1、計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO1第八章第八章 容差分析容差分析 南京理工大學南京理工大學李李 武武 森森2010年年03月月計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO28.1 引引 言言1. 電路中的元器件參數的數值電路中的元器件參數的數值是其是其標稱值容差標稱值容差范圍范圍內的一個內的一個隨機數值隨機數值。2. 電子產品的設計必須考慮元器件電子產品的設計必須考慮元器件參數容差參數容差的影響。的影響。3. 容差問題：容差問題： 包括包括容差設計容差設計與與容差分析容差分析。l 容差設計：容差設計：設計電路的標稱值設計電路的標稱值及及分配電路中元器件分配電

2、路中元器件參數的容差參數的容差。使：。使：A. 電路性能的電路性能的偏差最小偏差最小；或；或B. 在在保證電路性能滿足指標要求的條件下，保證電路性能滿足指標要求的條件下，允許元器件允許元器件參數的容差范圍最大參數的容差范圍最大。故：。故：容差設計問題也稱之為容差設計問題也稱之為電路參數的容差分配設計電路參數的容差分配設計。計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO38.1 引引 言言l 元器件的精度越高其誤差范圍越小，價格也越高。元器件的精度越高其誤差范圍越小，價格也越高。l 容差設計的目的：容差設計的目的：在電路滿足性能要求、盡可能價在電路滿足性能要求、盡可能價格低的情況下，實

3、現電路參數的最佳設計格低的情況下，實現電路參數的最佳設計。4. 容差分析容差分析l 指：在指：在給定電路參數容差范圍給定電路參數容差范圍的條件下，計算的條件下，計算器件器件參數變化對電路性能的影響參數變化對電路性能的影響。計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO48.1 引引 言言l 電路容差分析的兩種方法：電路容差分析的兩種方法：1 以靈敏度分析為基礎的方法以靈敏度分析為基礎的方法。A. 靈敏度分析靈敏度分析解決的是解決的是單個元器件參數變化單個元器件參數變化對電路對電路性能的影響；性能的影響；B. 容差分析容差分析是利用靈敏度信息解決是利用靈敏度信息解決多個元器件參數多個元

4、器件參數偏離標稱值偏離標稱值對電路性能的影響。對電路性能的影響。 如：最壞情況分析。如：最壞情況分析。計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO58.1 引引 言言2 統計方法：統計方法：l 利用概率統計的方法，通過已知器件參數的隨機分利用概率統計的方法，通過已知器件參數的隨機分布規律去計算電路特性的分布規律。布規律去計算電路特性的分布規律。 l 蒙特卡羅分析蒙特卡羅分析就是一種就是一種統計抽樣方法統計抽樣方法。這種方法。這種方法在在器件參數容差范圍內對參數進行隨機抽樣器件參數容差范圍內對參數進行隨機抽樣，對，對大量大量的抽樣值做電路仿真的抽樣值做電路仿真，計算出，計算出電路性能

5、的統計特性電路性能的統計特性和偏差范圍和偏差范圍。計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO68.2 器件參數的統計分布規律器件參數的統計分布規律8.2.1 隨機變量及其描述方法隨機變量及其描述方法l離散隨機變離散隨機變量的例子量的例子計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO78.2 器件參數的統計分布規律器件參數的統計分布規律8.2.1 隨機變量及其描述方法隨機變量及其描述方法1. 假定假定X是個離散隨機變量，事件是個離散隨機變量，事件X=xi表示測量一個表示測量一個電阻的阻值落在第電阻的阻值落在第i個子區間。顯然，事件個子區間。顯然，事件X=xi的的概率可近似

6、為：概率可近似為：2.,.2 , 1, iNNpxXPiiil如果抽樣點數如果抽樣點數N足夠大，上式就足夠精確。上式足夠大，上式就足夠精確。上式稱為稱為離散隨機變量離散隨機變量X的概率分布或分布規律的概率分布或分布規律。計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO82. 概率概率pi應滿足的兩個條件：應滿足的兩個條件：8.2 器件參數的統計分布規律器件參數的統計分布規律1,.2 , 1, 01iiipip3. 概率分布函數概率分布函數1 假定假定X是一個連續型隨機變量，是一個連續型隨機變量， ，x是是任意實數，函數：任意實數，函數：0)(xF計算機輔助電路設計與分析RED APPL

7、E STUDIO9稱為稱為X的分布函數。的分布函數。)(xXPxF8.2 器件參數的統計分布規律器件參數的統計分布規律2 如果將如果將X看成數軸上隨機點的坐標，那么分布函數看成數軸上隨機點的坐標，那么分布函數F(x)在在x處的函數值就表示處的函數值就表示 X落在區間落在區間 上的概率。上的概率。3 分布函數具有如下性質：分布函數具有如下性質： a. b. F(x)單調不減，即若單調不減，即若x1=M？i=i+1對仿真結果進行統計分析輸出電路性能的統計規律NYM:最大抽樣次數最大抽樣次數例如元器件參數的中心值和方差例如元器件參數的中心值和方差如：電路性能的中心值、方差以及電路的合格率等等。如：電

8、路性能的中心值、方差以及電路的合格率等等。計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO538.5.1 均勻分布隨機數的產生均勻分布隨機數的產生l 隨機變量模擬：隨機變量模擬：均勻分布隨機數均勻分布隨機數其它分布隨機數其它分布隨機數均勻分布均勻分布083333. 012/1)()()(33333. 031)(21)(0101)( 10222210XEXEXXExdxXEXxxpX方差，其二階矩的數學期望是其它，則其概率密度函數為上均勻分布的隨機變量，是設計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO54 同余法同余法1 產生均勻分布隨機數的最通用方法是同余法。產生均勻分布隨

9、機數的最通用方法是同余法。J其算法公式為：其算法公式為： xk=xk-1+c (mod m) k=1,2,其中，其中，xk, （乘子）（乘子）,c均為正整數（均為正整數（c=0乘同余算法，乘同余算法，c不等于零，混合同于算法）。不等于零，混合同于算法）。J給定初值給定初值x0（種子）（種子）, 就可以得到整數序列就可以得到整數序列xk。對每對每個個xk作變換作變換uk=xk/m, 則則uk(k=1,2,)就是就是0，1上的一上的一個隨機數序列。個隨機數序列。J如果如果uk通過了統計檢驗，那么就可以將通過了統計檢驗，那么就可以將uk作為作為0，1上的均勻分布隨機數。上的均勻分布隨機數。計算機輔助

10、電路設計與分析RED APPLE STUDIO552 序列的周期：序列的周期： l xk重復出現的子列的最短長度，稱為序列重復出現的子列的最短長度，稱為序列xk的周期，只的周期，只能取能取uk的一個周期作為可用的隨機序列。的一個周期作為可用的隨機序列。l 一般認為，當一般認為，當m=2i時時,偽隨機數序列的最大周期偽隨機數序列的最大周期T=2i-1。l 許多計許多計算機操作系統的算機操作系統的c語言函數庫中都提供了產生均勻語言函數庫中都提供了產生均勻分布隨機數的庫函數，并通過了各種測試和檢驗，可以根分布隨機數的庫函數，并通過了各種測試和檢驗，可以根據需要選用它們作為可用的均勻分布隨機數。據需要

11、選用它們作為可用的均勻分布隨機數。計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO56unix操作系統中產生均勻分布隨機數的庫函數如下：操作系統中產生均勻分布隨機數的庫函數如下：1. 庫函數庫函數rand()和和srand()l函數函數rand()用乘同余法來產生用乘同余法來產生0到到RAND_MAX之間均勻分布之間均勻分布的偽隨機整數的偽隨機整數，RAND_MAX是計算機的是計算機的C編譯器所確定的編譯器所確定的最大整數。函數最大整數。函數srand()的作用是為的作用是為rand()設定初值。設定初值。2. 庫函數庫函數random( )和和srandom( )l random()

12、產生產生0到到231-1間的均勻分布整數，最大周期長達間的均勻分布整數，最大周期長達16*(231-1)，比函數，比函數rand()的周期要長得多。的周期要長得多。l rand()產生的偽隨機數序列中每個整數的幾個低位的隨機性較產生的偽隨機數序列中每個整數的幾個低位的隨機性較差，而差，而 random()產生的偽隨機數每位都可用產生的偽隨機數每位都可用。l rand()的初始化只需一個初值，通過調用函數的初始化只需一個初值，通過調用函數srand()完成，而完成，而random()的初始化則要提供的初始化則要提供256字節長的狀態表完成。字節長的狀態表完成。計算機輔助電路設計與分析RED AP

13、PLE STUDIO573. 庫函數庫函數drand48()和和srand48()A. drand48()采用了線性同余法和采用了線性同余法和48位整數運算來產位整數運算來產生偽隨機序列，算法公式是：生偽隨機序列，算法公式是： （mod m）。）。其中：其中： m=248, a=5DEECE66D=273673163155, C=B16=138caxxkk1B. 用函數用函數srand48()對偽隨機數發生器對偽隨機數發生器drand48()進行進行初始化，初始化，只對只對48位整數的高位整數的高32位進行了初始化，而位進行了初始化，而其低其低16位被設定為隨機值。位被設定為隨機值。顯然，顯然

14、，這是一種統計特這是一種統計特性較好的偽隨機數發生器性較好的偽隨機數發生器。計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO581 在電路的蒙特卡羅分析中，一般在電路的蒙特卡羅分析中，一般電路的元器件參數電路的元器件參數的數目較多的數目較多，蒙特卡羅分析的，蒙特卡羅分析的抽樣點數也較大抽樣點數也較大，因，因此此要求隨機數發生器的周期足夠長要求隨機數發生器的周期足夠長，而且，而且隨機性要隨機性要好好，否則就會影響蒙特卡羅分析的精度。，否則就會影響蒙特卡羅分析的精度。2 對于對于不同的元器件參數不同的元器件參數，要得到不同的偽隨機數序要得到不同的偽隨機數序列列，則要，則要依靠設定初值依靠設

15、定初值x0來實現來實現。庫函數。庫函數srand()的的作用就是為作用就是為rand()設置初值。設置初值。 8.5 蒙特卡羅分析蒙特卡羅分析計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO593 在在使用所產生的偽隨機數之前，必須對它們進行使用所產生的偽隨機數之前，必須對它們進行統計檢驗統計檢驗，包括，包括參數檢驗參數檢驗、均勻性檢驗均勻性檢驗、獨立性獨立性檢驗檢驗和和組合規律性檢驗組合規律性檢驗，以確定這些隨機數是否，以確定這些隨機數是否符合符合均勻性、獨立性、周期長均勻性、獨立性、周期長等等均勻分布隨機數均勻分布隨機數所應滿足的統計特性所應滿足的統計特性。8.5 蒙特卡羅分析蒙特

16、卡羅分析計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO608.5.2 隨機變量的抽樣隨機變量的抽樣l 分布的各種抽樣方法分布的各種抽樣方法獲得均勻分布的隨機數之后，可以對它們進行變獲得均勻分布的隨機數之后，可以對它們進行變換，以得到其它統計分布規律的隨機數，因此換，以得到其它統計分布規律的隨機數，因此由由均勻隨機數均勻隨機數到到給定分布的隨機數給定分布的隨機數的的各種變換方法各種變換方法，就稱為就稱為該分布的各種抽樣方法該分布的各種抽樣方法。8.5 蒙特卡羅分析蒙特卡羅分析計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO611. 變換法變換法l解決問題：如何把符合均勻分布的隨

17、機變量解決問題：如何把符合均勻分布的隨機變量X的點變換為符合的點變換為符合任一已知分布的隨機變量任一已知分布的隨機變量Y的點。的點。l設在設在0,1區間服從均勻分布的隨機變量區間服從均勻分布的隨機變量X的概率密度函數為：的概率密度函數為： 的函數。影射為，此即為把故：，由此可得：，則有：區間內，來說，在對均勻分布的其中：即：定理，可得：，那么根據概率的基本的概率密度函數是若。求變換為隨機變量將用式：其它YXXFyxdxdy)()y(F)(1)( 10X)()(|)(| )()(|)(|)(|)()(0101)(1x0y-1ypdxdyypypxyydydxypdydxxpypdxxpdyypy

18、pYYXxyxxp計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO62均勻分布隨機數均勻分布隨機數目標概率分布函數目標概率分布函數目標分布隨機數目標分布隨機數計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO63例子例子1：指數分布的抽樣：指數分布的抽樣布隨機變量的抽樣值。后就可得到指數分量抽樣值，按上式變換區間均勻分布的隨機變，首先產生在布的隨機變量的抽樣值如果要求產生指數分其它系為：，即它們之間的變換關有關系式之間與指數分布的隨機變量上均勻分布的隨機變量，在是：對應的概率分布函數為常數，其中，其它密度函數為：服從指數分布，其概率隨機變量 10010)1ln()()( 1000

19、01)(000)(1xxxFyyFxYXyyeyFyeypYyy計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO64例子例子2 標準正態分布的抽樣標準正態分布的抽樣的隨機變量。正態分布為相互獨立且服從標準的絕對值。由此可知，為行列式）矩陣，為雅克比（其中：數為：的二維聯合概率密度函可以推導出隨機變量；變換：解此方程組，得到反；作如下變換：分布的隨機變量，上兩個相互獨立的均勻，是在區間設) 1 , 0(,|)21)exp(21exp(21)(21exp21|),(),(,)arctan(21)(21exp)2sin(ln2)2cos(ln2 10,21222122212121211222

20、221121221121NyyJacobianXyyyyXxxpyypyyyyxyyxxxyxxyxxyy計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO65即為所需隨機數。值，則的，再計算滿足：區間均勻分布隨機變量，先產生其分布函數為：其密度函數為：的可能取值為設。量產生離散分布的隨機變反變換法也可以用來kkkkkkkkykyFxyFXyypyYPyFkyYPpyyyYY)()( 10)()(,.3 , 2 , 1),(,121l 離散隨機離散隨機變量的反變量的反變換法變換法計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO66例例8.5.1 離散隨機變量離散隨機變量Y統計分布

21、為離散分布，用反變統計分布為離散分布，用反變換法由換法由0，1區間均勻分布的隨機變量區間均勻分布的隨機變量X產生離散正產生離散正態分布的隨機變量態分布的隨機變量Y的抽樣。的抽樣。計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO672. 舍選抽樣法舍選抽樣法）。（）步驟（否則重復為所需分布的隨機數；時，接受）當（；區間均勻分布隨機數）產生（；區間均勻分布隨機數）產生（下：分布的隨機數的步驟如舍選抽樣法產生這種則必有：有界，其取值區間為的概率密度函數假定隨機變量31)(3, 02,1| )(max,)(xxfyycxbabxaxfcbaxfX通常通常 C=1X的概率密度函數的概率密度函數計

22、算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO68）（）否則，重復步驟（；為標準正態分布隨機數時，接受）當（；區間均勻分布隨機數，）產生（；區間均勻分布隨機數）產生（數的步驟如下：區間標準正態分布隨機產生的密度函數為：標準正態分布準正態分布隨機數時，用舍選抽樣法產生標312132102,1,21)(2222xeyyxaaaaexfxx例子：舍選抽樣法產生標準正態分布隨機數例子：舍選抽樣法產生標準正態分布隨機數計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO698.5.3 蒙特卡羅法在電路仿真中的應用蒙特卡羅法在電路仿真中的應用1. 蒙特卡羅問題：蒙特卡羅問題：在不同器件參數抽樣

23、序列情況下重在不同器件參數抽樣序列情況下重復進行電路仿真，并對仿真結果進行統計分析，最復進行電路仿真，并對仿真結果進行統計分析，最后求出電路性能的數學期望、均方差以及電路的合后求出電路性能的數學期望、均方差以及電路的合格率、合格率標準偏差等統計特性。格率、合格率標準偏差等統計特性。2. 許多商用的電路仿真器都具有蒙特卡羅分析功能許多商用的電路仿真器都具有蒙特卡羅分析功能，如如Pspice, HSPICE及及Mentor Graphics，Cadence, View logic等等EDA公司的電路仿真工具。公司的電路仿真工具。8.5 蒙特卡羅分析蒙特卡羅分析計算機輔助電路設計與分析RED APPLE STUDIO703. 蒙特卡羅分析時，蒙特卡羅分析時，可以輸出可以輸出:4.1 每次抽樣時電路仿真的結果每次抽樣時電路仿真的結果;5.2 經過用戶指定的經過用戶指定的N次抽樣仿真后計算出的電路次抽樣仿真后計算出的電路性能的均值、最大值、最小值、