1、第第5 5章章 線性定常系統的綜合線性定常系統的綜合1. 引言引言2. 狀態反饋和輸出反饋狀態反饋和輸出反饋3. 狀態反饋系統的能控性和能觀測性狀態反饋系統的能控性和能觀測性4. 極點配置極點配置5. 鎮定問題鎮定問題6. 狀態重構和狀態觀測器狀態重構和狀態觀測器7. 降階觀測器降階觀測器8. 帶狀態觀測器的狀態反饋系統帶狀態觀測器的狀態反饋系統9. 漸近跟蹤和干擾抑制問題漸近跟蹤和干擾抑制問題10. 解耦問題解耦問題11. MATLAB的應用的應用本章內容為本章內容為:研究研究分析：對于一個具體的控制系統和已知的外部分析：對于一個具體的控制系統和已知的外部輸入，如何從理論上對它的輸入，如何從

2、理論上對它的運動行為運動行為如狀如狀態運動規律、穩定性等，態運動規律、穩定性等，結構特性結構特性如結構如結構特征、能控性、能觀測性等進行確定特征、能控性、能觀測性等進行確定。 綜合：給定系統方程，綜合：給定系統方程，根據對系統性能的要根據對系統性能的要求，如何求，如何確定確定系統的系統的外部輸入外部輸入即控制作即控制作用用，使系統的性能能全面，使系統的性能能全面滿足技術要求滿足技術要求。 通?？刂谱饔萌橥ǔ？刂谱饔萌榉答佇问椒答佇问?。無論是抑制外。無論是抑制外部擾動的影響還是減少內部參數變動的影響，反部擾動的影響還是減少內部參數變動的影響，反饋控制都要遠優越于非反饋控制。饋控制都要遠優越于

3、非反饋控制。 本章以狀態空間方法為基礎，針對常用典型本章以狀態空間方法為基礎，針對常用典型形式性能指標，討論線性時不變系統的反饋控制形式性能指標，討論線性時不變系統的反饋控制綜合問題。綜合問題。 綜合問題的提法綜合問題的提法系統的綜合問題由系統的綜合問題由受控系統受控系統，性能指標性能指標和控制輸入控制輸入三個要素組成。三個要素組成。 所謂所謂系統綜合系統綜合，就是對給定受控系統，確定反饋形式的控制就是對給定受控系統，確定反饋形式的控制u(t) ，使所導出閉環系統的運動行為達到或優于指定的期望性能指標使所導出閉環系統的運動行為達到或優于指定的期望性能指標 。對象目標手段CxytxxBuAxx0

4、) 0(:00狀態反饋輸入狀態反饋輸入：u (t) =Kx(t)+ (t)輸出反饋輸入輸出反饋輸入：u (t) =Fy(t)+ (t)系統綜合系統綜合 系統設計系統設計理論理論“設計設計”確定確定u(t)的形式和的形式和構成構成工程設計考慮各種工程設計考慮各種實際問題實際問題性能指標的類型性能指標的類型 性能指標性能指標實質上是對所要綜合的控制系統在運動過程行為上的一種實質上是對所要綜合的控制系統在運動過程行為上的一種規定規定。非優化型性能指標非優化型性能指標 (不等式型不等式型)優化性型能指標優化性型能指標(極值型極值型)（1）鎮定問題）鎮定問題（2）極點配置）極點配置（3）解耦控制）解耦控

5、制（4）跟蹤問題）跟蹤問題dtJTT0)()(RuuQxxu研究綜合問題的思路研究綜合問題的思路建立建立可綜合條件可綜合條件控制規律的控制規律的“算法算法”工程實現中的一些理論問題工程實現中的一些理論問題（1）狀態反饋物理構成問題）狀態反饋物理構成問題（2）系統模型不準確性和參數攝動問題）系統模型不準確性和參數攝動問題（3）對外部擾動影響的抑制問題）對外部擾動影響的抑制問題控制規律的控制規律的“算法算法”綜合問題的綜合問題的計算方法和步驟計算方法和步驟，適于編程適于編程，數值穩定性。數值穩定性。狀態反饋狀態反饋設連續時間線性時不變系統設連續時間線性時不變系統 CxytxxBuAxx0) 0(:

6、00BCAx xyuK狀態反饋下受控系統的輸入為狀態反饋下受控系統的輸入為：u =Kx+，KRpnCxyKxBAxxxf)(:狀態反饋系統狀態反饋系統xf 的狀態空間描述為：的狀態空間描述為： CxytxxBxBKAxxf0)0()(:0特征值改變特征值改變GK(s)=C(sI-A+BK)-1B結論結論1：對連續時間線性時不變系統，狀態反饋保持能控性，不保持能觀測性。對連續時間線性時不變系統，狀態反饋保持能控性，不保持能觀測性。 維數沒有增加維數沒有增加輸出反饋輸出反饋設連續時間線性時不變系統設連續時間線性時不變系統 CxytxxBuAxx0) 0(:00BCAx xyuF輸出反饋下受控系統的

7、輸入為輸出反饋下受控系統的輸入為：u =Fy+，FRpqCxyFyBAxx)(:yf輸出反饋系統輸出反饋系統yf 的狀態空間描述為的狀態空間描述為： CxytxxBxBFCAx0)0()(:0yf維數沒有增加GF(s)=C(sI-A+BFC)-1B結論2：對連續時間線性時不變系統，對連續時間線性時不變系統，輸出反饋保持能控性和能觀測性。輸出反饋保持能控性和能觀測性。 GF(s)=G0(s)I+FG0(s)-1特征值改變特征值改變狀態反饋和輸出反饋的比較狀態反饋和輸出反饋的比較 反饋屬性反饋屬性：狀態反饋為系統結構信息的完全反饋，輸出反饋則是系統結構信息狀態反饋為系統結構信息的完全反饋，輸出反饋

8、則是系統結構信息的不完全反饋的不完全反饋。反饋功能反饋功能：狀態反饋在功能上遠優于輸出反饋狀態反饋在功能上遠優于輸出反饋。改善輸出反饋的途徑改善輸出反饋的途徑：擴展輸出反饋（動態輸出反饋）擴展輸出反饋（動態輸出反饋）BCAx xyu并聯補償器并聯補償器串聯補償器串聯補償器反饋實現上反饋實現上，輸出反饋要優越于狀態反饋。輸出反饋要優越于狀態反饋。解決狀態反饋物理實現的途徑解決狀態反饋物理實現的途徑：引入狀態觀測器引入狀態觀測器BCAx xyu狀態觀測器狀態觀測器Kx 擴展狀態反饋和擴展輸出反饋的等價性擴展狀態反饋和擴展輸出反饋的等價性。5.3 5.3 狀態反饋的能控性和能觀測性狀態反饋的能控性和

9、能觀測性線性定常系統方程為線性定常系統方程為CxyBuAxx （6）引入狀態反饋引入狀態反饋KxVu（7）CxyBVBK)xAx(則有則有（8）定理定理5-15-1 線性定常系統（線性定常系統（6）引入狀態反饋后，成為系統（）引入狀態反饋后，成為系統（8），不），不改變系統的能控性。改變系統的能控性。對任意的對任意的K 矩陣，均有矩陣，均有證明證明 IKIBAIBBKAI0)(BAIBBKAIrank)(rankIKI0因為因為 滿秩，所以對任意常值矩陣滿秩，所以對任意常值矩陣K 和和 ，均有，均有（9）（9）式說明，引入狀態反饋不改變系統的能控性。但是，狀態）式說明，引入狀態反饋不改變系統的

10、能控性。但是，狀態反饋可以改變系統的能觀測性，見例反饋可以改變系統的能觀測性，見例5-1。5.4 5.4 極點配置極點配置定理定理 線性定常系統可以通過狀態反饋進行極點配置的充分必要條線性定常系統可以通過狀態反饋進行極點配置的充分必要條件是：系統狀態完全能控。件是：系統狀態完全能控。狀態反饋狀態反饋KxVu（11）線性定常系統線性定常系統CxBAxxyu（10）CxbbK)xAxyV(狀態反饋系統方程狀態反饋系統方程（12）因為因為A 和和 b 一定，確定一定，確定K 的就可以配置系統的極點。的就可以配置系統的極點。經過線性變換經過線性變換 ，可以使系統具有能控標準形。，可以使系統具有能控標準

11、形。xPx1（13）uaaan100100001000010110 xxx110ny系統傳遞函數：系統傳遞函數：)()()(011101221111ssasasasssssssgnn-nnn-nn- bAICbAIC（14）（15）引入狀態反饋引入狀態反饋xKxKPKxVVVu1令令1101nkkkKPK（16）其中其中 為待定常數為待定常數110,nkkk)()()(1001010010010111100110110nnnnkakakakkkaaaKbA狀態反饋系統特征多項式為狀態反饋系統特征多項式為)()()()(det)(0011111kaskaskasssnnnnKKbAI（17）設狀

12、態反饋系統希望的極點為設狀態反饋系統希望的極點為nsss,21其特征多項式為其特征多項式為*0*11*11*)()(asasassssnnnniiK（18）比較（比較（17）式和（）式和（18）式，選擇）式，選擇 使同次冪系數相同。有使同次冪系數相同。有ik1*11*10*0nnaaaaaaK（19）而狀態反饋矩陣而狀態反饋矩陣110nkkkPKK例例5-35-3 某位置控制系統（伺服系統）簡化線路如下某位置控制系統（伺服系統）簡化線路如下DiiiKu 為了實現全狀態反饋，電動機軸上安裝了測速發電機為了實現全狀態反饋，電動機軸上安裝了測速發電機TG，通過霍爾電流傳感器測得電樞電流通過霍爾電流傳

13、感器測得電樞電流 ，即，即 。已知折算到電。已知折算到電動機軸上的粘性摩擦系數動機軸上的粘性摩擦系數 、轉動慣量、轉動慣量 ；電；電動機電樞回路電阻動機電樞回路電阻 ；電樞回路電感；電樞回路電感 ；電動勢系數；電動勢系數為為 、電動機轉矩系數為、電動機轉矩系數為 。選擇。選擇 、 、 作為狀態變量。將系統極點配置到作為狀態變量。將系統極點配置到 和和 ，求，求K 陣。陣。TGTGKuDim/(rad/s)N1 f2mkg1DJ1DRH1 . 0DLV/(rad/s)1 . 0eKm/AN1mKoDi31j10解解 1. 建立系統狀態空間模型建立系統狀態空間模型)(oiKuoAAuKuAPDuK

14、u DDDDeDddiRtiLKuFDmDddTiKftJtdoDo321ixxxx 為恒定的負載轉矩為恒定的負載轉矩FT2o1ddxtxDFDDmD2ddJTiJKJftxDeDDDDDD31ddLKuLiLRtix 將主反饋斷開，系統不可變部分，代入參數后，系統方程為將主反饋斷開，系統不可變部分，代入參數后，系統方程為FD32132101010001010110010Tuxxxxxx321001xxxy2. 計算狀態反饋矩陣計算狀態反饋矩陣9901001011010010002bAAbbQC3rankCQ所以系統能控所以系統能控計算出狀態反饋矩陣計算出狀態反饋矩陣 1 . 02 . 142

15、10KKKK狀態反饋系統的狀態圖如圖（狀態反饋系統的狀態圖如圖（c）所示（沒有畫出）所示（沒有畫出 ）。）。FT經過結構變換成（經過結構變換成（d）圖所示的狀態圖）圖所示的狀態圖10K因為位置主反饋因為位置主反饋，其他參數的選擇應該滿足：，其他參數的選擇應該滿足：440PAKKKKP12 . 1KK P21 . 0KK 驗證驗證：求圖（：求圖（d）系統的傳遞函數，其極點確實為希望配置的極）系統的傳遞函數，其極點確實為希望配置的極點位置。點位置。極點配置是一類最為典型和最為簡單的綜合問題。極點配置是一類最為典型和最為簡單的綜合問題。 問題的提法問題的提法給定連續線性時不變單輸入受控系統給定連續線

16、性時不變單輸入受控系統BuAxx 控制系統的性能主要取決于系統極點在根平面上的分布。因此作控制系統的性能主要取決于系統極點在根平面上的分布。因此作為綜合系統性能指標的一種形式，往往是給出一組為綜合系統性能指標的一種形式，往往是給出一組期望閉環極點組期望閉環極點組。極點配置問題極點配置問題，就是通過選擇線性反饋增益矩陣，將閉環系統的極點就是通過選擇線性反饋增益矩陣，將閉環系統的極點恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所期望的動態性能。恰好配置在根平面上所期望的位置，以獲得所期望的動態性能。 任意指定期望閉環極點組：任意指定期望閉環極點組： 1*, 2*, , n* 在狀態反饋下，控制輸入為：u

17、 =Kx+，KRpnBxBKAx)(閉環系統為：其特征值滿足其特征值滿足： i(A-BK) = i* , i=1,2, n 期望閉環極點組(1)期望閉環極點組的性能指標屬性期望閉環極點組的性能指標屬性二重性二重性理論計算：期望閉環極點組理論計算：期望閉環極點組控制工程：直觀性能指標控制工程：直觀性能指標(2)控制工程中基本類型的性能指標控制工程中基本類型的性能指標時間域：時間域： ，ts，tr，td，tp頻率域：頻率域：Mr , r , cc可以相互轉化可以相互轉化(3)基本類型性能指標和期望閉環極點組的主導極點對的關系基本類型性能指標和期望閉環極點組的主導極點對的關系2211,nnjss(4

18、)期望閉環極點組的確定期望閉環極點組的確定工程型的性能指標工程型的性能指標2211,nnjssn-2個期望閉環極點個期望閉環極點Re(si) =(4 6)Re(s1) , i=3,4, n 極點配置定理極點配置定理 對單輸入對單輸入n 維連續時間線性時不變受控系統：維連續時間線性時不變受控系統： buAxx系統全部系統全部n個極點可個極點可任意任意配置的充分必要條件為配置的充分必要條件為（A，b）完全能控完全能控。 極點配置算法極點配置算法思路：思路： 在受控系統能控條件下，將狀態空間描述化為能控規范型，在受控系統能控條件下，將狀態空間描述化為能控規范型，由于 0111)(ssssssnnnc

19、AIAI注：注：當系統不完全能控時，若不能控部分特征值屬于期望閉環特征值當系統不完全能控時，若不能控部分特征值屬于期望閉環特征值 ， 仍然能夠配置系統的全部閉環極點仍然能夠配置系統的全部閉環極點xPx1xxbuPAPxPxccccyubA1111,1111nnnbAbbAP*0*11*1*1*)()(sssssnnnini極點配置算法極點配置算法Step1: 判別（判別（A，b）能控性）能控性Step2: 計算矩陣計算矩陣A特征多項式特征多項式det(sI-A)= (s)=sn+ n-1sn-1+ 1s+ 0Step3: 計算由期望閉環特征值計算由期望閉環特征值 *1,n決定的期望特征多項式決

20、定的期望特征多項式 *0*11*1*1*)()(sssssnnniniStep4: 計算計算1*11*10*0,nnkxPkxkkx1uQkk 11,1111nnnbAbbAPStep5：計算能控規范性變換矩陣：計算能控規范性變換矩陣 Step6：計算：計算 Q = P -1Step7：計算：計算 Qkk Step8：停止計算：停止計算 注釋注釋: 對于一個給定的系統，矩陣對于一個給定的系統，矩陣K不是唯一的，而是依賴于選擇期望閉環不是唯一的，而是依賴于選擇期望閉環極點的位置（這決定了響應速度與阻尼），這一點很重要。極點的位置（這決定了響應速度與阻尼），這一點很重要。注意，所期望的閉環極點或所

21、期望狀態方程的選擇是在誤差向量的快注意，所期望的閉環極點或所期望狀態方程的選擇是在誤差向量的快速性和干擾以及測量噪聲的靈敏性之間的一種折衷。也就是說，如果加快速性和干擾以及測量噪聲的靈敏性之間的一種折衷。也就是說，如果加快誤差響應速度，則干擾和測量噪聲的影響通常也隨之增大。誤差響應速度，則干擾和測量噪聲的影響通常也隨之增大。如果系統是如果系統是2階的，那么系統的動態特性（響應特性）正好與系統期望階的，那么系統的動態特性（響應特性）正好與系統期望的閉環極點和零點的位置聯系起來。對于更高階的系統，所期望的閉環極的閉環極點和零點的位置聯系起來。對于更高階的系統，所期望的閉環極點位置不能和系統的動態特

22、性（響應特性）聯系起來。點位置不能和系統的動態特性（響應特性）聯系起來。因此，在決定給定系統的狀態反饋增益矩陣因此，在決定給定系統的狀態反饋增益矩陣K時，最好通過計算機仿時，最好通過計算機仿真來檢驗系統在幾種不同矩陣（基于幾種不同的所期望的特征方程）下的真來檢驗系統在幾種不同矩陣（基于幾種不同的所期望的特征方程）下的響應特性，并且選出使系統總體性能最好的矩陣響應特性，并且選出使系統總體性能最好的矩陣K。 例例1連續時間線性時不變狀態方程為連續時間線性時不變狀態方程為uxx0011210061000期望閉環極點為期望閉環極點為jj112*3*2*1計算狀態反饋陣計算狀態反饋陣K解：容易判斷解：容

23、易判斷 系統能控系統能控sssssAsI72181210061000)det(23計算由期望閉環極點組決定的特征多項式計算由期望閉環極點組決定的特征多項式 464)1)(1)(2()()(2331*sssjsjssssii 0= 0， 1= 72， 2=18 0*= 4， 1*= 6， 2*=414,66, 4,2*21*10*0k001011211872118720118001001016100111,2122bAbbAP計算計算 14418112101001PQ1220186,14144181121010014,66, 4 Qkk如果是低階系統（如果是低階系統（n 3），則將線性反饋增益矩

24、陣），則將線性反饋增益矩陣K直接代入期望的直接代入期望的特征多項式，可能更為簡便。特征多項式，可能更為簡便。 12100610011210061000210210kkkkkkBKA由期望閉環極點組決定的特征多項式由期望閉環極點組決定的特征多項式 464)1)(1)(2()()(2331*sssjsjssssii210102031272)7218()18(kkkskksksBKAsI)(*sBKAsI4127267218418210100kkkkkk1220186,14k i(A-BK) = i* , i=1,2, n 多輸入情形的極點配置在研究思路和計算方法都要復雜一些。多輸入情形的極點配置在

25、研究思路和計算方法都要復雜一些。系統的循環性系統的循環性定義：循環矩陣和循環系統 當系統矩陣A的特征多項式 (s)和最小多項式 (s)之間只存在常數類型的的公因子k，即有 (s)= k (s) ，則A為循環矩陣，系統為循環系統。(1)循環系統的約當規范型當且僅當系統矩陣A的約當規范型中相應于每個不同特征值僅有一個約當塊。(2)循環系統的特征值屬性若系統矩陣A的特征值為兩兩互異，則系統為循環。(3)循環系統的能控屬性對多輸入n維連續時間線性時不變循環系統 ，至少存在一個n為列向量b，使向量組b，Ab，An-1b張滿整個n維空間，即A，b為完全能控。 結論：結論：BuAxx(4)循環系統的能控屬性

26、對多輸入n維連續時間線性時不變循環系統 ， A，B為完全能控，則對幾乎所有的p1實向量 ，使單輸入矩陣對A，B 為完全能控。(5)非循環系統的循環化對多輸入n維連續時間線性時不變非循環非循環系統 ， A，B為完全能控，則對幾乎所有的pn實常陣K，可使ABK 為循環。BuAxxBuAxx極點配置定理：極點配置定理：對多輸入n維連續時間線性時不變系統 BuAxx系統可通過狀態反饋任意配置全部n個極點的充分必要條件為A,B完全能控。 極點配置算法：極點配置算法： 對于多輸入n維連續時間線性時不變受控系統，可以采用多種多種算法確定極點配置狀態反饋矩陣K。假定受控系統為完全能控?？刂乒こ讨袔缀跛惺芸叵?/p>

27、統都為能控！控制工程中幾乎所有受控系統都為能控！極點配置算法極點配置算法1：（化多輸入系統為單輸入系統極點配置）（化多輸入系統為單輸入系統極點配置）給定n維多輸入連續時間線性時不變受控系統A,B和一組任意期望閉環特征值 *1,n要求確定一個pn狀態反饋矩陣K，使 niBKAii, 2 , 1,)(*step1.判斷A的循環性，若非循環，選取一個pn實常陣K1，使 )(1BKAA為循環；若循環，表 AA step2:選取一個p1實常向量 ，表b=B ，使 bA, 為完全能控 step3.對等價單輸入系統 ，利用單輸入情形極點配置算法，計算狀態反饋向量k。 bA,step4.對A為循環，K k；對

28、A為非循環，K kK1 注： 由于K1和 的不惟一性，狀態反饋矩陣K不惟一和秩1性，通常希望 K1和 的選取使K的各個元盡可能小。step5.停止計算例例1連續時間線性時不變狀態方程為uxx10111001期望閉環極點為21*2*1，計算狀態反饋陣K解：解：容易判斷 系統能控2) 1(1001)det(sssAsI10101111ABBQc(1)判斷A的循環性11001) 1(10011001)(2ssssssAsI11 (s) k (s)A不是循環矩陣任意選取一個pn實常陣K111001K01121BKAA2) 1()det(sAsI2) 1(211)(sssAsI1A是循環矩陣注：最小多項

29、式注：最小多項式 (s)= 1det()sIAdsd1是最大公因式是最大公因式adj（）（）21(2)選取一個p1實常向量 ，表b=B ，使 bA,為完全能控 11151KkK21221212bAbQc221Bb當 1=1， 2=0時，bA,為完全能控 0101Bb(3)對等價單輸入系統 ，利用單輸入情形極點配置算法，計算出狀態反饋向量 k = 5 1 。 bA,(4) A為非循環，K kK1 (5) 校核)2)(1(123)det(ssssBKAsI由于K1， 的不惟一性，使K非唯一。例如：10011K1062011KkKk = -2 5 K的這種非唯一性是的這種非唯一性是多輸入多輸入系統與

30、單輸入系統極點配置問題主要區別之一系統與單輸入系統極點配置問題主要區別之一。如何充分利用K的自由參數,以滿足系統其它性能的要求,是多輸入系統狀態反饋設計的一個活躍的研究領域。3332313035343332312928272621202322211918171615141311101100000000010000000001000000000010000000000100000000010ASSA極點配置算法極點配置算法2：給定n維多輸入多輸入連續時間線性時不變受控系統A,B和一組任意期望閉環特征值 *1,n要求確定一個pn狀態反饋矩陣K，使 niBKAii, 2 , 1,)(*step1.將

31、能控矩陣對 A,B化為龍伯格龍伯格能控規范型。設；100000000000010000010000001BSB33*3332*3231*3130*302928272621*2120*20291928182717261621*211520*201412*1211*1110*1000)()(000000Kstep3: 對龍伯格龍伯格能控規范型 ，按如下形式選取pn狀態反饋矩陣 ，例如：AKstep2: 將期望閉環特征值組 ，按龍伯格龍伯格能控規范型 的對角塊陣個數和維數，分組并計算每組對應的特征多項式 ，例如：*1,n*10*112*123*31*1)()(sssssii*20*212*54*2)

32、()(ssssii*30*312*323*334*96*3)()(ssssssiiBA,step5.計算所求狀態反饋矩陣 。注： 此算法有兩個優點：(1)計算過程規范(2)狀態反饋矩陣的元比算法1小得多。step6.停止計算step4: 計算化A,B為為龍伯格龍伯格能控規范型 的變換矩陣 。1SBA,1SKK極點配置算法極點配置算法3：給定n維多輸入多輸入連續時間線性時不變受控系統A,B和一組任意期望閉環特征值 *1,n要求確定一個pn狀態反饋矩陣K，使 niBKAii, 2 , 1,)(*，并引入附加限制：niAii, 2 , 1),(*Step1.任意選取一個nn實常陣F ，使滿足 niF

33、ii, 2 , 1,)(*Step1.任意選取一個nn實常陣F ，使滿足 niFii, 2 , 1,)(*作為參考，F陣可按如下方式選取，由期望閉環特征值組 導出相應特征多項式 *1,n*0*11*1*1*)()(sssssnnnini引入任意非奇異實常陣H，可將F陣取為：11101000001000010HHFnStep2.任意選取一個Pn實常陣 ，使 為能觀測。KKF,Step3.對給定矩陣A,B,F和 ，求解希爾維斯特(sylvester)方程。KKBTFAT的nn非奇異解陣T。step4.判斷T非奇異性。若T非奇異，繼續，否則返回step2重新選擇 。Kstep6.計算所求狀態反饋矩陣

34、 。注： 此算法有兩個特點：(1)相對于算法2，避免了化A,B為為龍伯格龍伯格能控規范型 的過程。(2)主要計算步驟為求解希爾維斯特(sylvester)方程非奇異解陣T 。step7.停止計算step5: 計算 。1T1TKKBA,狀態反饋對系統傳遞函數矩陣零點的影響狀態反饋對系統傳遞函數矩陣零點的影響 結論：對完全能控n維單輸入單輸出連續時間線性時不變系統，引入狀態反饋任意配置傳遞函數全部n個極點的同時，一般不影響其零點。 注：實際上，通過狀態反饋有可能將g(s)的部分極點配置為與g(s)的零點相重，構成零極點對消從而對零點產生影響。這也是對狀態反饋不能保證能觀測性的一個直觀解釋。單輸入單

35、輸出情形單輸入單輸出情形結論：對完全能控n維多輸入多輸出連續時間線性時不變系統，狀態反饋在配置傳遞函數矩陣全部n個極點同時，一般不影響其零點。定義：設完全能控能控多輸入多輸出連續時間線性時不變系統 CxyBuAxx其傳遞函數矩陣G(s)=C(SI-A) -1 B, G(s)的極點為其特征方程式的根。 零點定義零點定義: 使得使得 ),min(0qpnCBASIrank的所有的所有s值值 多輸入多輸出情形多輸入多輸出情形注：實際上，G(s)的每個元傳遞函數的零點有可能改變。推論1：對相同極點配置的不同K1和K2，其對應的閉環傳遞函數矩陣C(SI-A+BK1) -1 B和C(SI-A+BK2) -

36、1 B一般不同，從而系統的狀態響應和輸出響應也不同。推論2：在極點配置綜合問題中，一個狀態反饋矩陣被稱為是較好的狀態反饋矩陣被稱為是較好的，如果其元反饋系數總體較小反饋系數總體較小和閉環系統的響應較好閉環系統的響應較好。算法2：基于龍伯格能控規范型的算法較好。結論：對完全能控連續時間線性時不變受控系統 CxyBuAxx采用輸出反饋 vFyu，一般不能任意任意配置系統全部極點。 結論：對完全能控n維單輸入單輸出連續時間線性時不變受控系統 CxyBuAxx采用輸出反饋 ，只能使用閉環系統極點配置到根軌跡上，而不能任意配置到根軌跡以外位置上。 vFyuniBFCAii, 2 , 1,)(*Cxytx

37、xBxBFCAx0)0()(:0yf 通過合理選取補償器結構和特性，可對帶補償器輸出反饋系統的全部極點進行任意任意配置。 BCAx xyu并聯補償器并聯補償器串聯補償器串聯補償器5.5 5.5 鎮定問題鎮定問題鎮定問題鎮定問題 非漸近穩定系統通過引入狀態反饋，實現漸近穩定非漸近穩定系統通過引入狀態反饋，實現漸近穩定（23）定理定理5-25-2 SISO線性定常系統方程為線性定常系統方程為CxbAxxyu顯然，能控系統可以通過狀態反饋實現鎮定。顯然，能控系統可以通過狀態反饋實現鎮定。如果系統不能控，引入狀態反饋能鎮定的充要條件為：不能控的狀如果系統不能控，引入狀態反饋能鎮定的充要條件為：不能控的

38、狀態分量是漸近穩定的。態分量是漸近穩定的。那么，如果系統不能控，還能不能鎮定呢？請見定理那么，如果系統不能控，還能不能鎮定呢？請見定理5-2。CCC12CCCCxxAAbuxx0A0CCCCxyCC x有能控分解得有能控分解得系統系統 （23）不能控且狀態）不能控且狀態 有有 個狀態分量能控，個狀態分量能控，則存在線性變換則存在線性變換 ，使其變換成下面形式，使其變換成下面形式x1nxPxC顯然顯然CCCC1CCxA xb uyC xCCC2CCxA xyC x能控能控不能控不能控顯然，顯然， 的特征值有 和 的特征值共同組成。C12CCCdetIAdetIAIA-AdetdetIAdetIA

39、0IAssssss引入狀態反饋，令反饋矩陣為引入狀態反饋，令反饋矩陣為 ，則有，則有ACACA12KkkC12CC112C2C12CCAAAbAbbA-bK0A0A0kkkkCC1CdetI(A-bK)detIAbdetIAssks負實部負實部當系統滿足可鎮定的條件時，狀態反饋陣的計算步驟為當系統滿足可鎮定的條件時，狀態反饋陣的計算步驟為1） 將系統按能控性進行結構分解，確定變換矩陣將系統按能控性進行結構分解，確定變換矩陣1PCA2）確定）確定 ，化，化 為約當形式為約當形式2PCA3） 利用狀態反饋配置利用狀態反饋配置 的特征值，計算的特征值，計算1A1K4） 所求鎮定系統的反饋陣所求鎮定系

40、統的反饋陣1210PPKK 例例5-55-5 系統的狀態方程為系統的狀態方程為u011500020001xx 試用狀態反饋來鎮定系統。試用狀態反饋來鎮定系統。解解 矩陣矩陣A 為對角陣，顯然系統不能控。不能控的子系統特征值為為對角陣，顯然系統不能控。不能控的子系統特征值為-5，因此，系統可以鎮定。，因此，系統可以鎮定。能控子系統方程為能控子系統方程為uuCCCCC112001xbxAx引入狀態反饋引入狀態反饋CVuxK其中其中21kkK為了保證系統是漸近穩定的，設希望極點為為了保證系統是漸近穩定的，設希望極點為222, 1js84)(2*sssK2121221122)3(11200100det

41、)(det)(kkskkskkssssCKKbAI同次冪系數相等，得同次冪系數相等，得131k202k例例 系統的狀態方程為系統的狀態方程為0100100 x001 x1,0011000u yx 試用輸出反饋來鎮定系統，如不能，說明理由試用輸出反饋來鎮定系統，如不能，說明理由解解 系統特征多項式為系統特征多項式為310sI-A01110ssss顯然顯然 系統是不穩定的。再有系統是不穩定的。再有2010100001bAbA b 顯然顯然 秩為秩為3 3能觀矩陣加入輸出反饋，u=-Hy+r, 其中 ，代入原系統可得12120100100A-bHC0011001100001001100hhhh 故，

42、閉環系統的特征多項式為故，閉環系統的特征多項式為3121210()1(1)10ssIAbHChshsh shs由于缺少由于缺少s s2 2 項，不項，不能使得系統穩定能使得系統穩定2100001010100001010CCACA顯然顯然 秩為秩為3 3，即系統，即系統是完全能控能觀的是完全能控能觀的12Hhh5.6 5.6 狀態重構和狀態觀測器狀態重構和狀態觀測器問題的提出：狀態反饋可以改善系統性能，但有時不便于檢測。問題的提出：狀態反饋可以改善系統性能，但有時不便于檢測。如何解決這個問題？如何解決這個問題？答案是：重構一個系統，用這個系統的狀態來實現狀態反饋。答案是：重構一個系統，用這個系統

43、的狀態來實現狀態反饋。（24）系統方程為系統方程為)0()(0 xxCxyBuAxxt（25）重構一個系統，該系統的各參數與原系統相同重構一個系統，該系統的各參數與原系統相同xCyBuxAx（24）式減去（）式減去（25）式）式) () (xxCyyxxAxx（26）當兩個系統的初始狀態完全一致，參數也完全一致，則當兩個系統的初始狀態完全一致，參數也完全一致，則 。但。但是實際系統總會有一些差別，因此實際上是實際系統總會有一些差別，因此實際上 。xxxx（27）當當 時，時， 也不為零，可以引入信號也不為零，可以引入信號 來校正系統來校正系統（25），它就成為了狀態觀測器。），它就成為了狀態觀

44、測器。 xxy-y) (y-yGyBuxGCAxxGCBuxAyyGBuxAx)() () (其中，其中， 為為 矩陣矩陣Gnn（24）式減去（）式減去（27）式）式) )()(x-xGCAGyBuxGCABuAxx-x（28）由（由（28）式可知，如果適當選擇）式可知，如果適當選擇G 矩陣，使矩陣，使(A-GC) 的所有特征值的所有特征值具有負實部，則具有負實部，則式（式（27）系統就是式（）系統就是式（24）系統的狀態觀測器，）系統的狀態觀測器， 就是重構的狀態。就是重構的狀態。0) (limxxtx 定理定理5-3 系統的狀態觀測器存在的充分必要條件是：系統能觀測，系統的狀態觀測器存在的

45、充分必要條件是：系統能觀測，或者系統雖然不能觀測，但是其不能觀測的子系統的特征值具有負或者系統雖然不能觀測，但是其不能觀測的子系統的特征值具有負實部。實部。（證明請參見教材（證明請參見教材167頁）頁）定理定理5-4 線性定常系統線性定常系統 的觀測器的觀測器 CxyBuAxxGyBuxGCAx)(（30）可任意配置極點的充分必要條件是系統能觀測并且能控?？扇我馀渲脴O點的充分必要條件是系統能觀測并且能控。例例5-6 系統方程為系統方程為u101200120001xx x011y要求設計系統的狀態觀測器，其特征值為要求設計系統的狀態觀測器，其特征值為3、4、5。解解首先判斷系統的能觀測性首先判斷

46、系統的能觀測性441121011CQ3rankCQ系統能觀測，可設計觀測器。系統能觀測，可設計觀測器。設：設：210gggG其中其中 ， 待定待定ig)2, 1, 0( i希望特征值對應的特征多項式希望特征值對應的特征多項式604712)5)(4)(3()(23*sssssssG)424()834()5(det2102102103gggsgggsggssGGCAI而狀態觀測器的特征多項式而狀態觀測器的特征多項式同次冪系數分別相等，可以得出同次冪系數分別相等，可以得出210103120210gggG幾點說明：幾點說明：1） 希望的特征值一定要具有負實部，且要比原系統的特征值更希望的特征值一定要具

47、有負實部，且要比原系統的特征值更負。這樣重構的狀態才可以盡快地趨近原系統狀態。負。這樣重構的狀態才可以盡快地趨近原系統狀態。2）狀態觀測器的特征值與原系統的特征值相比，又不能太負，否）狀態觀測器的特征值與原系統的特征值相比，又不能太負，否則，抗干擾能力降低。則，抗干擾能力降低。3）選擇觀測器特征值時，應該考慮到不至于因為參數變化而會有）選擇觀測器特征值時，應該考慮到不至于因為參數變化而會有較大的變化，從而可能使系統不穩定。較大的變化，從而可能使系統不穩定。5.7 5.7 降階觀測器降階觀測器1. 降階觀測器的維數降階觀測器的維數定理定理 5-5 若系統能觀測，且若系統能觀測，且rankC =

48、m，則系統的狀態觀測器的最，則系統的狀態觀測器的最小維數是小維數是(n-m)。（證明略）（證明略）21CCCmCrank因為有因為有m 維可以通過觀測維可以通過觀測 y 得到，因此有得到，因此有(n-m)維需要觀測。維需要觀測。CxyBuAxx對系統方程對系統方程采用變換矩陣采用變換矩陣210CCIP進行線性變換，進行線性變換，Pxx 1 PAPAPBB 1 CPC（31）得到如下形式的系統方程得到如下形式的系統方程221212122211211210 xxxIyuBBxxAAAAxx可見可見 可以通過可以通過 觀測到，需要對觀測到，需要對 維的維的 進行估計。進行估計。2xy)(mn1x因此

49、，降階觀測器的維數為因此，降階觀測器的維數為(n-m)2. 降階觀測器存在的條件及其構成降階觀測器存在的條件及其構成將（將（31）式改寫成）式改寫成uByAxAuBxAxAx11211112121111（32）（33）uByAxAyx2221212（34）令令121222xAuByAyy 于是有于是有(n-m) 階的子系統：階的子系統：121xAy u)ByAxAx1121111(（35）以下構造這個子系統的狀態觀測器以下構造這個子系統的狀態觀測器（36）yGyAGAuBGBxAGAyGuByAxAGAx12211221112111111121211111)()()()()(因為子系統能觀測，

50、所以，通過選擇因為子系統能觀測，所以，通過選擇 的參數，可以配置的參數，可以配置的特征值。的特征值。1G)(21111AAG為了在觀測器中不出現微分項，引入以下變換，為了在觀測器中不出現微分項，引入以下變換，（37）yGxz11yGxz11yGzx11yGzx11即即（37）式代入（）式代入（36），得），得yAGAGAGAuBGBzAGAz)()()(2211212111121121111由于由于21xxx故故00limlim111 xxyyGzxtt（38）因此，因此， 是是 的估計。的估計。 yyGz1x（39）yzyGQQxQxPx1211狀態圖中狀態圖中)(221121211111A

51、GAGAGAG已知系統：已知系統： xyuxx12110001試構造一降維觀測器試構造一降維觀測器解解 系統完全能觀測系統完全能觀測 令令 01212112101QQ1011110011CQCQBBQAQA設降維觀測器的特征值為設降維觀測器的特征值為-10，H=hhAHAI)(2111希望的特征多項式為希望的特征多項式為+10，故，故H=10，降維觀測器為：，降維觀測器為： ywyIHwIxxxyuwwyHAHAAHAuBHBwAHAw101010110910)()()(2121112212212111原系統狀態向量估計值為原系統狀態向量估計值為 ywxQx101211211原系統及其降維觀測

52、器如下原系統及其降維觀測器如下 s11x 10 x1xs12x 20 x2x21s1w 0ww10110921211101 x2 xuyxyuxx12110001yuww110910原系統原系統降維觀測器降維觀測器現提出兩個問題：現提出兩個問題：1，用狀態估計進行狀態反饋和用，用狀態估計進行狀態反饋和用x進行狀態反饋對系統特進行狀態反饋對系統特性的影響是否一致，或者說系統的閉環傳遞矩陣是否一致？性的影響是否一致，或者說系統的閉環傳遞矩陣是否一致？2，進行狀態反饋設計時的，進行狀態反饋設計時的K陣和觀測器設計時的陣和觀測器設計時的G陣能否陣能否分開設計？分開設計？（A、B、C）狀態觀測器Kx y

53、uv5.8 5.8 帶有狀態觀測器的狀態反饋系統帶有狀態觀測器的狀態反饋系統SISO線性定常系統線性定常系統CxBAxxyu（40）全階狀態觀測器全階狀態觀測器yuGbxGCAx)(（41）狀態反饋狀態反饋xKVu（42）還有還有VbxbKAxxVbxbKGCAGCxx)(Cxy寫成矩陣形式寫成矩陣形式VbbxxbKGCAGCbKAxx（43）xxC0y作線性變換作線性變換IIIP0IIIP01xxxxxxxIIIxxP0（44）其中其中 為誤差估計為誤差估計xxx對（對（43）式進行線性變換，得到如下方程）式進行線性變換，得到如下方程VV00000bxxGCAbKbKAbbIIIxxIIIb

54、KGCAGCbKAIIIxxxxCxxIIIC000y（45）)det()det(0detGCAsIbKAsGCAsIbKbKAsII（46）xx bKAGCAGCAbKA由上式可見，由上式可見， 的特征值與的特征值與 的特征值可以分別配置，的特征值可以分別配置，互不影響?；ゲ挥绊?。 這種這種 的特征值和的特征值和 特征值可以分別配置，特征值可以分別配置，互不影響的方法，稱為分離定理。需要注意：互不影響的方法，稱為分離定理。需要注意： 的特征值應該的特征值應該比比 的特征值更負，一般為四倍左右，才能夠保證的特征值更負，一般為四倍左右，才能夠保證 盡快跟盡快跟上上 ，正常地實現狀態反饋。，正常地

55、實現狀態反饋。bKAGCA這時傳遞函數為這時傳遞函數為bbKAsCbGCAsIbKbKAsC11000)(IIsgK設系統的傳遞函數為設系統的傳遞函數為 )6(1)(sssG希望利用狀態反饋使閉環極點為希望利用狀態反饋使閉環極點為-4j6，并求實現這個反饋的二維及一，并求實現這個反饋的二維及一維觀測器。維觀測器。 解解 1：建立能觀測標準形實現：建立能觀測標準形實現 xyuxx10016100系統也是能控的系統也是能控的 2：求狀態反饋陣：求狀態反饋陣K，設，設K=k1，k2，系統特征方程，系統特征方程式：式：06)6()(2112kksksbKAsI希望的特征方程式希望的特征方程式0528)

56、64)(64(2ssjsjsK=2，40 3：求二維觀測器，設其極點為：求二維觀測器，設其極點為s1=s2=- -10，H=h1，h2T 221()(6)0sIAGcsh sh希望的特征方希望的特征方程式程式 010020)10(22sssG=100，14T觀測器方程觀測器方程 yuxxHyBuxHcAx14100012011000)(系統結構圖系統結構圖 )6(1sss11 x1001 xs12 x2 x100201414240uyv-4：求一維觀測器，設其極點為：求一維觀測器，設其極點為s1=-10，G=h 1121()0sIAGAsh希望的特征方程式希望的特征方程式s+10=0G=10

57、1121121222112112()()()() 104010wAGAwBGB uAGAAGAG ywwuyxwyxxy 觀測器方程觀測器方程系統結構圖系統結構圖 )6(1sss1w 40w2 x1024010101 xyuv-5.9 5.9 漸近跟蹤與干擾抑制問題漸近跟蹤與干擾抑制問題5.9.1 漸近跟蹤問題漸近跟蹤問題右圖所示反饋控制系統右圖所示反饋控制系統)()()(sdsnsggg)()()(sdsnsgCCC一般很難做到在所有時間上都有一般很難做到在所有時間上都有 ， 但但 ， 就有可能做到，即：就有可能做到，即：)()(trtyt)()(trty0)()(lim)(limtytrt

58、ett穩態時，實現了穩態時，實現了 跟蹤跟蹤 ，稱為漸近跟蹤。，稱為漸近跟蹤。)(ty)(tr在經典控制理論中，已經討論過典型輸入信號時的情況。在經典控制理論中，已經討論過典型輸入信號時的情況。)(ty)(tr 但是，對于但是，對于 不是典型輸入信號，則不是典型輸入信號，則 跟蹤跟蹤 的條件是什的條件是什么？么？)(tr輸入和誤差信號的拉氏變換式分別為輸入和誤差信號的拉氏變換式分別為)()()(sdsnsRrr)()()()()()()()()(sdsnsnsnsdsdsdsdsErrCgCgCg顯然，輸入信號的分母顯然，輸入信號的分母 中那些實部為負的根，當中那些實部為負的根，當 時時對穩態

59、誤差無影響；只有那些位于對穩態誤差無影響；只有那些位于 右半閉平面（包括虛軸的右半右半閉平面（包括虛軸的右半平面）的根，對穩態誤差有影響。平面）的根，對穩態誤差有影響。0)(sdrts當當 的全部極點位于的全部極點位于 左半開平面時，要使左半開平面時，要使s)(ssE0)()()()()()()()(lim)(lim)(lim00sdsnsnsnsdsdsdsdsssEteerrCgCgCgsstss必須有必須有1） 的所有根實部均為負。的所有根實部均為負。0)()()()(snsnsdsdCgCg)(sdr2） 在在 右半閉平面的零點也是右半閉平面的零點也是 的零點。的零點。s)()(sds

60、dCg上面兩個條件成立時，就實現了漸近跟蹤，即上面兩個條件成立時，就實現了漸近跟蹤，即 有有 。其中，第其中，第2個條件就是著名的內模原理。個條件就是著名的內模原理。t)()(trty5.9.2 內模原理內模原理)()(ssdrg假定假定 的某些根具有零實部或正實部，令的某些根具有零實部或正實部，令 是是 中不穩定的中不穩定的極點構成的多項式。極點構成的多項式。 和和 互質。則互質。則)(sdr)(sr)(sR)(sng)()()()()()()()()()()()()(sdssnsnsdssdsnsdsdsYsRsErrgCgrCrgC)(snC 由于由于 中的不穩定的零點均被中的不穩定的零