1、1.2 事件的概率1.2.1 事件的頻率I. 頻率定義 設A是一個事件, 在相同條件下進行n次試驗，A發生了m 次。 則稱 m為事件A在 n 次試驗中發生的頻數或頻次，稱 m與 n之比 m/n 為事件A在 n次試驗中發生的頻率，記為 fn(A)。 當試驗次數 n充分大時，事件的頻率總在一個定值附近擺動，而且，試驗次數越多，一般說來擺動的幅度越小。這一性質稱頻率的穩定性。 頻率在一定程度上反映了事件在一次試驗中發生的可能性大小。盡管每進行一連 n次試驗，所得到的頻率可能各不相同,但只要 n足當大，頻率就會非常接近一個固定值概率。 因此, 概率可以通過頻率來“度量”, 頻率是概率的近似, 概率是頻

2、率某種意義下的極限。 考慮在相同條件下進行的 k 組試驗事件A在各組試驗中的頻率形成一個數列頻率穩定性是指：各組試驗次數 n1,n2, nk 充分大時，在各組試驗中事件 A 出現的頻率間、或頻率與某定值相差很小 。 穩定在概率 p 附近下面我們來說明頻率穩定性的含義。 在實際問題中，當概率不易求出時，人們在試驗次數很大情況下，常用事件的頻率作為概率的估計，并稱此概率為統計概率。這種確定概率的方法為頻率法。例如: 若需了解某射箭運動員中10環的概率，應對該運動員在相同條件下的多次射箭情況進行觀測、統計。 假設其射擊 n 次，中10環m次，當 n很大時，就 m/n 作為其命中10環的概率。又如：進

3、行產品檢驗時，如果檢驗了n 件產品,其中m 件為次品，則當 n 很大時，可用 m/n 作為產品的次品率(概率)的估計值。(1) 0 fn(A)1；(2) fn()=1, fn()=0；(3).若事件 A1,A2,Ak 兩兩互斥，則:II. 頻率性質 1933年，前蘇聯數學家(概率統計學家)柯爾莫哥洛夫 (Kolmogorov) 給出了概率如下公理化定義。1.2.2 事件概率I. 概率定義概率的公理化定義(2). P()=1 ; (3). 若事件A1, A2 , 兩兩互斥，則有 設E是隨機試驗，是樣本空間，對中的每個事件A，賦予一個實數P(A) ，如果事件(集合)函數 P(A) 滿足下述三條:(

4、1). P(A)0；則稱P(A)為事件A 的概率。 注意：這里的函數P(A)與以前所學過的函數不同。不同之處在于：P(A)的自變量是事件 ( 集合 )。 不難看出：這里事件概率的定義是在頻率性質的基礎之上提出的。在5.1中, 我們將看到：頻率fn(A)在某種意義下收斂到概率P(A)的結論。基于這一點，我們有理由用上述定義的概率 P(A)來度量事件A在一次試驗中發生的可能性大小。II. 概率的性質 1. P()=0，即不可能事件的概率為零； 2. 若事件 A1,A2, An 兩兩互斥，則有： P(A1A2An)=P(A1)+P(An), 即互斥事件并的概率等于它們各自 概率之和(有限可加性)；4

5、. 對兩個事件A和B，若AB, 則有: P(B-A)=P(B)-P(A), P(B)P(A)。3. 對任一事件A, 均有證明：5.對任意兩個事件A, B，有因 AB，AAB，BAB兩兩互斥，且由概率的可加性， 有 P(AB)=P(AB(AAB) (B AB)=P(AB)+P(A AB)+P(B AB）=P(AB)+P(A AB)+P(B AB)+P(AB) P(AB)=P(A)+P(B) P(AB).AB = AB(A AB) (B AB)， 說明n個事件并的多除少補公式特別地，n = 3 時，有小結 本節首先介紹頻率的概念，指出在試驗次數充分大的情況下，頻率接近于概率的結論；然后給出了概率的

6、公理化定義及概率的主要性質。1.3 古典概率模型I. 什么是古典概率模型如果試驗 E 滿足 (1).試驗結果只有有限種； (2).各種結果出現的可能性相同。則稱這樣的試驗模型為等可能概率模型或古典概率模型，簡稱等可能概型或古典概型。II. 古典概率模型中事件概率求法 因試驗E的結果只有有限種，即樣本點是有限個: 1,2 ,n 。 =12 n，i是基本事件，且各自發生的概率相等。 于是，有 1=P()=P(12 n) =P(1)+P(2 )+P(n) =n P(i), i=1,2,n。從而， P(i)= 1/n，i=1,2,n.因此，若事件A 包含 k 個基本事件，即則III. 古典概模型舉例例

7、1：擲一顆均勻骰子，設A表示所擲結果為“四點或五點”，B表示所擲結果為“偶數點”，求P(A)和P(B)。解：由 n=6，kA=2,得 P(A)=2/6=1/3；再由kB=3，得 P(B)=3/6=1/2。例2：貨架上有外觀相同的商品15件，其中12件來自產地甲, 3件來自地乙。現從15件商品中隨機地抽取兩件,求這兩件商品來自同一產地的概率。解：從15件商品中取出2商品，共有C215= 105種取法，且每種取法都是等可能的，故n=105。令 A=兩件商品都來自產地甲,kA= C212=66, B=兩件商品都來自產地乙,kB= C23 =3，而事件: 兩件商品來自同一產地=AB, 且A與B互斥,

8、AB包含基本事件數66+3=69。故，所求概率=69/105=23/35。例3：有外觀相同的三極管6只，按電流放大系數分類，4只屬甲類，2只屬乙類。按下列兩種方案抽取三極管兩只：(1).每次抽取一只，測試后放回，然后再抽取下一只 (放回抽樣)；(2).每次抽取一只，測試后不放回，然后在剩下的三 極管中再抽取下一只(不放回抽樣)。設 A=抽到兩只甲類三極管， B=抽到兩只同類三極管, C=至少抽到一只甲類三極管, D=抽到兩只不同類三極管。求 P(A),P(B),P(C),P(D)。解: (1).由于每次抽測后放回, 因此，每次都是在6只三極管中抽取。 因第一次從6只中取一只，共有6種可能取法；

9、第二次還是從6只中取一只，還是有6種取法。故，取兩只三極管共有66=36種可能的取法。從而, n=36。 注意：這種分析方法使用的是中學學過的“乘法原理”。 因每個基本事件發生的可能性相同。故第一次取一只甲類三極管共有4種可能取法,第二次再取一只甲類三極管還是有4種可能取法。故,取兩只甲類三極管共有44=16 種可能的取法,即kA=16。所以，P(A)=16/36=4/9； 令E=抽到兩只乙類三極管，則 kE=22=4。故，P(E)=4/36=1/9；因C是E的對立事件，所以 P(C)=1-P(E)=8/9;因B=AE, 且A與E互斥，得 P(B)=P(A)+P(E)=5/9；D是B的對立事件

10、, 得 P(D)=1-P(B)=4/9。 (2).由于第一次抽測后不放回,所以第一次從6只中取一只, 共有6種可能的取法；第二次是從剩余的5只中取一只，有5種可能的取法。由乘法原理，知取兩只三極管共有n= 65=30種可能的取法。 由乘法原理，得 kA=43=12。從而P(A)=12/30=2/5； 類似地,得kE=21=2，P(E)=2/30=1/15；由C是E的對立事件,得 P(C)=1-P(E)=14/15;由B=AE, 且A與E互斥，得 P(B)=P(A)+P(E)=7/15；由D是B的對立事件, 得 P(D)=1-P(B)=8/15.例4：n個球隨機地放入N(Nn)個盒子中，若盒子的

11、容量無限制。求“每個盒子中至多有一球”的概率。解: 因每個球都可以放入N個盒子中的任何一個，故每個球有N種放法。由乘法原理，將n個球放入N個盒子中共有 Nn 種不同的放法。 每個盒子中至多有一個球的放法(由乘法原理得): N(N-1)(N-n+1)=ANn 種。故， P(A)= ANn / Nn . 設每個人在一年(按365天計)內每天出生的可能性都相同，現隨機地選取n(n365)個人，則他們生日各不相同的概率為 A365n / 365n。于是, n個人中至少有兩人生日相同的概率為 1-A365n / 365n。 書 P12，可看到表1.3。 許多問題和上例有相同的數學模型。如(生日問題)：

12、某人群有n個人，他們中至少有兩人生日相同的概率有多大？ 從上表可以看出: 在40人左右的人群里,十有八九會發生兩人或兩人以上生日相同這一事件。 把 n 個物品分成k組，使第一組有n1個,第二組有n2個,第 k 組有nk個，且 n1+ n2+nk=n，則不同的分組方法數為公式例5：某公司生產的15件產品中，有12件正品, 3件次品。現將它們隨機地分裝在3個箱中, 每箱裝5件，設A=每箱中恰有一件次品, B=三件次品都在同一箱中。求P(A)和P(B)。解：15件產品裝入3個箱中，每箱裝5件，有種等可能的裝法。故，基本事件總數為 把三件次品分別裝入三個箱中，共有3!種裝法。這樣的每一種裝法取定以后，

13、把其余12件正品再平均裝入3個箱中，每箱裝4件，有個基本事件。再由乘法原理，可知裝箱總方法數有即A包含從而， 把三件次品裝入同一箱中,共有3種裝法。這樣的每一種裝法取定以后,再把其余12件正品裝入3個箱中(一箱再裝2件,另兩箱各裝5件)又有個基本事件。故，由乘法原理，知裝箱方法共有即B包含例6：設N件產品中有K件次品，N-K件正品, KN。現從N件中每次任意抽取1件產品，檢查其是正品還是次品后放回；這樣共抽檢產品n次。求事件A=所取的n件產品中恰有k件次品的概率，k = 0, 1, 2, , n。解：假定N件產品有編號，從中任意取出一件，每次都有N種取法。由乘法原理，n次共有Nn種取法，故，基本事件總數為Nn。 當所取的n件產品中恰有k件次品時，由于取到這k件次品次序之不同，因此，從次序考慮共有Cnk種情況。這Cnk種情況確定以后,從K件次品中取出k件，共有Kk種取法；從N-K件正