1、第三章 半導體中的載流子的統計分布 1 1、 狀態密度狀態密度 2 2、 分布函數分布函數 3 3、 載流子濃度載流子濃度 4 4、 本征半導體本征半導體 5 5、 雜質半導體雜質半導體 6 6、 簡并半導體簡并半導體基本概念p1 載流子的產生、產生率 a）本征半導體（無雜質缺陷） n0=p0b）雜質半導體產生率：單位時間單位體積 中產生的載流子數。 （反映產生過程的強烈程度）p2 載流子的復合、復合率EcEv產生產生復合復合EDp3 熱平衡態：產生率=復合率p4 熱平衡載流子： 處于熱平衡狀態下的電子與空穴。溫度建立新的平衡實質：半導體中熱平衡載流子濃度的計算。熱平衡載流子濃度計算思路p求出

2、能帶中單位能量間隔里允許容納的量子態數狀態密度（）區別概念：）空間的狀態密度均勻的）能帶內的狀態密度（） 的函數、隨變化（）p允許的量子態上電子占有的幾率統計分布規律（）p對整個能帶求積分得到整個能帶中的電子數p得到的電子數除以晶體體積能帶中電子濃度導帶中電子濃度)()(ccEEdEEfEgNVNn 03.1狀態密度（）p1. 極值點極值點 k0=0，E(k)為球形等能面為球形等能面)(2)(222*2zyxnckkkmhEkE1222222RzRyRx球心位于原點的球體標準方程球心位于原點的球體標準方程1)(*2)(*2)(*2222222hEEmkhEEmkhEEmkCnzCnyCnx32

3、3232323)(*)2(34)(*23434hEEmhEEmRCnCn球的體積：(1) 導帶底導帶底2, 1, 02, 1, 02, 1, 0zzzyyyxxxnLnknLnknLnk又因為又因為在在k空間中，體積為空間中，體積為1/L3即即1/V的立方體中有一個點，的立方體中有一個點，k空間中代表點的密度為空間中代表點的密度為V。考慮自旋，密度應為考慮自旋，密度應為2V。導帶底附近單位能量間隔內的量子態數目,隨著電子的能量增加按拋物線關系增大.子數）球內含的量子態數（電23323)(2*)2(34)(CnEEVhmEZVhEEmCn32323)(*)2(38求微分：VdEhEEmEdZCn

4、32123)(*)2(4)(VhEEmdEdZEgCn32123)(*)2(4)(p2、Si、Ge（旋轉橢球）lztyxCmkmkkhEkE22222)(3232122)(8343434CtlEEhmmcaabc（電子數）VEEhmmEZCtl2)(834)(323212VdEEEhmmEdZCtl213212)(84)(求微分：VEEhmmdEEdZEgCtl213212)(84)()()()2(4)()()()8(4)(323312232122CdndntlCtlEEhmVEgmmmSEEhmmSVEgS則效質量導帶底電子狀態密度有設：個橢球：對于p3、Si和Ge的價帶狀態密度 21232

5、2323)(24)()()(EEhmVEgmmmvdplphpdp2123221232)()(24)()(24)(EEhmVEEhmVEgvlpvhp213232323)()()(24EEhmmVvlphp2/12/32*)()2(4)(kEEvhmVEgpV狀態密度與能量的關系EEc1Ev2gc(E)gv(E)2/12/32*)()2(4)(EckEhmVdEdZEgnc3.2 分布函數 p1、費米-狄拉克分布絕對溫度費米能級玻爾茲曼常數TEkTkEEEfFF00)exp(11)(p2、費米能級EFl（1）非真實存在的能級，反映電子在能級上分布的一個參 數l（2）影響因素：導帶中電子總數、材

6、料本身性質、雜質的雜質的種類濃度、溫度種類濃度、溫度l（3）計算方法：a）電中性條件l b）粒子數守恒法l（4）熱平衡條件下半導體系統的化學勢ADpnnp00iiNEf)(系統的自由能系統的化學勢:)(FNFETFp3、費米-狄拉克分布函數與溫度的關系l（1）T=0時a)在絕對零度，EF可以看成是量子態是否被電子占據的一個界限； b)EF在禁帶EEF： f(E)=0 EEF：f(E)=1 絕對溫度費米能級玻爾茲曼常數TEkTkEEEfFF00)exp(11)(lT0K時l電子占據費米能級的幾率50% EEF： f(E)1/2 EEF：f(E)1/2 E=EF： f(E)=1/2 T EEF：

7、f(E) EEF：f(E) 絕對溫度費米能級玻爾茲曼常數TEkTkEEEfFF00)exp(11)(T=0K1/2T2T1ET1T2FE)(Efp例子：l在在EF上下幾個上下幾個kT的范圍內的范圍內,費米分布函數費米分布函數(電子占電子占有幾率有幾率)有很大的變化有很大的變化l費米能級標志了電子填充能級的水平。費米能級費米能級標志了電子填充能級的水平。費米能級高高-較多高能量能級上有電子填充。較多高能量能級上有電子填充。88. 0)(212. 0)(212. 0)(2000EfTkEEEfTkEEEfTkEEFFF絕對溫度費米能級玻爾茲曼常數TEkTkEEEfFF00)exp(11)(p4 4

8、 玻爾茲曼分布函數玻爾茲曼分布函數 （1）電子的分布函數 當EEFk0T時，10TkEEFe000001( )( )1FFFE EEEEk Tk Tk Tk TBE Ek Tf EeeeAefEe在這個范圍，量子態為電子占據幾率很小。在這個范圍，量子態為電子占據幾率很小。不受泡利不相容原理限制不受泡利不相容原理限制p（2）空穴的分布函數E，空穴占有幾率增加；，空穴占有幾率增加；EF，空穴占有幾率下，空穴占有幾率下降，即電子填充水平增高。降，即電子填充水平增高。1111)(1)(00TkEETkEEpFFeeEfEf絕對溫度費米能級玻爾茲曼常數TEkTkEEEfFF00)exp(11)(TkET

9、kEEpFBeeEfEEF00)(Tk0時，當p費米能級常位于禁帶中，與導帶低和價帶頂的距離一般遠大于k0T。p導帶中所有的量子態被占據的幾率f(E)遠小于1，可以采用波爾茲曼常數描寫。p價帶中的量子態被空穴占有的幾率1- f(E)遠小于1，空穴的分布也服從波爾茲曼常數。 滿足： 否則稱為簡并半導體否則稱為簡并半導體。簡并半導體用費米分布函數計算簡并半導體用費米分布函數計算FEEkTEkTF或E稱為非簡并半導體稱為非簡并半導體p5 非簡并半導體的載流子濃度 （1）導帶的電子濃度n0 a)能量E-E+dE之間的電子數dNdETkEEEckEhmVdEEfEgdNFdnB)exp()()2(4)(

10、)(02/12/32* b）能量E-E+dE間單位體積中的電子數dETkEEEckEhmVdNdnFdn)exp()()2(402/12/32* c）對Ec-Ec積分得到導帶中電子濃度n002/12/32*0)exp()()2(4ccEEFdndETkEEEckEhmnTkTkEEdTkEEEETkTkEckEhmccEEccFcdn0002/102/102/32*)()exp()()2(4002/1002/302/32*)()exp()()exp()2(4ccEEccFcdnTkEEdTkEETkEckETkEETkhm*3/23/21/2002024 ()exp()exp() ( )ccE

11、dncFEmEEnk Txx d xhk T則0cEEk T設x 利用積分公式：02/12de2eV-10約為導帶寬TkEEcckTEEcdnoFehTkmn32/30)2(2的結果可以直接應用積分公式則8040室溫）026eV(. 00Tk2332/30)2(2ThTkmNdncTkEEccoFeNn0令： 導帶有效狀態密度導帶有效狀態密度 只和溫度有關只和溫度有關 (2)價帶中空穴的濃度p032/30)2(2hTkmNdpVTkEEovFVeNp0其中 價帶的有效狀態密度價帶的有效狀態密度n0和p0與以下幾個因素有關（1） mdn和mdp的影響材料的影響（2）溫度T a)NC、NV T b

12、) f(EC) T32/30)2(2hTkmNdpVTkEEccoFeNn0TkEEovFVeNp032/30)2(2hTkmNdnc（3）費米能級EFl EFEC，EC-EF，n0 EF越高，電子的填充水平越高，對應ND較高；l EFEV，EF-EV，p0 EF越低，電子的填充水平越低，對應NA較高。TkEEccoFeNn0TkEEovFVeNp0p6、載流子濃度乘積（n0p0）影響因素:1)費米能級EF？ 無關 2）所含雜質？ 無關 3）溫度 有關 4）禁帶寬度 有關kTEdpdngemmhkT2/33224kTEVckTEEkTEEcVcogvFFeNNeeNNpn0kTEdpdngem

13、mT2/33例子：n型Si溫度改變n0p0變若n0 則p0 一個的增加是以另一個的犧牲為代價的EcEvED應用在常溫下，已知施主濃度ND，并且全部電離，求導帶電子濃度n0和價帶空穴濃度p0 施主全部電離n0=ND220iioDnnpnNn型半導體在常溫下，已知受主濃度NA，并且全部電離，求導帶電子濃度n0和價帶空穴濃度p0 受主全部電離p0=NAp型半導體220iioAnnnpN3.3 載流子濃度的計算 導帶電子濃度和價帶空穴濃度導帶底附近電子能態密度為gC(E), 導帶電子分布函數f(E)價帶頂附近空穴能態密度為gV(E), 價帶空穴分布函數1-f(E)單位體積,單位能量間隔內的 導帶電子

14、dN/dE= (1/V) gC(E) f(E)= (1/V) gC(E) fB(E)價帶空穴 dP/dE= (1/V) gV(E) 1-f(E)= (1/V) gV(E) 1-fB (E)l導帶電子濃度：導帶電子濃度：l價帶空穴濃度：價帶空穴濃度：(E)dE(E) f gV1nBCEcEc0dE(E) f(E) gV1pBvEvEv)1 (0積分后積分后, ,得到得到: :導帶電子濃度導帶電子濃度 導帶等效狀態密度導帶等效狀態密度TkEEccoFeNn032/30)2(2hTkmNdnc同樣同樣, ,價帶空穴濃度價帶空穴濃度 價帶等效狀態密度價帶等效狀態密度32/30)2(2hTkmNdpVT

15、kEEovFVeNp03.4 本征半導體的載流子濃度p1、本征半導體的費米能級oopn TkEEVTkEECvFFCeNeN00TkEENTkEENVFVFCC00lnlnCVVCFNNTkEEEln220CVVVCNNTkEEEln220CViNNTkEln20dndpCViFmmTkNNTkEEln43ln200Ei 為禁帶的中心能級，將NC、NV代入：推導EF在禁帶中的位置Ge：mdp=0.37mo，mdn=0.56mo室溫時，k0T=0.026evEFEi= 0.008 eVTkmmTkEEdndpiF0031. 0ln43對寬禁帶半導體 EFEi 對于窄禁帶半導體 EFEi(Eg)G

16、e=0.67ev EFEi對Si、GaAs一樣，EFEi對InSb，Eg=0.17ev，EFEip2、本征載流子濃度及其影響因素TkEiooTkEVcogVCgeNNnpneNNpn0020TkEdpdnTkEdpdnTkEoigggVCeTmmemmhTkeNNpnn00022/34/324/32/32022/10)(22ni2=n0p0 熱平衡非簡并半導體的判據影響ni的因素 (1) mdn、mdp、Eg 材料 （2)T 的影響T，lnT，1/T，ni高溫時，在ln ni 1/T 坐標下，近似為一直線。TkETAngi12ln23ln01/Tlnni-Eg/(2k0)TkEdpdnigem

17、mhTkn024/32/32022p3、本征半導體在應用上的限制 （1）純度達不到 本征激發是載流子的主要來源 雜質原子/總原子 本征載流子/總原子例如: Si：原子密度1023/cm3，室溫時，ni=1010/cm3本征載流子/總原子=1010/1023=10-13雜質原子/總原子Si的純度必須高于（1-10-13）（2）本征載流子濃度隨溫度變化很大 在室溫附近 Si: T 8K ni 一倍 Ge: T 12K ni 一倍本征半導體的電導率不能控制雜質半導體有工作使用范圍（一般） Ge100oC Si100oC GaAs450oC p（3）同一溫度下同一溫度下, Eg, Eg越大越大, n,

18、 ni i越小越小3.5 雜質半導體的載流子濃度p1 1、室溫下、室溫下, ,載流子濃度和載流子濃度和E EF F的定性圖象的定性圖象l本征半導體本征半導體: n= pl n型半導體型半導體: npl p型半導體型半導體: pn 圖3-6圖3-8p2、雜質能級的占據幾率雜質能級的占據幾率 雜質能級和能帶中的能級是有區別的雜質能級和能帶中的能級是有區別的 在能帶中在能帶中, , 每一個能級可容納二個電子每一個能級可容納二個電子 然而然而, ,電子或空穴占據雜質能級時電子或空穴占據雜質能級時: : 施主能級可以容納一個電子施主能級可以容納一個電子( (這電子很易失去這電子很易失去), ), 這這電

19、子可取不同的自旋態電子可取不同的自旋態 受主能級可以容納一個空穴受主能級可以容納一個空穴( (這空穴也易電離這空穴也易電離), ), 這這空穴可取不同的自旋態空穴可取不同的自旋態電子占據電子占據ED的幾率的幾率:空穴占據空穴占據EA的幾率的幾率:gD, gA為簡并因子分別為為簡并因子分別為2和和4。TkEEDFDeEf02111)(kTEEAFAeEf4111)(p3 3、 雜質能級上的電子和空穴濃度雜質能級上的電子和空穴濃度121)(0TkEEDDDDFDeNEfNn120TkEEDDDDFDeNnNn若施主濃度和受主濃度分別為若施主濃度和受主濃度分別為ND、NA，施主能級上的電子濃度施主能

20、級上的電子濃度nD為：為： 未電離的施主濃度未電離的施主濃度電離的施主濃度電離的施主濃度nD+為：為：121)(0TkEEAAAAFAeNEfNpTkEEAAAAAFeNpNp021沒有電離的受主濃度沒有電離的受主濃度pA為：為：電離的受主濃度電離的受主濃度pA-為：為：DDDDNnNn31,32 EFEDk0T EDEFk0TnD0， nD +ND，施主幾乎全電離，施主幾乎全電離 EF=EDnD ND ， nD + 0 ，施主幾乎不電離，施主幾乎不電離TkEEDDDDFDeNEfNn0211)(TkEEDDDDFDeNnNn021l受主相反，受主相反， EF高時，受主全電離；高時，受主全電離

21、；EF低時，低時，受主未電離。受主未電離。lEF高時，施主未電離；高時，施主未電離；EF低時，施主全電離。低時，施主全電離。EF 雜質的電離雜質的電離導帶電子或價帶空穴導帶電子或價帶空穴內在聯系內在聯系p4、雜質半導體載流子濃度和費米能級、雜質半導體載流子濃度和費米能級 帶電粒子：電子、空穴、電離的施主和電離的受主帶電粒子：電子、空穴、電離的施主和電離的受主 電中性條件電中性條件 一般情況一般情況: n0 + pA- = p0 + nD+ n型半導體型半導體(只考慮施主雜質只考慮施主雜質) n0 = p0 + nD+ p型半導體型半導體(只考慮受主雜質只考慮受主雜質) n0 + pA- = p

22、0 TkEEDTkEEvTkEEATkEEcFDvFAFFceNeNeNeN00002121近似處理（以n型半導體為例）（以不同的溫度范圍以及不同濃度為分界標準）（1）低溫弱電離區（本征激發可忽略）n0=nD+ ，n=nD + ND ，EFED)2ln(222122100000CDDcFTkEEDTkEEDTkEEDTkEEcNNTkEEEeNeNeNeNFDFDFDFc10TkEEFDeEF和溫度T的關系 NCT3/2a)T0，b) 的變化特點)2ln(220CDDcFNNTkEEE2DcFEEE232ln21)23(2ln22ln22ln20000CDCDCDCDFNNkTTNNkdTNN

23、dTkNNkdTdEdTdEF232ln20CDFNNkdTdE低溫電離區的電子濃度低溫電離區的電子濃度 代代EF表達式入表達式入 ，可得對可得對n0的表達式取對數：的表達式取對數：lnn0 常數常數 ED/(2k0T)可以通過實驗，計算出電離能可以通過實驗，計算出電離能TkEEccoFeNn0kTETkECDDDeTeNNn24/32210C20(2)中間電離區中間電離區仍有電中性條件仍有電中性條件 n = nD + 但但 n=nD + ND 已不再成立已不再成立 在此區域中在此區域中,繼續有繼續有 T , EF , n 不一定滿足10TkEEFDeDDNn32（3）強電離區(大部分雜質電離

24、 本征激發未發生)a）強電離區電子濃度和費米能級強電離區電子濃度和費米能級 EF由T和ND共同決定l 如果T一定， ND， EF ，EF向EC靠近l 如果ND 一定， T ， EF ，EF向Ei靠近DDNnn010TkEEFDe000lnlnFEc Ek TocDcDFCCCDnN eNNNEEk TEk TNNDDNn32EEvEib）飽和電離飽和電離-雜質雜質(幾乎幾乎)全部電離全部電離飽和電離飽和電離的范圍的范圍: l 下限下限: 雜質接近全部電離雜質接近全部電離 nD 0.1ND l 上限上限: 本征激發可忽略本征激發可忽略 ni 0.1ND 1 . 020TkECDDDDeNNNnD

25、離化因子TkEENTkEENnTkEEFDDFDDDFD000exp2exp211)(雜質電離程度lT高，ND小，電離程度高lT低，ND大，電離程度小lT高，ND大，具體分析lT低，ND小，具體分析標準：PSi D-=10% ND=31017cm-3若ND=1016cm-3 D-=？ （4）過渡區過渡區 溫度繼續升高溫度繼續升高,本征激發已不能忽略本征激發已不能忽略 nD + = ND 電中性條件為電中性條件為: n0 = p0+ ND 仍有仍有 T , EF a）導帶電子濃度、價帶空穴濃度）導帶電子濃度、價帶空穴濃度121222020212221220202020000)41 (12)41

26、(122)4(0DiDiiDiDiDDiDiDNnNnnnpNnNnNNnnnNnnpnNnpb）EF表達式表達式求求NC（通過本征情況求（通過本征情況求NC）TkEEccoFeNn0TkEEcicTkEEccioiienNeNnpn000)2()(220000000000iDiFiFiDxxTkEEiTkEEioDTkEEiTkEEiTkEEcTkEEcionNTshkEETkEEshnNeeshxenenpnNenpeneennFiFiFiFiFic）少數載流子濃度）少數載流子濃度ln型半導體型半導體 n0=ND p0=ni2/ND p型半導體型半導體 p0=NA n0=ni2/NAl在飽

27、和區的溫度范圍內在飽和區的溫度范圍內,少子濃度將隨著溫度的升高而迅少子濃度將隨著溫度的升高而迅速增大速增大.（5）高溫本征激發區高溫本征激發區iFTkEvciEEeNNnpng022100)(DDNn32EEvEi圖3-14NDNAlnni1/TGeSiGaAs（6）一般情況下載流子統計分布（半導體中同時含有一種施主雜質和一種受主雜質的情況）有效雜質濃度和前面只有單一雜質的情況所得的結果只是將雜質濃度換成有效雜質濃度（除了極低溫的條件下）3.6 3.6 簡并半導體簡并半導體n型半導體處于飽和區時NDNC 或 在低溫弱電離區某些情況下 費米能級EF會與導帶底EC重合或進入導帶中0lnDFCCNE

28、Ek TN這種情況下，由費米能級的意義可知：（1）摻雜濃度大（2）導帶底附近量子態基本全部被占據泡利不相容原理-必須考慮-必須使用費米分布函數-載流子的簡并化-簡并半導體1、簡并半導體的濃度計算a） EF位于導帶中位于導帶中 cFccFccETkEEcdnEETkEEcdnEEdEeEEhmdEeEEhmdEEfEgn0011)()2(411)()2(4)()(21323213230可以取半整數和整數費米積分令m1)(12)2(2,0021032/3000eFdeNnhTkmNTkEETkEEmmcdnccFc)(22/1FNnco 圖 3-16 -4 -3 -2 -1 -1/2 0 1/2F

29、1/2() 0.016 0.043 0.115 0.29 0.45 0.689 0.99 1 2 3 4 1.396 2.502 3.977 5.771b） EF位于價帶中位于價帶中 )(202/1TkEEFNpFVVo2、簡并化條件非簡并： kTEEccoFeNneNeNCkTEEcCF簡并： )(22/1FNnco01-4-2024680.205N251020費米經典n()FcoEEk TEFEC2k0T，非簡并，非簡并2k0TEFEC0，弱簡并，弱簡并 EFEC0，簡并，簡并n型半導體的簡并條件：型半導體的簡并條件：EFEC0p型半導體的簡并條件：型半導體的簡并條件：EvEF03、簡并時的施主濃度簡并時的施主濃度 )()21 (22/1FeeNNkTECDDno=n