1、一、泰勒一、泰勒(ti l) ( Taylor ) 級數級數 其中(qzhng)( 在 x 與 x0 之間)稱為(chn wi)拉格朗日余項 .則在若函數的某鄰域內具有 n + 1 階導數, 此式稱為 f (x) 的 n 階泰勒公式 ,該鄰域內有 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第1頁/共24頁第一頁，共25頁。)(00 xxxf200)(!2)(xxxf 為f (x) 的泰勒(ti l)級數 . 則稱當x0 = 0 時, 泰勒(ti l)級數又稱為麥克勞林級數 .1) 對此級數, 它的收斂(shulin)域是什么 ？2) 在收斂域上 , 和函數是否為 f (x) ?待解決的問題待解決的

2、問題 :若函數的某鄰域內具有任意階導數, 0)(xxf在機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第2頁/共24頁第二頁，共25頁。定理定理(dngl)1 .各階導數(do sh), 則 f (x) 在該鄰域(ln y)內能展開成泰勒級數的充要條件是 f (x) 的泰勒公式中的余項滿足:證明:令)(0 xx設函數 f (x) 在點 x0 的某一鄰域 內具有機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第3頁/共24頁第三頁，共25頁。定理定理(dngl)2.若 f (x) 能展成 x 的冪級數, 則這種展開式是唯一(wi y)的 , 且與它的麥克勞林級數相同.證: 設 f (x) 所展成的冪級數為則顯然結論(

3、jiln)成立 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第4頁/共24頁第四頁，共25頁。二、函數二、函數(hnsh)展展開成冪級數開成冪級數 1. 直接(zhji)展開法由泰勒級數(j sh)理論可知, 第一步 求函數及其各階導數在 x = 0 處的值 ;第二步 寫出麥克勞林級數 , 并求出其收斂半徑 R ; 第三步 判別在收斂區間(R, R) 內是否為驟如下 :展開方法直接展開法 利用泰勒公式間接展開法 利用已知其級數展開式0. 的函數展開機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第5頁/共24頁第五頁，共25頁。例例1. 將函數將函數(hnsh)展開(zhn ki)成 x 的冪級數. 解解: 其

4、收斂(shulin)半徑為 對任何有限數 x , 其余項滿足故( 在0與x 之間)故得級數 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第6頁/共24頁第六頁，共25頁。例例2. 將將展開(zhn ki)成 x 的冪級數.解: 得級數(j sh):其收斂(shulin)半徑為 對任何有限數 x , 其余項滿足! ) 1( nn0機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第7頁/共24頁第七頁，共25頁。類似(li s)可推出:),(x),(x(P220 例3) 機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結束 第8頁/共24頁第八頁，共25頁。例例3. 將函數將函數(hnsh)展開(zhn ki)成 x 的冪

5、級數, 其中m為任意(rny)常數 . 解: 易求出 于是得 級數由于級數在開區間 (1, 1) 內收斂. 因此對任意常數 m, 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第9頁/共24頁第九頁，共25頁。2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(推導(tudo)則推導 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結束 為避免研究(ynji)余項 , 設此級數的和函數為第10頁/共24頁第十頁，共25頁。2!2) 1(xmmnxnnmmm!) 1() 1(稱為(chn wi)二項展開式 .說明(shumng)：(1) 在 x1 處的收斂性與 m 有關(yugun) .(2) 當 m 為正整數時, 級數

6、為 x 的 m 次多項式, 上式 就是代數學中的二項式定理.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 由此得 第11頁/共24頁第十一頁，共25頁。對應(duyng)的二項展開式分別(fnbi)為機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第12頁/共24頁第十二頁，共25頁。2. 間接間接(jin ji)展開法展開法利用一些已知的函數(hnsh)展開式及冪級數的運算性質, 例4. 將函數(hnsh)展開成 x 的冪級數.解: 因為把 x 換成)11(x, 得將所給函數展開成 冪級數. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第13頁/共24頁第十三頁，共25頁。例例5. 將函數將函數(hnsh)展

7、開(zhn ki)成 x 的冪級數.解: 從 0 到 x 積分(jfn), 得定義且連續, 區間為利用此題可得上式右端的冪級數在 x 1 收斂 ,所以展開式對 x 1 也是成立的,于是收斂機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第14頁/共24頁第十四頁，共25頁。例例6. 將將展成(zhn chn)解: 的冪級數. 機動(jdng) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第15頁/共24頁第十五頁，共25頁。例例7. 將將展成(zhn chn) x1 的冪級數. 解: 機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結束 第16頁/共24頁第十六頁，共25頁。內容內容(nirng)小結小結1. 函數(hnsh

8、)的冪級數展開法(1) 直接(zhji)展開法 利用泰勒公式 ;(2) 間接展開法 利用冪級數的性質及已知展開2. 常用函數的冪級數展開式1x2!21x式的函數 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第17頁/共24頁第十七頁，共25頁。x11nxnnmmm!) 1() 1(當 m = 1 時),(x),(x) 1, 1(x機動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結束 第18頁/共24頁第十八頁，共25頁。思考思考(sko)與練習與練習1. 函數(hnsh)處 “有泰勒(ti l)級數” 與 “能展成泰勒(ti l)級數” 有何不同 ?提示: 后者必需證明前者無此要求.2. 如何求的冪級數 ?提

9、示:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第19頁/共24頁第十九頁，共25頁。作業(zuy) P223 2 (2) , (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 4 ; 6 第五節 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結束 第20頁/共24頁第二十頁，共25頁。)()1 (xFx例例3 附注附注(fzh)第21頁/共24頁第二十一頁，共25頁。備用備用(biyng)題題 1.將下列(xili)函數展開成 x 的冪級數解:211xx1 時, 此級數(j sh)條件收斂,因此 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 第22頁/共24頁第二十二頁，共25頁。)1 (lnxx1, 1(x221x331x441x11) 1(nnxn2. 將將在x = 0處展為冪級數.解:)(3232x因此(ync)機動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結束 第23頁/共24頁第二十三頁，共25頁。感謝您的觀看(gunkn)！第24頁/共24頁第二十四頁，共25頁。NoImage內容(nirng)總結一、泰勒 ( Taylor ) 級數。第1頁/共24頁。1) 對此級數, 它的收斂域是什么。第2頁/共24頁。f (x) 的泰勒公式中的余項