1、還原問題教學目標本講主要學習還原問題通過本節課的學習，可以使學生掌握倒推法的解題思路以及方法，并會運用倒推法解決問題1. 掌握用倒推法解單個變量的還原問題2. 了解用倒推法解多個變量的還原問題3. 培養學生“倒推”的思想知識點撥知識點說明：一、還原問題已知一個數，經過某些運算之后，得到了一個新數，求原來的數是多少的應用問題，它的解法常常是以新數為基礎，按運算順序倒推回去，解出原數，這種方法叫做逆推法或還原法，這種問題就是還原問題還原問題又叫做逆推運算問題解這類問題利用加減互為逆運算和乘除互為逆運算的道理，根據題意的敘述順序由后向前逆推計算在計算過程中采用相反的運算，逐步逆推二、解還原問題的方法

2、在解題過程中注意兩個相反：一是運算次序與原來相反；二是運算方法與原來相反方法：倒推法。口訣：加減互逆，乘除互逆，要求原數，逆推新數關鍵：從最后結果出發，逐步向前一步一步推理，每一步運算都是原來運算的逆運算，即變加為減，變減為加，變乘為除，變除為乘列式時還要注意運算順序，正確使用括號.例題精講板塊一、單個變量的還原問題【例 1】 某數先加上3，再乘以3，然后除以2，最后減去2，結果是10，問：原數是多少？【鞏固】 (2008年“陳省身杯”國際青少年數學邀請賽)有一個數，如果用它加上，然后乘以，再減去，最后除以，所得的商還是，那么這個數是 。【鞏固】 一個數減16加上24，再除以7得36，求這個數

3、你知道這個數是幾嗎?【鞏固】 少先隊員采集樹種子，采得的個數是一個有趣的數把這個數除以5，再減去25，還剩25，你算一算，共采集了多少個樹種子?【鞏固】 (第七屆小數報數學競賽決賽填空題第6題)在電腦里先輸入一個數，它會按給定的指令進行如下運算：如果輸入的數是偶數，就把它除以2；如果輸入的數是奇數，就把它加上3同樣的運算這樣進行了3次，得出結果為27原來輸入的數可能是 【例 2】 牛老師帶著37名同學到野外春游休息時，小強問：“牛老師您今年多少歲啦?”牛老師有趣地回答：“我的年齡乘以2，減去16后，再除以2，加上8，結果恰好是我們今天參加活動的總人數”小朋友們，你知道牛老師今年多少歲嗎?【鞏固

4、】 小智問小康：“你今年幾歲？”小康回答說：“用我的年齡數減去8，乘以7，加上6，除以5，正好等于4. 請你算一算，我今年幾歲？” 【例 3】 學學做了這樣一道題：某數加上10，乘以10，減去10，除以10，其結果等于10，求這個數小朋友，你知道答案嗎？【鞏固】 學學做了這樣一道題：一個數加上3，減去5，乘以4，除以6得16，求這個數小朋友，你知道答案嗎？【例 4】 一次數學競賽頒獎會上，小剛問老師：“我得了多少分？”老師說：“你的得分減去后，縮小倍，再加上后，擴大倍，恰好是分”小剛這次競賽得了多少分？【例 5】 在小新爺爺今年的年齡數減去15后,除以4,再減去6之后,乘以10,恰好是100,

5、問:小新爺爺今年多少歲數?【鞏固】 學學和思思在游玩時，遇到一位小神仙，他們問這位神仙：“你一定不到100歲吧！”誰知這位神仙搖搖頭說：“你們算算吧！把我的年齡加上75，再除以5，然后減去15，再乘以10，恰好是2000歲”小朋友，你知道這位神仙現在有多少歲嗎？【例 6】 哪吒是個小馬虎，他在做一道減法題時，把被減數十位上的6錯寫成9，減數個位上的9錯寫成6，最后所得的差是577，那么這道題的正確答案應該是多少呢？【鞏固】 小馬虎在做一道加法題時，把一個加數個位上的看作，十位上的看作，結果和是，那么正確的結果應該是多少呢？【鞏固】 淘氣在做一道減法時，把減數個位上的9看成了3，把十位上的4看成

6、了7，得到的結果是164，請你幫淘氣算算正確的答案應該是多少呢?【鞏固】 小新在做一道加法題，由于粗心，將個位上的5看作9，把十位上的8看作3，結果所得的和是123正確的答案是多少？【例 7】 學學看到太上老君正在用一根繩子拴寶葫蘆，第一次用去全長的一半還多2米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩9米，那么這根繩子原來有多少米呢？【鞏固】 一捆電線，第一次用去全長的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩7米。這捆電線原來有多少米？【鞏固】 甲在加工一堆零件，第一天加工了這堆零件的一半又10個，第二天又加工了剩下的一半又10個，還剩下25個沒有

7、加工，問：這批零件有多少個？【例 8】 貨場原有煤若干噸。第一次運出原有煤的一半，第二次運進450噸，第三次又運出現有煤的一半又50噸，結果剩余煤的2倍是1200噸。貨場原有煤多少噸？【例 9】 食堂買進一批大米，第一天吃了全部的一半少千克，第二天吃了余下的一半少千克，最后剩下千克這批大米共有多少千克？【鞏固】 山頂上有棵桃數，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了總數的一半多2個，第二天又偷吃了剩下的一半多2個，這時還剩1個，問：樹上原來有多少個桃子？【鞏固】 修建一條下水道，第一周修了全長的一半多米，第二周修了剩下的一半少米，第三周修了米，最后還剩米，這條下水道長多少米？【例 10】 小麗用4元買

8、了一本童話大王，又用剩下的錢的一半買了一本兒童時代，買鋼筆又用去第二次剩下的錢的一半多1元，最后還剩4元，問：小麗原有多少錢？4元第一次剩下的一半？第二次剩下的一半1元4元【鞏固】 有一筐蘋果，甲取出一半又1個；乙取出余下的一半又1個；丙取出再余下的一半又1個，這時筐里只剩下1個蘋果。這筐蘋果共值6元6角，問每個蘋果平均值多少錢？【例 11】 (2008年“陳省身杯”國際青少年數學邀請賽)工程隊要修一條小路，第一天修了全長的一半多米，第二天修了余下的一半少米，第三天修了米，此時還剩下米沒有修，則這條小路長 米。【鞏固】 一個人沿著公園馬路走了全長的一半后，又走了剩下路程的一班，還剩下1千米，問

9、：公園馬路全長多少千米？【例 12】 思思看到織女在織布，她把一段五彩布第一次剪去一半，第二次又剪去余下的一半，這時還剩下8米，你知道這段五彩布原來長多少米嗎？【鞏固】 一群螞蟻搬家，原存一堆食物第一天運出總數的一半少12克第二天運出剩下的一半少12克，結果窩里還剩下43克問螞蟻家原有食物多少克?【鞏固】 一捆電線，第一次用去全長的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后還剩7米，這捆電線原有多少米？【鞏固】 修建一條下水道，第一周修了全長的一半多米，第二周修了剩下的一半少米，第三周修了米，最后還剩米，這條下水道長多少米？【例 13】 桃園里來了第一群猴子，吃去桃子總數

10、的一半又半個；第二群猴子又來吃掉剩下桃子的一半又半個；第三群猴子又來吃掉剩下桃子數的一半又半個.這時桃園里還只有100個桃了.那么園中原有多少桃？【鞏固】 山頂上有棵桃數，一只猴子偷吃桃子，第一天偷吃了總數的一半多2個，第二天又偷吃了剩下的一半多2個，這時還剩1個，問：樹上原來有多少個桃子？【鞏固】 某水果店進一批水果，運進的是原來的水果的一半，原有的蔬菜賣出去一半以后，恰好與現在的水果同樣多，已知原有的水果800千克，求原有的蔬菜多少千克？【例 14】 剛打完籃球，冬冬覺得非常渴，就拿起一大瓶礦泉水狂喝他第一口就喝了整瓶水的一半，第二口又喝了剩下的，第三口則喝了剩下的，第四口再喝剩下的，第五

11、口喝了剩下的此時瓶子里還剩0.5升礦泉水，那么最開始瓶子里有幾升礦泉水？【鞏固】 有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚.問：原來至少有多少枚棋子？【例 15】 從前，有一位樵夫，整天幻想著遇見神仙，求得一種不花氣力就能發財的竅門一天，有一位老人突然來到樵夫面前，對他說：“你不是想見到神仙嗎？”樵夫苦苦哀求：“我在山里砍了三天柴，累的要死要活，才賣的這么幾個錢您老人家神通廣大，懇求您指點，使我可以不費力氣就能得到錢吧！”老人指著東邊的一座石頭橋說：“好吧！從現在開始，你只要從那座橋上每走一個來回，口袋里的錢都會增長一倍

12、，但是每次回來都要付給我24個錢作為報酬”樵夫高興的在橋上走了一個來回，他數一數口袋里的錢，果然增長了一倍他拿出24個錢交給神仙，然后又向橋上走去，等到他第三次回來，把24個錢交給神仙后，摸一摸口袋，里面竟然一個錢都沒有了正當他焦急不安的時候，神仙按原數把錢留下飄然而去，并留下一句話：“年輕人，不勞而獲可不行啊！”故事讀完了，小朋友們，你能不能算出，樵夫原來有多少錢呢？【例 16】 學學和思思見到一種神奇的蟲子，它每小時就長一倍，1天能長到20厘米，聰明的小朋友，你知道小蟲長到5厘米時需要多少小時嗎？【例 17】 有一個財迷總想使自己的錢成倍增長，一天他在一座橋上碰見一個老人，老人對他說：“你

13、只要走過這座橋再回來，你身上的錢就會增加一倍，但作為報酬，你每走一個來回要給我32個銅板”財迷算了算挺合算，就同意了他走過橋去又走回來，身上的錢果然增加了一倍，他很高興地給了老人32個銅板這樣走完第五個來回，身上的最后32個銅板都給了老人，一個銅板也沒剩下問：財迷身上原有多少個銅板？【鞏固】 某人發現了一條魔道，下面有一個存錢的小箱子，當他從魔道走過去的時候，箱子里的一些錢會飛到人的身上使人身上的錢增加一倍，這人很高興；當他從魔道走回來時，身上的錢會飛到箱子里，使箱子里的錢增加一倍；這人一連走了3個來回后，箱子里的錢和人身上的錢都是64枚一元的硬幣，那么原來這人身上有多少元？箱子里有多少元？板

14、塊二、多個變量的還原問題【例 18】 三人有不等的存款，只知如果甲給乙40元，乙再給丙30元，丙再給甲20元，給乙70元，這樣三人各有240元，三人原來各有存款多少元？【例 19】 小巧、小亞、小紅共有個玻璃球，小巧給小亞個，小亞給小紅個，小紅給小巧個，他們的玻璃球個數正好相等小巧、小亞、小紅原來各有多少個玻璃球？【例 20】 三棵樹上共有36只鳥，有4只鳥從第一棵樹上飛到第二棵樹上，有8只鳥從第二棵樹上飛到第三棵樹上，有10只鳥從第三棵樹上飛到第一棵樹上，這時，三棵樹上的鳥同樣多原來每棵樹上各有幾只鳥?【例 21】 三棵樹上共有27只鳥，從第一棵飛到第二棵2只，從第二棵飛到第三棵3只，從第三

15、棵飛到第一棵4只，這時，三棵樹上的鳥同樣多原來每棵樹上各有幾只鳥？【例 22】 甲、乙兩班各要種若干棵樹，如果甲班拿出與乙班同樣多的樹給乙班，乙班再從現有的樹中也拿出與甲班同樣多的樹給甲班，這時兩班恰好都有28棵樹，問甲、乙兩班原來各有樹多少棵？【鞏固】 一班、二班、三班各有不同數目的圖書如果一班拿出本班的一部分圖書分給二班、三班，使這兩個班的圖書各增加一倍；然后二班也拿出一部分圖書分給一班、三班，使這兩個班的圖書各增加一倍；接著三班也拿出一部分圖書分給一班、二班，使這兩個班的圖書各增加一倍這時，三個班的圖書數目都是48本求三個班原來各有圖書多少本？【例 23】 解放軍某部參加抗震救災，從第一

16、隊抽調一半人支援第二隊，抽調35人支援第三隊，又抽調剩下的一半支援第四隊，后來又調進8人，這時第一隊還有30人，求第一隊原有多少人？【例 24】 有一筐蘋果，把它們三等分后還剩兩個蘋果，取出其中兩份，將它們三等分后還剩個；然后再取其中兩份，將這兩份三等分后還剩個問：這筐蘋果至少有幾個？【例 25】 3個探險家結伴去原始森林探險，路上覺得十分乏味就聚在一起玩牌第一局，甲輸給了乙和丙，使他們每人的錢數都翻了一番第二局，甲和乙一起贏了，這樣他們倆錢袋里面的錢也都翻了倍第三局，甲和丙又贏了，這樣他們倆錢袋里的錢都翻了一倍結果，這3位探險家每人都贏了兩局而輸掉了一局，最后3人手中的錢是完全一樣的細心的甲

17、數了數他錢袋里的錢發現他自己輸掉了100元你能推算出來甲、乙、丙3人剛開始各有多少錢嗎？【例 26】 3個籠子里共養了78只鸚鵡，如果從第1個籠子里取出8只放到第2個籠子里，再從第2個籠子里取出6只放到第3個籠子里，那么3個籠子里的鸚鵡一樣多求3個籠子里原來各養了多少只鸚鵡?【鞏固】 甲、乙、丙3人共有192張郵票從甲的郵票中取出乙那么多給乙后，再從乙的郵票中取出丙那么多給丙，最后從丙的郵票中取出甲那么多給甲，這時甲、乙、丙3人郵票數相同，甲、乙、丙原來各有多少張？【例 27】 一群小神仙玩扔沙袋游戲，他們分為甲、乙兩個組，共有140只沙袋如果甲組先給乙組5只，乙組又給甲組8只，這時兩組沙袋數

18、相等兩個組原來各有沙袋多少只?【鞏固】 科學課上，老師說：“土星直徑比地球直徑的9倍多4800千米，土星直徑除以24等于水星直徑，水星直徑加上2000千米是火星直徑，火星直徑除以2減去500千米等于月亮的直徑，月亮直徑是3000千米.”請你算一算，地球的直徑是多少？【例 28】 3個籠子里共養了36只兔子，如果從第1個籠子里取出8只放到第2個籠子里，再從第2個籠子里取出6只放到第3個籠子里，那么3個籠子里的兔子一樣多求3個籠子里原來各養了多少只兔子？【例 29】 張、王、李、趙四個小朋友共有課外讀物200本，為了廣泛閱讀，張給王13本，王給李18本，李給趙16本，趙給張2本這時4個人的本數相等

19、他們原來各有多少本？鞏固 甲、乙、丙3人共有192張郵票從甲的郵票中取出乙那么多給乙后，再從乙的郵票中取出丙那么多給丙，最后從丙的郵票中取出甲那么多給甲，這時甲、乙、丙3人郵票數相同，甲、乙、丙原來各有多少張？【例 30】 、三個油桶各有油若干千克，第一次把桶的一部分油倒入、兩桶，使、兩桶的油分別增加到原來的2倍；第二次把桶的油倒一些到、兩桶中，使、兩桶油分別增加到第二次倒油時桶內油的2倍；第三次從桶倒一些到、兩個桶內，使、兩桶內的油都增加到第三次倒油前桶內油的2倍，這時各桶內的油都是16千克、三個油桶原來各有油多少千克?【例 31】 有甲、乙兩堆棋子，其中甲堆棋子多于乙堆現在按如下方法移動棋

20、子：第一次從甲堆中拿出和乙堆一樣多的棋子放到乙堆；第二次從乙堆中拿出和甲堆剩下的同樣多的棋子放到甲堆；第三次又從甲堆中拿出和乙堆同樣多的棋子放到乙堆照此移法，移動三次后，甲、乙兩堆棋子數恰好都是32個問甲、乙兩堆棋子原來各有多少個？【例 32】 有一堆棋子，把它三等份后剩一枚，拿去兩份和另一枚，將剩下的棋子再三等份后還是剩下一枚，再拿去兩份和另一枚，最后將剩下的棋子再三等份后還是剩下一枚，問原來至少有多少枚棋子？【鞏固】 有一筐蘋果，把它們三等分后還剩兩個蘋果，取出其中兩份，將它們三等分后還剩個；然后再取其中兩份，將這兩份三等分后還剩個問：這筐蘋果至少有幾個？【例 33】 乙丙三人各有糖豆若干

21、粒，甲從乙處取來一些，使自己的糖豆增加了一倍；接著乙從丙處取來一些，使自己的糖豆也增加了一倍；丙再從甲處取來一些，也使自己的糖豆增加了一倍現在三人的糖豆一樣多如果開始時甲有51粒糖豆，那么乙最開始有多少粒糖豆？【鞏固】 甲、乙、丙三人各有銅板若干枚，開始甲把自己的銅板拿出一部分給乙、丙，使乙、丙的銅板數各增加了1倍；乙把自己的銅板拿出一部分給甲、丙，使甲、丙的銅板數各增加了1倍；丙把自己的銅板拿出一部分給乙、甲，使乙、甲的銅板數各增加了1倍，這時三人銅板數都是8枚，原來每人各有幾枚？【例 34】 有18塊磚，哥哥和弟弟爭著去搬弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕到了哥哥看弟弟搬得太多，就搶過一半弟弟

22、不肯，又從哥哥那兒搶走一半，這時爸爸走過來，他從哥哥那拿走一半少2塊，從弟弟那兒拿走一半多2塊，結果是爸爸比哥哥多搬了3塊，哥哥比弟弟多搬了3塊問最初弟弟準備搬多少塊?【鞏固】 有磚26塊，兄弟二人爭著去挑弟弟搶在前面，剛擺好磚，哥哥趕到了哥哥看弟弟挑的太多，就搶過一半弟弟不肯，又從哥哥那兒搶走一半哥哥不服，弟弟只好給哥哥5塊，這時哥哥比弟弟多挑2塊問最初弟弟準備挑多少塊？【例 35】 有甲、乙、丙三個油桶，各盛油若干千克.先將甲桶油倒入乙、丙兩桶，使它們各增加原有油的一倍；再將乙桶油倒入丙、甲兩桶，使它們的油各增加一倍；最后按同樣的規律將丙桶油倒入甲、乙兩桶.這時，各桶油都是16千克.問：各

23、桶原有油多少千克？【鞏固】 兄弟三人分24個桔子，每人所得個數分別等于他們三年前各自的歲數.如果老三先把所得的桔子的一半平分給老大與老二，接著老二把現有的桔子的一半平分給老三與老大，最后老大把現有的桔子的一半平分給老二與老三，這時每人的桔子數恰好相同.問：兄弟三人的年齡各多少歲？【例 36】 一班、二班、三班各有不同數目的圖書如果一班拿出本班的一部分圖書分給二班、三班，使這兩個班的圖書各增加一倍；然后二班也拿出一部分圖書分給一班、三班，使這兩個班的圖書各增加一倍；接著三班也拿出一部分圖書分給一班、二班，使這兩個班的圖書各增加一倍這時，三個班的圖書數目都是48本求三個班原來各有圖書多少本？【鞏固】 （第四屆小數報數學競賽決賽試題）A、B、C三個油桶各盛油若干千克第一次把A桶的一部分油倒入B、C兩桶，使B、C兩桶內的油分別增加到原來的2倍；第二次從B桶把油倒入C、A兩桶，使C、A兩桶內