1、第六章 非正弦周期電路分析26-1 非正弦周期信號的傅里葉級數分解非正弦周期信號的傅里葉級數分解在實際電氣系統中，經常會遇到在實際電氣系統中，經常會遇到非正弦非正弦的激勵源問題，例的激勵源問題，例如電力系統的交流發電機所產生的電動勢，其波形并非理如電力系統的交流發電機所產生的電動勢，其波形并非理想的正弦曲線，而是接近正弦波的周期性波形。即使是正想的正弦曲線，而是接近正弦波的周期性波形。即使是正弦激勵源電路，若電路中存在弦激勵源電路，若電路中存在非線性器件非線性器件，也會產生非正，也會產生非正弦的響應。在電子通信工程中，遇到的電信號大都為非正弦的響應。在電子通信工程中，遇到的電信號大都為非正弦量

2、，如常見的方波、三角波、脈沖波等，有些電信號甚弦量，如常見的方波、三角波、脈沖波等，有些電信號甚至是非周期性的。至是非周期性的。諧波分析法諧波分析法將非正弦激勵分解為一系列不同頻率正弦量的分析方法。將非正弦激勵分解為一系列不同頻率正弦量的分析方法。背景背景3Z Z1 1Z Z2 2u1i1u2u1t tt t分解分解u2t t合成合成非正弦周期信號分解和電路分析方法介紹非正弦周期信號分解和電路分析方法介紹:t t計算計算直流和正弦交流分析直流和正弦交流分析41）當電路激勵源為直流電源或單一頻率的正弦交流電源時，）當電路激勵源為直流電源或單一頻率的正弦交流電源時， 可采用直流電路和正弦交流電路（

3、相量分析）的計算方法。可采用直流電路和正弦交流電路（相量分析）的計算方法。總結總結:非正弦周期信號非正弦周期信號一系列不同頻率的正弦分量一系列不同頻率的正弦分量 每一頻率正弦交流電計算每一頻率正弦交流電計算一系列不同頻率的響應分量合成一系列不同頻率的響應分量合成 分解分解計算計算合成合成2）當激勵源為非正弦周期電源時，分析方法為：）當激勵源為非正弦周期電源時，分析方法為：疊加定理疊加定理5( )T,( )()()( ),設周期函數的周期為則有為任意整數如果函數滿足狄利克雷條件 那么它就可以分解成傅里葉級數.f tf tf tkTkf t=+0111011122( ),( )(cossin)2(

4、 )cos()22,;cossinarctan對于上述周期函數可表示成傅里葉級數 或式中稱為基波角頻率 兩式中系數之間有關系式nnnnnnnnnnnnnnnnnnf taf tantbntaf tAntTaAbAAabbawwwypwyyy=+=+= -=+驏-=桫 60111220112222122011222212222222( )(cossin)2(cossin)2(cossin)2sincos1sincos令 取 nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaf tantbntaababntntababaababntntababbabaabaawwwwwwyyyy

5、=+=+-=+-+-=+=-=+=2222 令 nnnnbAab+=+22cossinarctannnnnnnnnnnnnaAbAAabbayyy= -=+驏-=桫 70111011( )(coscossinsin)2( )cos()2nnnnnnnaf tAntntaf tAntywywwy=+-=+22cossinarctannnnnnnnnnnnnaAbAAabbayyy= -=+驏-=桫 2201122221( )(cossin)2nnnnnnnnnaabf tabntntababww=-=+-+80111122cos(,nn 3n展開式中除第一項外,每一項都是不同頻率的正弦量,稱為周

6、期函數的直流分量(恒定分量),第二項)稱為基波分量, 基波角頻率其變化周期與原函數周期相同 其余各項(n1)統稱為高次諧波.高次諧波分量的頻率是基波頻率的整數倍. 當 =2時稱為二次諧波,= 時稱為三次諧波.是 次諧波的初相角naAtTpwywy+=011( )cos()2nnnaf tAntwy=+920022110221102( ),( ),22( )( )22( )cos( )cos22( )sin( )sin當已知時 傅里葉級數表達式中各諧波分量的系數可由下面的公式求得對于上述周期函數可表示成傅里葉級數TTTTTnTTTnTf tf taf tdtf tdtTTaf tntdtf tn

7、tdtTTbf tntdtf tntdtTTwwww-= 蝌蝌蝌10,44( ),.2442.例6-1-1圖6-1-1所示為對稱方波電壓, 其表達式可寫為求此信號的傅里葉級數展開式TTUtu tTTTTUtt-=- - 1124420224421244211124422( )()()02( )cos2()coscos()cos4sin2(解:根據傅里葉級數的系數推導公式,可得TTTTTTTTTnTTTTTTTaf tdtU dtU dtU dtTTaf tntdtTUntdtUntdtUntdtTUnnwwwwpp-輊犏=-+-=犏犏臌=輊犏=-+-犏犏臌輊犏=犏臌=蝌蝌蝌(1)241),()

8、,0,().為奇數為偶數nUnnnp- 122121112( )sin0.411( )coscos3cos5.35由此可得所求信號的傅里葉級數展開式為TnTbf tntdtTUu ttttwwwwp-=驏=-+-桫L13在實際工程計算中，由于傅里葉級數展開為無窮級數，因此在實際工程計算中，由于傅里葉級數展開為無窮級數，因此要根據級數展開后的收斂情況、電路頻率特性及精度要求，要根據級數展開后的收斂情況、電路頻率特性及精度要求，來確定所取的項數。一般只要取前面幾項主要諧波分量即來確定所取的項數。一般只要取前面幾項主要諧波分量即可。例如，對于上述方波展開的傅里葉級數表達式，當取不可。例如，對于上述方

9、波展開的傅里葉級數表達式，當取不同項數合成時，其合成波形畫于下面的圖中。由圖可見，當同項數合成時，其合成波形畫于下面的圖中。由圖可見，當取諧波項數越多時，合成波形就越接近于原來的理想方波，取諧波項數越多時，合成波形就越接近于原來的理想方波，與原波形偏差越小。與原波形偏差越小。14函數對稱性與系數關系函數對稱性與系數關系2002211022110222( )( )22( )cos( )cos22( )sin( )sinTTTTTnTTTnTaf t dtf t dtTTaf tntdtf tntdtTTbf tntdtf tntdtTTwwww-=蝌蝌蝌110,asin,(613( )(b),c

10、os,)0( )(.)0,0如果函數為偶函數波形對稱于軸(見圖6-1-3 ),此時它的傅里葉級數展開式中不存在項諧波 即此項不必計算.如果函數為奇函數,即有波形對稱于原點 見圖它的傅里葉級數中不包含項諧波與直流分量 即有nnYf tftbf tftanntatww=-=-= -=-150242( )(),2c ,0,(1,2,).如果函數滿足即將波形移動半個周期后與原波形對稱于軸(見圖6-1-3 )則其傅里葉級數展開后不包含偶次諧波分量,即有kTf tf tXAAAAk= -+=LL2002211022110222( )( )22( )cos( )cos22( )sin( )sinTTTTTn

11、TTTnTaf t dtf t dtTTaf tntdtf tntdtTTbf tntdtf tntdtTTwwww-=蝌蝌蝌1621202110200112200111222( )cos22( )cos( )cos222( )cos()cos()2222( )cos()cos()22nTTnTTTTnTTaaf tntdtTf tntdtf tntdtTTTtTTaf tntdtfndTTnTTf tntdtfndTT 僅對進行證明，其余證明類推。 上式第二項中令00112222( )cos()cos()2( )()2TTTf tntdtfndTTTf tf t 由于n(注意我們現在討論的是

12、 為偶數的情況)1700112200112222( ) cos( ) cos22( ) cos( ) cos0TTnTTaf tntdtfndTTf tntdtf tntdtTT 18指數形式的傅里葉級數指數形式的傅里葉級數1111111110111111010( )cossin,2cos,2sin,2( )22222已知函數可展開成傅里葉級數利用歐拉公式可得nnnnjntjntjntjntjntjntjntjntnnnjntnnnaf tantbnteenteentjaeeeef tabjaajbajewwwwwwwwwwwww=-=+=-=輊+-犏=+犏臌驏 -+=+桫邋112jntnne

13、bw-=輊驏犏犏桫臌10102( )cos2( )sinTnTnaf tntdtTbf tntdtTww=191111101112( )sin,.22,0,0,( )( )2,( )因為對于變量 為奇函數 故有同時 當時因此可以把表達式中的各項統一表達為上式就是傅里葉級數復指數形式的表達式 它把一個周期信號表示成一系列以為指數的復指Tnjntjntnnnnnnnjntjntnnnnnbf tntdtnTajbajbeenbf tajbf teF ef tjntwwwwww- -= -= - = - =+-=-=邋邋&cos(sin)222,.數函數式,式中系數與傅里葉三角函數展開式中的

14、系數一致njnnnnnnnnnnajbAjAAFea byyy-=&22cossinnnnnnnnnnaAbAAabyy= -=+20111100221( )(cossin)21( )1( )可由下式直接求出:或 nTnnnTjntTjntnTFajbFf tntjntdtTf tedtTFf tedtTwwww-輊=-犏犏臌=&1,( ).,)( ),( ).為的函數 它代表了信號中各諧波分量的所有信息的模對應諧波分量幅值的一半 而的幅角(當 取正值時則為對應諧波分量的初相角.它是一個已知信號的頻域表達式 與信號的時域表達式是完全等價的nnnFnf tFFnf tf tw&a

15、mp;11( )2jntjntnnnnnajbf teF eww= - = - -=邋&22cossinnnnnnnnnnaAbAAabyy= -=+2njnnAFey=&211221( )TjntnTFf t edtTw-=&1111() ,().,( )稱為給定信號的頻譜函數.的幅值隨的變化關系稱為振幅頻譜,的相位隨變化的關系稱為相位頻譜由于因此振幅頻譜為偶函數 而相位頻譜則為奇函數.信號所包含的各諧波幅值與相位可用幅頻特性和相頻特性圖來直觀表示.nnnnnnnnFFnFnFnnaabbf twwwyw-= -&11( )2jntjntnnnnnajbf t

16、eF eww= - = - -=邋&211022110222( )cos( )cos22( )sin( )sinTTnTTTnTaf tntdtf tntdtTTbf tntdtf tntdtTTwwww-=蝌蝌22cossinnnnnnnnnnaAbAAabyy= -=+220,22( ),.220,22例6-1-2周期脈沖信號如圖6-1-4a所示,求該信號的頻譜函數U(n ), 并作振幅頻譜和相位頻譜圖.解: 由波形圖可知Ttu tUtTtwtttt- -=-時，導納呈感性。當外加電壓的有效值當外加電壓的有效值U固定而頻固定而頻率變化，則可得響應電流的有效率變化，則可得響應電流的有

17、效值與頻率變化的關系為值與頻率變化的關系為22( )( )1()UIUyRLC對于相同振幅的外加信號，響應電流中對于相同振幅的外加信號，響應電流中0 0及附近頻率的分量較及附近頻率的分量較大，即這種電路具有從一系列信號中選擇所需信號的功能。大，即這種電路具有從一系列信號中選擇所需信號的功能。64電路參數對幅頻特性的影響電路參數對幅頻特性的影響22220000222220000002200022000( )1()()() ()1()()1()()( )1()1()UUILRLRCCUURLRQIQUIRIIQ 式中，為諧振時最大電流。把上式改寫為0LQR001LC0()UIR650LQR是諧振電

18、路的品質因數22000( )1()1()IIQ當外加電壓幅值相同時，在不同當外加電壓幅值相同時，在不同頻率下產生的電流值頻率下產生的電流值I()與最大與最大諧振電流諧振電流I(0)之比之比品質因數品質因數Q對電路頻率特性的影響對電路頻率特性的影響Q值越大曲線越尖銳，電路對除值越大曲線越尖銳，電路對除0頻率以外的信號削減越多，這頻率以外的信號削減越多，這意味著諧振電路的選擇性越好。意味著諧振電路的選擇性越好。反之，當反之，當Q值變小時，電路選擇值變小時，電路選擇性較差。性較差。66Q值大的優缺點值大的優缺點（1）Q值大電路選擇所需頻率信號值大電路選擇所需頻率信號的能力強的能力強（2）如果諧振電路的）如果諧振電路的Q值很大，值很大，則會把許多有效信號濾掉，從而則會把許多有效信號濾掉，從而引起嚴重的失真。引起嚴重的失真。通頻帶通頻帶諧振電路的通頻帶諧振電路的通頻帶B定義為兩個半功率點的頻率范圍寬度定義為兩個半功率點的頻率范圍寬度200,2 /2I R00當外加電壓幅度相等，以諧振頻率時在諧振電路上獲得的功率P為基準，當電壓頻率偏離外加信號電壓在諧振電路中產生的功率減小到一半（或者說外加信號