1、1第二章 流體靜力學(xué)Chapter 2 Hydrostatics2n流體靜力學(xué)是研究流體在外力作用下處于靜止?fàn)顟B(tài)的力學(xué)平衡規(guī)律。在外力作用下的流體體系，如果各種力相互平衡，流體處于平衡狀態(tài)，也就是達(dá)到了靜力平衡。n本章研究的流體靜力學(xué)原理對于處于相對靜止的流體體系也是適用的（廣義的靜力平衡）。例如：靜止杯中的水以等角速度旋轉(zhuǎn)杯中的水勻加速直線運動杯中的水研究對象(Objects of Study)3重要特點(Important Features): 處于靜力平衡狀態(tài)的流體，由于無流體的相對運動，此時無論流體是否具有粘性，相對靜止的流體都不會產(chǎn)生粘性內(nèi)摩擦阻力和粘性動量傳輸。所以流體靜力學(xué)得到的

2、結(jié)論對理想流體和牛頓粘性流體都是成立、適用的。 研究流體靜止平衡狀態(tài)下的力學(xué)規(guī)律，實質(zhì)上就是要確定流體中壓力分布規(guī)律，以及對其約束容器壁的作用力，這在工程中具有重要的意義。例如:壓力容器的強度及安全性、水庫大壩、鑄造抬箱力。4 按力的作用方式不同，作用在流體上的力可以分為質(zhì)量力和表面力。一、質(zhì)量力定義：作用在流體的每一質(zhì)點（或微元體）的質(zhì) 量中心上，且與質(zhì)量成正比的力。2.1 作用在流體上的力與流體的靜壓力 Forces on Fluids and Hydrostatic Pressure5 例如：在密度為 的流體中取一控制微元體 ，其質(zhì)量為： ，根據(jù)牛頓力學(xué)，質(zhì)量為m的微元體的流體在各種加速

3、度的作用下，會產(chǎn)生力的效應(yīng) 。工程中常見的加速度有三種：n直線加速度 n重力加速度 n離心加速度VmVFm qga2r 6 對應(yīng)三種加速度，就會有三種質(zhì)量力產(chǎn)生：這三種力可以合成： 為合成加速度。2LRGmgFmaFmr重力 直線慣性力 離心慣性力 2()LRFGFFm garmqq7 二、表面力定義：作用在所取的流體的分離體的表面上，且與表面積大小成正比的力。 例如，作用在自由表面上的力；作用在選取的微元體上的力等。粘性力也是一種表面力。8 三、流體的靜壓力及其特性 Hydrostatic Pressure and Its Properties 在一個處于靜力學(xué)平衡態(tài)流體體系上，用任意一AB

4、平面分割為上下兩部分、 。在剖面AB上顯然存在、兩部分兩個大小相等，作用方向相反的力，分離開后，只有分別繼續(xù)施加相同的作用力分布，才能使兩個分離部分各自繼續(xù)保持平衡。9考察部分，在AB上面部分的作用力分布根據(jù)流體的連續(xù)介質(zhì)概念，壓力分布 在AB面上應(yīng)該是連續(xù)的。考察AB面上一點m上所受的壓力Pm，設(shè)m點的空間坐標(biāo)為 ，則 ，稱Pm為流體內(nèi)部在m點處的靜壓力（而稱 為在任意平面AB上的靜壓力分布）：( , , )P x y z( , , )P x y z,mmmxy z(,)mmmmpp xyz( , , )P x y z0limmAFPA10 流體靜壓力有兩個主要特性： Two Propert

5、ies of Hydrostatic Pressure 流體內(nèi)部任意一點處的靜壓力方向始終沿著作用面的內(nèi)法線方向（而內(nèi)法線方向上的力就是壓力）。因為流體不能承受拉、切應(yīng)力。（外法線是拉應(yīng)力；不垂直，會在平面上產(chǎn)生切應(yīng)力分量）； 從各個方向作用于同一點的流體靜壓力是相等的。即作用在該點的靜壓力大小與該點作用面的空間方位無關(guān)。注：雖然同一點的各個方向壓力相等，但不同點的壓力 卻是不一樣的，是空間位置的函數(shù)。11 一般情況下，流體體系中的靜壓力是一個空間位置的函數(shù)，所以為了確定任意流體體系的靜壓力分布，需要描述流體靜壓力分布的微分方程，該方程叫流體靜力平衡微分方程，也稱歐拉方程(Euler Equa

6、tion)。2.2 流體靜力平衡微分方程及等壓面12一、流體靜力平衡微分方程（歐拉方程） 在三維處于靜力學(xué)平衡的流體中任意一點(x,y,z)為中心，取一六面體微元，如圖示，設(shè)A點靜壓力為p(x,y,z)。 下面來分析單元體的受力情況：13表面力： 將該微元體視為一分離體，也處于靜態(tài)，它的六個表面受到周圍流體的靜壓力，壓力方向均垂直指向表面。如，x方向法線的左右兩表面上的壓力分別為：pdx dydzxdydzpdx dydzx1左面： (p-)2為作用面積1右面： (p+)214 所以，作用在微元體上沿x方向的流體總靜壓力為：同理，作用于微元體y、z方向的總靜壓力分別為：xmnppFFFdx d

7、ydzdx dydzxxpdxdydzx11(p-)(p+)22yzpFdxdydzypFdxdydzz 15質(zhì)量力： 考慮任意方向的質(zhì)量力 ，為不失一般性，可分解為在x,y,z軸上的三個分量： 式中X,Y,Z分別為合成加速度在x軸，y軸，z軸上的投影，即222xyzxyzxzWXgarMWYgarMWZgarMFXxdydzFYxdydzFZxdydz 式 中 ： FWqX iY jZ kM 16 所取微元體處于靜力學(xué)平衡態(tài)，要求在x,y,x三個坐標(biāo)方向的所有力都平衡，即：式（2-3）為流體靜力學(xué)平衡微分方程，也稱歐拉方程。00230 xxyyzzpXxFFpFFYyFFpZz17 在只有重

8、力場作用下：(2-3)式變化為：,xyzXgqgYgZg(24)xyzpgxpgypgz18式(2-3)或(2-4)式流體靜力平衡方程在三個坐標(biāo)方向上的分量方程形式，在實際應(yīng)用時，將這三個方程寫成全微分方程的形式更加方便。做法是用dx, dy和dz分別乘(2-3)式各方程的兩邊，相加適當(dāng)整理得：()pppdxdydzXdx YdyZdzxyz19因為在靜力學(xué)平衡條件下，流體中的靜壓力只是空間坐標(biāo)(x,y,z)的函數(shù)，所以上式左端實際可以視為在(x,y,z)點流體壓力p(x,y,z)的全微分：則上式得到全微分形式的歐拉方程： pppdpdxdydzxyz()(25)dpXdxYdyZdz20 對

9、于不可壓縮的流體（密度為常數(shù)），方程(2-5)的右端可以視為某一勢函數(shù)的全微分：也即：UUUdUdxdydzxyzUXxUYyUZz21歐拉方程可進(jìn)一步寫成簡化形式：dU 的具體形式取決于流體所處于質(zhì)量力場(26)dPdU22等壓面：流場中凡是壓力相等的各點組成的曲面（空間）。根據(jù)等壓面的定義，等壓面方程為: P(x,y,z)=Constant 或：dP=0.由(2-6)式有： dU=Xdx+Ydy+Zdz=0 (2-7)也稱為等壓面微分方程。二、等壓面的概念23等壓面具有以下三個重要的特點：等壓面的實質(zhì)就是等勢面；靜止流體中任意一點的質(zhì)量力必然垂直于通過該點的等壓面；處于平衡態(tài)的非混合的兩種

10、不同流體的接觸分界面必然為等壓面。24例題：求重力場下靜止流體的等壓面？解： 取坐標(biāo)Z軸垂直向上， 當(dāng)質(zhì)量力僅僅為重力時： 將 X=Y=0，Z=-g，代入方程（27） Xdx+Ydy+Zdz=0 則： -gdz=0 z=常數(shù) 結(jié)論：等壓面為一簇水平面25 如圖所示的流體體系中，只有向下的重力，則質(zhì)量力在各坐標(biāo)軸上的投影為：X=0，Y=0，Z= -g，且流體不可壓縮，則(2-5)式變?yōu)椋悍e分得： 式中，c為積分常數(shù)，可由邊界條件確定。2.3 流體靜壓力基本方程及其意義dPgdz (29)PzCg26 (2-9)式表明：在重力作用下，靜止流體中的任一點的壓力能與位能之和為常數(shù)，即任意兩點壓力能與位

11、能之和相等。若取自由表面z=z0,p=p0作為基準(zhǔn)點，代入方程(2-9)得：式中：h=z0-z 為任意一點距自由表面的深度。n定義任意一點的流體位勢能與壓力勢能之和為總勢能；n定義任意一點的位置水頭與壓力水頭之和為靜水頭。0(210)PPgh2728 結(jié)果與討論：物理意義：在靜止的不可壓縮、密度均勻的流體中，任意的單位質(zhì)量流體的總勢能保持不變；幾何意義：在靜止的不可壓縮、密度均勻的流體中，任意點的靜水頭連線為一平行于基準(zhǔn)線的水平線； 位置水頭與壓力水頭可以相互轉(zhuǎn)換。29大氣壓力：絕對壓力：相對壓力（表壓）：真空壓力(真空度)：此時即表壓和真空度是數(shù)值相等符號相反的兩個量2.4 不同基準(zhǔn)的壓力表

12、示方法app大氣appgh絕apppgh表絕,0appp絕表vapppghp絕表30 (2-10)式給出的壓力為絕對壓力，在工程中測量某一絕對壓力是較復(fù)雜的，而采用開口測壓管測壓力要方便很多。該法測得的壓力相對大于大氣壓，所以又稱為相對壓力，也稱為表壓。 工程上常常會遇到絕對壓力小于大氣壓的情況，此時采用相對壓力法，測得得表壓是負(fù)值。將絕對壓力不足于大氣壓的差值稱為真空壓力(簡稱為真空度)，用Pv表示各種壓力表示方法的相互關(guān)系如下圖所示。vapppghp 絕表3132 壓力的單位： 我國推行采用國際標(biāo)準(zhǔn)單位制，采用法定計量單位為：帕斯卡，符號：PaPa=1N/m2 ；大氣壓：液柱高度：2211

13、01325/0.1198100/N mMPaN m標(biāo)準(zhǔn)大氣壓工程大氣壓251()133.3221()9.80665110mmHgPammH OPabarPa毫米汞柱毫米水柱33壓力的測量3435 在工程中，常常遇到旋轉(zhuǎn)容器中液體相對靜止平衡問題，較典型的例子是立式和臥式離心鑄造。一般是采用流體靜力學(xué)方法來求解這一動力學(xué)問題，此時，需要將垂直于旋轉(zhuǎn)軸的平面坐標(biāo)上的質(zhì)量力引入慣性力。2.5 等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的相對平衡36 如圖2-13所示，此穩(wěn)定旋轉(zhuǎn)液體中任意一點m的加速度在X, Y, Z三個坐標(biāo)上的分量分別為： 式中：r為質(zhì)點m所在半徑，x, y為r在x, y軸上的投影。2222cossi

14、nXrxYryZg 37將質(zhì)量力代入全微分形式的流體靜力平衡方程： 得： 積分得:或：利用邊界條件，當(dāng)r = 0, z = 0時P = P0可定出積分常數(shù)C=P0。則圖中液體中任意一點m壓力分布表達(dá)式: （227）可見壓力分布是有關(guān)半徑r的二次曲線。()dpXdxYdyZdz22()dpxdxydygdz 2222()22xyPgzC2 2()2rPgzC)2(220zgrgPP38等壓面方程： 將上述單位質(zhì)量力的分力代入等壓面微分方程(2-7)： Xdx+Ydy+Zdz=0 得： 積分得：或： (2-28) 即等壓面是一簇繞z軸旋轉(zhuǎn)的拋物面。220 xdxydygdz22221122xygz

15、C22/2rgzC39自由表面方程： 將自由表面上一點r = 0,z = 0代入上式，則C=0，得自由表面方程： (2-28a) 或： (2-28b) 22/20srgz22/2szrg40討論：將(2-28b)代入(2-27)，可得： 可見，繞垂直軸等角速度旋轉(zhuǎn)容器中液體的靜壓力公式(2-27)與靜止流體中靜壓力公式(2-11)完全相同。即,液體內(nèi)任一點的靜壓力等于液面上的壓力P0加上液體的密度與重力加速度及該點淹深的乘積。00()(229)sPPg zzPgh41一、作用在平面上的總壓力 一容器盛(水)液體高度為h，作用在底面上的(面積為A)總壓力為： 可見，作用在水平面上的總壓力只與液體

16、的種類(密度)，作用面積A，液深及自由表面壓力有關(guān)。而與容器的形狀無關(guān)(即與體積無關(guān))。 2.6 靜止液體作用在平面及曲面上的總壓力0()FPAPghA42 圖2-12所示的具有相同底面積A，相同的液高，但形狀不同的四個容器底面受到的總壓力是一樣的。43二、傾斜平面所受的壓力 如圖所示，如容器側(cè)壁為一傾斜的平面，面積為A，平面傾斜角為，坐標(biāo)軸選取如圖示，為求作用在此平面上的液體總壓力，在該平面上取微元面dA其深度為h，該處的壓力為p垂直于平面，則微元體的總壓力為：44454647由 可得如下結(jié)論： 作用在傾斜平面A上的液體總壓力為一假想體積的液體重量，該假想體積是以面積為A的平面為底，以平面形

17、心淹深hc為高的柱體。 當(dāng)液體表面上的壓力為P0 時，傾斜面所受到的總壓力為： 例：=()-()-() (1)(1)sfFF GGFF抬抬抬箱力 鐵水對上箱砂型的總壓力 上箱砂型重量上砂箱重量壓鐵重量抬箱力cFgh A 0()cFPghA48例題4950三、靜止液體作用在曲面上的總壓力1.作用在曲面上各點的流體靜壓力均垂直于容器器壁，形成了復(fù)雜的空間力系。求曲面所承受的總壓力的問題，實質(zhì)上是空間力系的合成問題；2.以一個二向曲面為例，分析作用在二向曲面上的總壓力:選取合適的坐標(biāo)系；選取一微元面積dA，其受力為： ( 為dA內(nèi)法線方向)將 沿所取的坐標(biāo)分解為相應(yīng)的分量，并分別計算各方向上的總分力 將積分求得的各總分力合成，即得作用在曲面上的總壓力。dFghdA nndF51525354 兩條重要結(jié)論：作用在壓曲面上的液體總壓力的水平分力 等于作用在該曲面對垂直坐標(biāo)面yoz的投影面Ax上的液體總壓力，F(xiàn)x通過Ax的壓力中心。作用在曲面上的液體總壓力的垂直分力 等于曲面所承受垂直方向上液體體積（稱壓