶2中，已知開始時木桶1中有a升水，木桶2是空的，t分鐘后木桶1中剩余的水符合指數衰減曲線y1=ae-mt（其中m是常數，e是自然對數的底數）.假

7、設在經過5分鐘時，木桶1和木桶2的水恰 好相等,求： (1)因為木桶2中的水是從木桶1中流出 的，而木桶1開始的水是a,又滿足y1=ae-mt，所以y2=a-ae-mt.(2)因為t=5時,y1=y2,所以ae-5m=a-ae-5m， 解得2e-5m=1 m= ln2.所以y1=ae . 當y1= 時,有 =ae t=15(分鐘). 所以經過15分鐘木桶1的水是 .（1）木桶2中的水y2與時間t的函數關系；（2）經過多少分鐘，木桶1中的水是 升? 已知函數模型求參數值，關鍵是根據題設條件建立方程求解.題型三 給出函數模型的應用題例3 經市場調查，某城市的一種小商品在過去的近20天內的銷售量(件

8、)與價格（元）均為時間t(天)的函數,且銷售量近似滿足g(t)=80-2t(件）,價格近似滿足f(t)=20- |t-10|（元）. (1)試寫出該種商品的日銷售額y與時間t(0t20)的函數表達式； (2)求該種商品的日銷售額y的最大值與最小值. (1)y=g(t)f(t)=(80-2t)(20- |t-10|)=(40-t)(40-|t-10|)= (30+t)(40-t)(0t10) (40-t)(50-t)(10t20).(2)當0t10時,y的取值范圍是1200,1225.在t=5時,y取得最大值為1225；當10t20時,y的取值范圍是600,1200,在t=20時，y取得最小值為600.答:第5天,日銷售額y取得最大值為1225元,第20天,y取得最小值600元. 閱讀題目、理解題意是解決應用題的前提.本題的關鍵是對f(x)的假定的理解.選擇數學模型和方法解決實際應用問題是核心步驟，因此解應用題時要根據題目中的數量關系，選擇適當的數學模型和方法加以解決.1.理解題意，找出數量關系是解應用題的前提，因此解題時應認真閱讀題目，深刻理解題意.2.建立數學模型，確定解決方法是解應用題的關鍵，因此解題時要認真梳理題目中的數量關系，選擇適當的方法加以解決.3.函數的應用問題