1、會計學1圓的標準方程人教圓的標準方程人教A必修必修第1頁/共31頁第2頁/共31頁趙州橋，建于隋煬帝大業年間（趙州橋，建于隋煬帝大業年間（595-605595-605年），至今已有年），至今已有14001400年的歷史，出自著名匠師李春之手，是今天世界上年的歷史，出自著名匠師李春之手，是今天世界上最古老的單肩石拱橋最古老的單肩石拱橋, ,是世界造橋史上的一個創造。是世界造橋史上的一個創造。第3頁/共31頁 我們在前面學過，在平面直角坐標系中，我們在前面學過，在平面直角坐標系中，兩點確定一條直線，一點和傾斜角也能確定一兩點確定一條直線，一點和傾斜角也能確定一條直線條直線在平面直角坐標系中，如何確

2、定一個在平面直角坐標系中，如何確定一個圓呢？圓呢？AMrxOy第4頁/共31頁1、什么是圓？、什么是圓？ 如圖，在一個平面內，線段如圖，在一個平面內，線段CP繞它固定的一個繞它固定的一個端點端點C旋轉一周，另一個端點旋轉一周，另一個端點P所形成的圖形叫做圓所形成的圖形叫做圓。2、圓有什么特征呢？、圓有什么特征呢？思考：思考： 在平面直角坐標系中，在平面直角坐標系中，如何確定一個圓呢？如何確定一個圓呢？圓心確定圓的位置圓心確定圓的位置半徑確定圓的大小半徑確定圓的大小(1)圓上各點到定點（圓心圓上各點到定點（圓心)的距的距離都等于定長（半徑離都等于定長（半徑r)；(2)到定點的距離等于定長的點到定

3、點的距離等于定長的點都在同一個圓上都在同一個圓上.第5頁/共31頁 當圓心位置與半徑大小確定后，圓就唯一確定了當圓心位置與半徑大小確定后，圓就唯一確定了因此一個圓最基本要素是因此一個圓最基本要素是圓心和半徑圓心和半徑xOyA(a,b)Mr(x, y) 如圖，在直角坐標系中，圓心（點）如圖，在直角坐標系中，圓心（點）A的位置用的位置用坐標坐標 (a,b) 表示，半徑表示，半徑r的大小等于圓上任意點的大小等于圓上任意點M(x, y)與圓心與圓心A (a,b) 的距離的距離第6頁/共31頁 符合上述條件的圓的集合是什么？你能用描述符合上述條件的圓的集合是什么？你能用描述法來表示這個集合嗎？法來表示這

4、個集合嗎？rMAMp|符合上述條件的圓的集合：符合上述條件的圓的集合：xOyA(a,b)Mr(x, y)第7頁/共31頁 圓上任意點圓上任意點M(x, y)與圓心與圓心A (a,b)之間的距離能之間的距離能用什么公式表示？用什么公式表示？rMAMp|rbyax22)()(222)()(rbyax.21221221yyxxPP根據兩點間距離公式根據兩點間距離公式：則點則點M、A間的距離為間的距離為：.22byaxMA即：即：第8頁/共31頁 是否在圓上的點都適合這個方程？是否適合這是否在圓上的點都適合這個方程？是否適合這個方程的坐標的點都在圓上？個方程的坐標的點都在圓上？222)()(rbyax

5、 點點M(x, y)在圓上，由前面討論可知，點在圓上，由前面討論可知，點M的坐的坐標適合方程；反之，若點標適合方程；反之，若點M(x, y)的坐標適合方程，的坐標適合方程，這就說明點這就說明點 M與圓心的距離是與圓心的距離是 r ，即點，即點M在圓心為在圓心為A (a, b)，半徑為，半徑為r的圓上的圓上 把這個方程稱為圓心為把這個方程稱為圓心為A(a, b)，半徑長為，半徑長為r 的圓的圓的方程，把它叫做的方程，把它叫做圓的標準方程圓的標準方程.第9頁/共31頁即即 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2稱為圓心為稱為圓心為A(a,b),半徑長為半徑長為r的的圓的標準方程圓的標準方程問

6、題問題:圓的標準方程有什么特征圓的標準方程有什么特征?（1）有兩個變量）有兩個變量x,y，形式都是與某個實數差的平方，形式都是與某個實數差的平方；（2）兩個變量的系數都是）兩個變量的系數都是1 （3）方程的右邊是某個實數的平方，也就是一定為正數）方程的右邊是某個實數的平方，也就是一定為正數。第10頁/共31頁222)()(rbyax 因為圓心是原點因為圓心是原點O(0, 0)，將，將x0，y0和半徑和半徑 r 帶入圓的標準方程：帶入圓的標準方程： 圓心在坐標原點，半徑長為圓心在坐標原點，半徑長為r 的圓的方的圓的方程程是什么？是什么？ 得得：222)0()0(ryx 整理得整理得：222ryx

7、第11頁/共31頁 例例1 寫出圓心為寫出圓心為 ，半徑長等于，半徑長等于5的圓的方程，的圓的方程，并判斷點并判斷點 ， 是否在這個圓上是否在這個圓上)3, 2( A)7, 5(1M) 1, 5(2M 解：解：圓心是圓心是 ，半徑長等于，半徑長等于5的圓的標的圓的標準方程是：準方程是：)3, 2( A25) 3()2(22yx 把把 的坐標代入方程的坐標代入方程 左右兩邊相等，點左右兩邊相等，點 的坐標適合圓的方程，所以點的坐標適合圓的方程，所以點 在這個圓上；在這個圓上；)7, 5(1M25) 3()2(22yx1M1M) 1, 5(2M2M2M 把點把點 的坐標代入此方程，左右兩邊的坐標代

8、入此方程，左右兩邊不相等，點不相等，點 的坐標不適合圓的方程，所以點的坐標不適合圓的方程，所以點 不不在這個圓上在這個圓上第12頁/共31頁 怎樣判斷點怎樣判斷點 在圓在圓 內呢內呢？還是在圓外呢？還是在圓外呢？),(000yxM222)()(rbyaxAxyoM1M2M3 從上題知道，判斷一個點在不在某個圓上，只需從上題知道，判斷一個點在不在某個圓上，只需將這個點的坐標帶入這個圓的方程，如果能使圓的將這個點的坐標帶入這個圓的方程，如果能使圓的方程成立，則在這個圓上，反之如果不成立則不在方程成立，則在這個圓上，反之如果不成立則不在這個圓上這個圓上第13頁/共31頁 怎樣判斷點怎樣判斷點 在圓在

9、圓 內呢內呢？還是在圓外呢？還是在圓外呢？),(000yxM222)()(rbyaxAxyoM1M2M3 可以看到：點在圓外可以看到：點在圓外點到圓心的距離大于半徑點到圓心的距離大于半徑 r ； 點在圓內點在圓內點到圓心的距離小于半徑點到圓心的距離小于半徑 r 第14頁/共31頁 例例2 2 的三個頂點的坐標分別的三個頂點的坐標分別A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圓的方程，求它的外接圓的方程ABC 分析分析：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三角形有唯一的外接圓角形有唯一的

10、外接圓 解法一解法一：設所求圓的方程是：設所求圓的方程是 （1）222)()(rbyax 因為因為A(5,1), B(7,3)，C(2, 8) 都在圓上，所以它們的坐都在圓上，所以它們的坐標都滿足方程（標都滿足方程（1）于是）于是222222222)8()2()3()7()1 ()5(rbarbarba第15頁/共31頁所以，所以， 的外接圓的方程的外接圓的方程 ABC25)3()2(22yx解此方程組，得：解此方程組，得： 分析分析：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三：不在同一條直線上的三個點可以確定一個圓，三角形有唯一的外接圓角形有唯一的外接圓 解解： 例例2 2 的三個頂點的坐標

11、分別的三個頂點的坐標分別A A(5,1), (5,1), B B(7,(7,3)3)，C C(2, (2, 8)8)，求它的外接圓的方程，求它的外接圓的方程ABC待定系數法待定系數法.25, -3, 22rba第16頁/共31頁解法二：12108642-2-4-6-8-10-12-14-16-15-10-55101520OEDCBAl2l1因為A(5,1)和B(7,-3)，所以線段AB的中點的坐標為(6,-1)，直線AB的斜率1 3257ABk 因此線段AB的垂直平分線 l1 的方程是：1162yx 即：280 xy2225315rOA 所以，圓心為C的圓的標準方程是：222325xy因為B(

12、7,-3)和C(2,-8) ，所以線段BC的中點的坐標為(4.5,-5.5)，直線BC的斜率38172BCk 因此線段BC的垂直平分線 l2 的方程是：5.514.5yx 即：10 xy ABC的外接圓的圓心O的坐標是方程組 的解28010 xyxy 解得：23xy 即 O(2,-3)圓O的半徑長：第17頁/共31頁練習練習:.),3 , 1 () 1 , 1(軸上的圓的方程圓心在和求過點xDC 解解:.)(222ryax為依題意設所求圓的方程解方程組解方程組:2221)1(ra2223)1 (ra,10, 22ra得.10)2(22yx故所求圓的方程為第18頁/共31頁 例例3 .已知圓心為

13、已知圓心為C的圓經過點的圓經過點A(1, 1)和和B(2, 2)，且，且圓心圓心C在直線上在直線上l：x y+1=0，求圓心為，求圓心為C的圓的的圓的標準方程標準方程 分析分析：已知道確定一個圓只需要確定圓心的位置與半徑：已知道確定一個圓只需要確定圓心的位置與半徑大小圓心為大小圓心為C的圓經過點的圓經過點A(1, 1)和和B(2, 2)，由于圓心，由于圓心C與與A, B兩點的距離相等，所以圓心兩點的距離相等，所以圓心C在線段在線段AB的垂直平分線的垂直平分線 上又圓心上又圓心C在直線在直線l 上，因此圓心上，因此圓心C是直線是直線l與直線與直線 的交點的交點，半徑長等于，半徑長等于|CA|或或

14、|CB|ll 解解：因為因為A(1, 1)和和B(2, 2)，所以線段，所以線段AB的中點的中點D的坐的坐標標),21,23(直線直線AB的斜率的斜率:31212ABk第19頁/共31頁因此線段因此線段AB的垂直平分線的垂直平分線 的方程是的方程是l)23(3121xy即即033 yx圓心圓心C的坐標是方程組的坐標是方程組01033yxyx的解的解 例例3 已知圓心為已知圓心為C的圓經過點的圓經過點A(1, 1)和和B(2, 2)，且圓心，且圓心C在直線上在直線上l：x y+1=0，求圓心為，求圓心為C的圓的的圓的標準方程標準方程 解解：第20頁/共31頁所以圓心所以圓心C的坐標是的坐標是)2

15、, 3(圓心為圓心為C的圓的半徑長的圓的半徑長5) 21 () 31 (|22 ACr所以，圓心為所以，圓心為C的圓的標準方程是的圓的標準方程是25)2()3(22yx解此方程組，得解此方程組，得. 2, 3yx第21頁/共31頁222)3() 1(:ryx設所求圓的方程為的距離到直線圓心0643)3 , 1 ( yxC, 343|63413|22rXC(1、3)3x-4y-6=0Y0解解:9)3() 1( :22yx故所求圓的方程為第22頁/共31頁所求圓的方程為:(x+1)2+(y-2)2=1解解:222)2() 1(:ryx設所求圓的方程為, 1,故圓的半徑為軸相切因圓與y202C(2,

16、2)C(-2,-2)XY-2-2Y=X練習:求圓心在直線y=x上,同時和兩坐標軸相切,半徑為2的圓的方程.解解:(x-2)2+(y-2)2=4 (x+2)2+(y+2)2=4依題意得所求圓的方程為XY0-1C(-1,2) 第23頁/共31頁例5求經過圓上一點已知圓的方程是,222ryx.),(00的切線方程yxMXY0),(00yxM解一解一:)(,00 xxkyy設切線方程為如圖,00 xykOMOM的斜率為半徑00,yxkOM所以垂直于圓的切線因)(0000 xxyxyy切線方程為202000,yxyyxx整理得,22020ryx200ryyxx所求圓的切線方程為第24頁/共31頁例5求經

17、過圓上一點已知圓的方程是,222ryx.),(00的切線方程yxMXY0),(00yxM解二解二:)(,00 xxkyy設切線方程為如圖)(0000 xxyxyy切線方程為200ryyxx所求圓的切線方程為.000rkxyykxO的距離為到切線則圓心1|00|200kkxykr22020ryx202020220220002022yxykxkyykxxk00yxk第25頁/共31頁練習練習:.)6, 2(10) 1 (22的切線方程上一點寫出過圓Myx解解:.1062yx所求切線方程為20000222),(ryyxxyxMryx的切線方程為上點過圓.1, 1)2(22的切線方程斜率為求圓 yx解

18、解:. bxy設所求切線方程為12|b則2b. 2 xy解解:. 2 kxy設所求切線方程為1122k則, 1k.2xy的切線方程軸上的截距為在求圓2, 1)3(22yyx第26頁/共31頁 (1) 圓心為圓心為C(a,b)，半徑為，半徑為r 的圓的標準方程為的圓的標準方程為 (x-a) 2 + (y-b) 2 = r2 當圓心在原點時當圓心在原點時 ，圓的標準方程為，圓的標準方程為 x2 + y2 = r2 (2)推導圓的標準方程的方法與步驟？推導圓的標準方程的方法與步驟？(3)點與點與圓的位置關系？圓的位置關系？ (4) 如何求圓的標準方程如何求圓的標準方程? 由于圓的標準方程中含由于圓的標準方程中含有有 a , b , r 三個參數，因此必須具備三個參數，因此必須具備三個獨立的條件三個獨立的條件才能確定圓；對于由已知條件容易求得圓心坐標和圓才能確定圓；對于由已知條件容易求得圓心坐標和圓的半徑或需利用圓心坐標列方程的問題一般采用圓的的半徑或需利用圓心坐標列方程的問題一般采用圓的標準方程。標準方程。 (5)如何利用圓的標準方