1、會計學(xué)1數(shù)列通項公式的求法數(shù)列通項公式的求法等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的通項公式： 等比數(shù)列的通項公式等比數(shù)列的通項公式： 1(1)naand11nnqaa第1頁/共35頁n即直接用求和公式，求數(shù)列的前n和S11()(1)22nnn aan nSnad11(1)(1)(1)1nnna qSaqqq第2頁/共35頁 1 1、觀察法、觀察法 觀察法就是觀察數(shù)列特征，橫向看各項之間觀察法就是觀察數(shù)列特征，橫向看各項之間的結(jié)構(gòu)，縱向看各項與項數(shù)的結(jié)構(gòu)，縱向看各項與項數(shù)n n的內(nèi)在聯(lián)系。適的內(nèi)在聯(lián)系。適用于一些較簡單、特殊的數(shù)列。用于一些較簡單、特殊的數(shù)列。 第3頁/共35頁,17164,1093,54

2、2,211,52,21,32, 1,54,43,32,21110 nna;122nnnan;12nan1)1(1nnann1.觀察法觀察法第4頁/共35頁1 1、累加法、累加法 若數(shù)列若數(shù)列 , ,滿足滿足其中其中 是可求和數(shù)列，那么可用逐項作差后累加是可求和數(shù)列，那么可用逐項作差后累加的方法求的方法求 ，適用于差為特殊數(shù)列的數(shù)列。，適用于差為特殊數(shù)列的數(shù)列。 na)(1Nnnfaann)(nfna第5頁/共35頁 例例1 1 已知數(shù)列已知數(shù)列 , ,滿足滿足 ，求數(shù)列，求數(shù)列 的通項公式。的通項公式。121naann11anana121naann211223211133212)()(nnna

3、aaaaaaaaannnnn）（）（解：由解：由 得得則則 121naann所以數(shù)列所以數(shù)列 的通項公式的通項公式na2nan第6頁/共35頁2 2、累乘法、累乘法 若數(shù)列若數(shù)列 , ,滿足滿足其中數(shù)列其中數(shù)列 前前n n項積可求，則通項項積可求，則通項 可用可用逐項作商后求積得到。適用于積為特殊數(shù)列的數(shù)列。逐項作商后求積得到。適用于積為特殊數(shù)列的數(shù)列。 )(1Nnnfaannna)(nfna第7頁/共35頁例例2 2、已知、已知 ， , ,求通項公式求通項公式 31annnaa21na解：解：112nnnaannnaa211122aa2232aa ， ， ，即即2)1()1(321122nn

4、nnaa2)1(23nnna3342aa13213423122222nnnaaaaaaaa第8頁/共35頁3 3、 利用數(shù)列前利用數(shù)列前 項和項和 求通項公式：求通項公式：數(shù)列前數(shù)列前 項和項和 與與 之間有如下關(guān)系：之間有如下關(guān)系： 1111)=,.(2)nnnnnnaSnaSaaSSn （由此即可由求nnSnSnna第9頁/共35頁)(1(31*NnaSnnna2a1a例例 4 4、設(shè)數(shù)列、設(shè)數(shù)列 的前項的和的前項的和（1 1）、求）、求 ；（2 2）、求證數(shù)列）、求證數(shù)列 為等比數(shù)列。為等比數(shù)列。 na) 1(31) 1(311) 2(11nnnnnaaSSan時，、當(dāng)) 1(31nna

5、S解解(1)(1)、由由 ，得，得 ) 1(3111aa41),1(31) 1(31212221221aaaaaSa得，即，又211nnaa得的等比數(shù)列，公比為是首項所以2121na第10頁/共35頁例例3 3 已知數(shù)列已知數(shù)列 的前的前 項和項和 求證：求證： 為等比數(shù)列并求通項公式。為等比數(shù)列并求通項公式。nan12nnaSna1121111aaSa解：11221nnna1212111nnnnnaaSSannaa21即的等比數(shù)列，公比為為首項即21na第11頁/共35頁4 4、構(gòu)造等差、等比數(shù)列法、構(gòu)造等差、等比數(shù)列法 對于一些遞推關(guān)系較復(fù)雜的數(shù)列，可通過對于一些遞推關(guān)系較復(fù)雜的數(shù)列，可通

6、過對遞推關(guān)系公式的變形、整理，從中構(gòu)造出一對遞推關(guān)系公式的變形、整理，從中構(gòu)造出一個新的等比或等差數(shù)列，從而將問題轉(zhuǎn)化為前個新的等比或等差數(shù)列，從而將問題轉(zhuǎn)化為前面已解決的幾種情形來處理。面已解決的幾種情形來處理。（1 1）構(gòu)造等差列法）構(gòu)造等差列法 pqaaqappaannnnn1111則若第12頁/共35頁例例5 5、已知數(shù)列、已知數(shù)列 中，中， ，（1 1）、求證）、求證 是等差數(shù)列是等差數(shù)列（2 2）、求）、求 的通項公式的通項公式221nnnaaanana11a1na解：解：22)1 (1nnnaaa、21111nnaannnnaaaa22111221nnaa首項為首項為1 1，公差

7、為，公差為 的等差數(shù)列的等差數(shù)列1na212121)1(11)2(nnan、12nan即第13頁/共35頁變式題：變式題： 已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 中，中，a a1 1=1,=1, a an+1n+1+3a+3an+1n+1a an n-a-an n=0, =0, 求數(shù)列求數(shù)列aan n 的通項公式的通項公式.111130111133nnnnnnnnaaaaaaaa 解解：1113naa 是是以以為為首首項項，以以 為為公公差差的的等等差差數(shù)數(shù)列列111(1)31(1)332nnaann 132nan 第14頁/共35頁（1 1）若）若c=1c=1時，數(shù)列時，數(shù)列aan n 為等差數(shù)列為等

8、差數(shù)列; ;（2 2）若）若d=0d=0時，數(shù)列時，數(shù)列aan n 為等比數(shù)列為等比數(shù)列; ;（3 3）若）若c c1 1且且d d0 0時，數(shù)列時，數(shù)列aan n 為線性遞推數(shù)列，為線性遞推數(shù)列，其通項可通過構(gòu)造輔助數(shù)列來求其通項可通過構(gòu)造輔助數(shù)列來求. .方法方法1 1：待定系數(shù)法：待定系數(shù)法 設(shè)設(shè)a an+1n+1+m=c( a+m=c( an n+m),+m),得得a an+1n+1=c a=c an n+(c-1)m, +(c-1)m, 與題設(shè)與題設(shè)a an+1n+1=c a=c an n+d,+d,比較系數(shù)得比較系數(shù)得: (c-1)m=d,: (c-1)m=d,所以有：所以有：m=

9、d/(c-1) m=d/(c-1) 因此數(shù)列因此數(shù)列 構(gòu)成以構(gòu)成以 為首項，以為首項，以c c為公比的等比數(shù)列，為公比的等比數(shù)列，這種方法類似于換元法這種方法類似于換元法, , 主要用于形如主要用于形如a an+1n+1=c ac an n+d(c+d(c0,a0,a1 1=a)=a)的已知遞推關(guān)系式求通項公式。的已知遞推關(guān)系式求通項公式。1()11nnddac acc 1ndac 11dac 11()11nnddaaccc 11()11nnddaaccc 即即：（構(gòu)造法或待定系數(shù)法）（構(gòu)造法或待定系數(shù)法）6.6.輔助數(shù)列法輔助數(shù)列法第15頁/共35頁方方法法2 2： 1,nnacad 當(dāng)當(dāng)2

10、 2時時1,nnnacad 兩式相減，得：兩式相減，得：11()nnnnaac aa11nnnnaacaa 2 2數(shù)數(shù)列列是是以以為為首首項項，以以 為為公公比比的的等等比比數(shù)數(shù)列列11nnaaaac 212131221121232212121()()()(1)()nnnnnnnna aa a caaa a ca aa acca aa a ca a a a = =（1211)1nca ac 第16頁/共35頁方法四：歸納、猜想、證明方法四：歸納、猜想、證明. . 先計算出先計算出a a1 1,a ,a2 2,a ,a3 3; ; 再猜想出通項再猜想出通項a an n; ; 最后用數(shù)學(xué)歸納法證明

11、最后用數(shù)學(xué)歸納法證明. .1,nnacad 2122()(1)nnnnacadc caddc ad c = =323(1)nc adc c = =1221(1)nnc adc cc = =1()11nddaccc 方法三：迭代法方法三：迭代法 由由 遞推式遞推式直接迭代得直接迭代得第17頁/共35頁例例6:6:已知數(shù)列已知數(shù)列aan n 中，中，a a1 1=3,a=3,an+1n+1=2a=2an n+3,+3,求求數(shù)列的通項公式數(shù)列的通項公式解法解法1 1：由由a an+1n+1=2a=2an n+3+3得得 a an+1n+1+3=2+3=2（a an n+3+3）所以所以aan n+3

12、+3是以是以a a1 1+3+3為首項，以為首項，以2 2為公比的等為公比的等比數(shù)列，所以比數(shù)列，所以:a:an n+3=+3=（ a a1 1+3+3） 2 2n-1n-1故故a an n=6=62 2n-1n-1-3-3解法解法2 2：因為因為a an+1n+1=2a=2an n+3+3，所以，所以n1n1時，時，a an n=2a=2an-1n-1+3+3，兩式相減，得：，兩式相減，得：a an+1 n+1 - a- an n=2(a=2(an n-a-an-1n-1). ).故故aan n-a-an-1n-1 是以是以a a2 2-a-a1 1=6=6為首項，以為首項，以2 2為公比的

13、等比數(shù)列為公比的等比數(shù)列. . a an n-a-an-1n-1=(a=(a2 2-a-a1 1) )2 2n-1n-1=6=62 2n-1n-1, ,a an n=(a=(an n-a-an-1n-1)+ (a)+ (an-1n-1-a-an-2n-2)+ )+ +(a+(a2 2-a-a1 1)+a)+a1 1 =6(2=6(2n-1n-1-1)+3= 3(2-1)+3= 3(2n-1n-1-1)-1)第18頁/共35頁課時小結(jié)課時小結(jié) 這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的通項公式的求法，這節(jié)課我們主要學(xué)習(xí)了數(shù)列的通項公式的求法，大家需要注意以下幾點大家需要注意以下幾點: :1 1、若數(shù)列、若數(shù)列

14、滿足滿足 可用累加法可用累加法來求通項公式；若數(shù)列來求通項公式；若數(shù)列 滿足滿足 可用累乘法來求通項公式可用累乘法來求通項公式; ;若數(shù)列若數(shù)列 滿足滿足 可用構(gòu)造等差數(shù)列來求通項公式；若數(shù)列可用構(gòu)造等差數(shù)列來求通項公式；若數(shù)列 滿足，滿足， 可用構(gòu)造等比數(shù)列來求通項公式；若數(shù)列可用構(gòu)造等比數(shù)列來求通項公式；若數(shù)列已知前已知前 項項 和和 的關(guān)系可用的關(guān)系可用)(1Nnnfaannnanana)(1NnnfaannnSnanannnqappaa1qpaann1nan.1,)2(2111要單獨(dú)討論時注意求由、用naSnSSaSannnnn)2(111nSSaSannn第19頁/共35頁課后作業(yè)課后作業(yè)nnnanaaa求，、已知,21) 1 (11式并證明寫出這個數(shù)列的通項公，中，、已知數(shù)列)( ,211)2(*11Nnaaaaannnnnnnnanaaaa求滿足、已知數(shù)列, 52212121)3(221.,3 , 2 , 1,S311Sn)4(432n11n的通項公式的值及數(shù)列求，且項和為的前、數(shù)列nnnaaaanaaa第20頁/共35頁 111,42(),1(1)2,;(2),.2nnnnnnnnnnnnasnsanNabaabacc ( (5 5) )、數(shù)數(shù)列列中中是是它它的的前前 和和 并并且且滿滿足足設(shè)設(shè)求求證證是是等等比