1、1第二節第二節2 上述方法得到的模型是否具有實際意義（事上述方法得到的模型是否具有實際意義（事實上任何一組數據代入都可以得到經驗公式），實上任何一組數據代入都可以得到經驗公式），需要建立一個合理的檢驗方法需要建立一個合理的檢驗方法. . 常用的方法有常用的方法有 F 檢驗檢驗, ,t 檢驗檢驗, ,R 檢驗方法檢驗方法. .不不難證明，三種方法是一致的難證明，三種方法是一致的. .本節主要介紹本節主要介紹 F 檢驗檢驗. .3一、平方和分解公式一、平方和分解公式 ：可以分解成如下兩部分可以分解成如下兩部分觀察值觀察值iy)(iiiiyyyy )()( iiiiyyyyyy 則則oyXYiyix

2、xbay yyi iiyy yyi 4 , xbay 即即,xbya 由于由于)()(iiiiyyyyyy 因此有因此有)(1iniiixbayyxba niiiiyyyy1)()(1iniiixbxbyyxbaxba niiiixxbyyxxb1)()( niniiiixxbyyxxb112)()(0 xxxylblb 50)(1 niiiiyyyy所以所以 niiiiyyyy12)()( niiyyyyl12)( niiiiniiiniiyyyyyyyy11212)(2)()( ,)()(1212 niiiniiyyyy.QUlyy ,)(12 niiyyU,)(12 niiiyyQ記記則

3、則6,)(12 niiyyU,)(12 niiiyyQ niixban1)(1 ,y ., )(2112的的分分散散程程度度就就是是故故nniiyyyyy ，個個數數的的平平均均數數這這是是即即nyyyyn,21的的，因因此此，是是回回歸歸直直線線上上的的縱縱坐坐標標又又 , 21niyyyy ,21的分散性的分散性分散性來源于分散性來源于nxxx niiyn11 niixnba11由于由于,xbya 的相關關系引起的，的相關關系引起的，因此因此 U 稱為稱為回歸平方和回歸平方和. .它是通過它是通過 x 對對 Yoyiyixxbay yyi iiyy yyi XY7 niiniiniiyyy

4、yyy121212) ()()( Q 表示除去表示除去x 對對 Y 的線性影響以的線性影響以外的所有其他影響之和，因此外的所有其他影響之和，因此 Q 稱為稱為殘差平方和殘差平方和或或剩余平方和剩余平方和. .oyiyixxbay yyi iiyy yyi XY.QUlyy 從圖上看有從圖上看有)() (yyyyyy 兩端平方后求和有兩端平方后求和有總平方和總平方和（SST）回歸平方和回歸平方和（SSR）殘差平方和殘差平方和（SSE）,)(12 niiyyU,)(12 niiiyyQ niiniiniiyyyyyy121212) ()()(總平方和總平方和（SST）回歸平方和回歸平方和（SSR）

5、殘差平方和殘差平方和（SSE）yyl即即1 1. . 總平方和總平方和(SST)反映因變量的反映因變量的n個觀察值與其均值的總離差個觀察值與其均值的總離差2 2. . 回歸平方和回歸平方和(SSR) 即即 U 反映自變量反映自變量 x 的變化對因變量的變化對因變量 y 取值變化取值變化的影響，或者說，是由于的影響，或者說，是由于x與與y之間的線性關系引之間的線性關系引起的起的 y 的取值變化，也稱為可解釋的平方和的取值變化，也稱為可解釋的平方和3 3. . 殘差平方和殘差平方和(SSE) 即即 Q 反映除反映除x以外的其他因素對以外的其他因素對y取值的影響，取值的影響，也稱為不可解釋的平方和或

6、剩余平方和也稱為不可解釋的平方和或剩余平方和8 完完全全線線性性相相關關；與與，）（ ,01xYlUQyy . , 02無關無關的離差與的離差與不相關，不相關，與與，）（xyxYlQUiyy 的的線線性性對對越越小小，則則越越大大，一一定定時時，當當 YxQUlyy影響越大，反之，則越小影響越大，反之，則越小. . 特別地，特別地， niiniiniiyyyyyy121212) ()()(總平方和總平方和（SST）回歸平方和回歸平方和（SSR）殘差平方和殘差平方和（SSE）910 niixbaxba12)(xxlb2 Ulyy niiyyU12)( niixxb122)(,xylb niiiy

7、yQ12)(.xyyyl bl 關于關于 U 和和 Q 的計算公式：的計算公式：11二、二、F 檢驗檢驗)2/( nQUF 比值比值U/ /Q反映了反映了 x 與與 Y 之間的線性相關關系與隨之間的線性相關關系與隨機因素對機因素對Y 的影響的大小，比值越大，說明線性相關的影響的大小，比值越大，說明線性相關關系越強，但大到什么程度就能說明關系越強，但大到什么程度就能說明x 與與 Y 有線性相有線性相關關系呢？關關系呢？用假設檢驗的方法進行檢驗，通常選用用假設檢驗的方法進行檢驗，通常選用作為檢驗量作為檢驗量. .12,)2(,) (,)(2 nQEaaEbbE , ,2, 2的的無無偏偏估估計計量

8、量分分別別是是即即 banQba 可以證明，可以證明，.2 2 nQS記記13,0 aYb，則，則如如亦即亦即x、Y 之間不存在線性相關關系；之間不存在線性相關關系；說明說明x 對對 Y 沒有線性影響，沒有線性影響，反之，若反之，若 ，x、Y 之間存在線性相關關系之間存在線性相關關系. .0 b因此提出假設因此提出假設.0:0 bH )2, 1( )2( nFnQUF可以證明，若可以證明，若H0 0成立，則統計量成立，則統計量因此可用因此可用 F 檢驗法進行檢驗檢驗法進行檢驗. .14;0:10 bH）提出假設）提出假設（ )2, 1()2(20，成立時，統計量成立時，統計量）在）在（ nFn

9、QUFH ；分布分位數表得臨界值分布分位數表得臨界值，查，查由給定的顯著水平由給定的顯著水平 F , 3的值；的值；）計算）計算（FQU,40HFF，則否定，則否定的值，若的值，若與與）比較）比較（ F 檢驗的具體步驟：檢驗的具體步驟：即認為即認為x、Y 之間存在線性相關關系；之間存在線性相關關系；若不能否定若不能否定H0 0，則沒有理由認為，則沒有理由認為x、Y之間存在線性之間存在線性相關關系相關關系. .xO )(xf 115例例3 3 價格與供給量的觀察數據見下表：價格與供給量的觀察數據見下表：x (元元) 2 3 4 5 6 810 12 14 16y (噸噸) 15 20 25 30

10、 35 45 60 80 80 110解解已求得回歸方程：已求得回歸方程：, 4286. 64288. 1xy ;0:)1(0 bH，成立時，成立時，在在)8 , 1( (2)0FFH 32. 5 ,05. 0；分布表，得臨界值分布表，得臨界值查查對對 F試檢驗回歸效果試檢驗回歸效果. .)05. 0( 16,1350 xyl,61.8678 ,39.22161.86788900 ,6 .313 ，故否定故否定 0Hxyl bU 13504286. 6 UlQyy )2/( nQUF39.22161.86788 , 32. 56 .313 (4) F, 4286. 64288. 1xy ,89

11、00)( (3) 1012 iiyyyyl32. 5 即回歸效果顯著即回歸效果顯著. .17例例4 4 求下表中營業稅稅收總額求下表中營業稅稅收總額 Y 對社會商品零售對社會商品零售總額總額 x 的線性回歸方程，并對回歸效果作顯著性檢的線性回歸方程，并對回歸效果作顯著性檢驗驗.(.(單位：億元，顯著性水平單位：億元，顯著性水平 序號序號社會商品零售額社會商品零售額 x稅收總額稅收總額 Y1142.083.932177.315.96 3204.687.854242.889.825316.2412.516341.9915.557332.6915.798389.2916.399453.4118.45

12、)05. 0 18解解 912,49.85843)(91iixxxxl,80.1191,95.28891, 99191 iiiiyyxxn ,67.4178)(9191 iiixyyyxxl ,33.211)(91912 iiyyyyl.0487. 02675. 2xy ,2675. 2 xbya,0487. 0 xxxyllb所以回歸方程為所以回歸方程為19;0:)1(0 bH，成立時，成立時，在在)7 , 1( (2)0FFH 59. 5 ,05. 0；分布表，得臨界值分布表，得臨界值查查對對 F93.181 , 33.211 yyl,0487. 02675. 2xy 再檢驗回歸效果：再檢

13、驗回歸效果：, 67.4178 xyl,50.203 xyl bU,83. 7 UlQyy)2/( nQUF,59. 5 ，故否定故否定 0H即回歸效果顯著即回歸效果顯著. .20三、相關系數三、相關系數yyxxxyniiniiniiilllyyxxyyxxR 12121)()()(定義定義稱統計量稱統計量為為相關系數相關系數. .在進行回歸效果檢驗時，也可采用上述統計量在進行回歸效果檢驗時，也可采用上述統計量. .21應較小，應較小，應較小，從而應較小，從而為真，為真，從直觀上看，如從直觀上看，如| | 0RbH |0，較大時，就應拒絕較大時，就應拒絕當當HR,|cR yyxxxyniini

14、iniiilllyyxxyyxxR 12121)()()(,yyxxyyxxxyllblllR 故拒絕域可取為故拒絕域可取為.| cRP給定時，給定時，即在即在22相關系數檢驗的具體步驟：相關系數檢驗的具體步驟：;0:10 bH）提出假設）提出假設（;, (2)的的值值計計算算構構造造統統計計量量RllbRyyxx . )2(00HHnRR，否則接受，否則接受，則應拒絕，則應拒絕如如 ;)2( )3( nRR 表，得臨界值表，得臨界值查查23例例5 5 對例對例4 4中的回歸方程作中的回歸方程作 R 檢驗檢驗. .)05. 0( ;0:10 bH）提出假設）提出假設（; (2)yyxxllbR 構構造造統統計計量量解解,664. 0)7( 05. 03 RR表，得表，得，查，查）對）對（, 98. 0 R經計算得經計算得,0.664 98. 0 R因為因為，故否定故否定 0H即回歸效果顯著即回歸效果顯著. .24.1)2(22RRnF xxxyll2 , )1(2Rlyy .1)2(22RRn xyl bU ,2Rlyy UlQyy QUnF)2( 于是于是事實上，上述兩種檢驗方法是一致的事實上，上述兩種檢驗方法是一致的. .這是因為