1、.1 線性控制系統工程 第16章 伯德圖分析，穩定性， 及幅值和相角裕度 .2(g c) 第第16章章 伯德圖分析伯德圖分析,穩定性穩定性 及幅值和相角裕度及幅值和相角裕度u伯德圖中的增益裕度和相角裕度g c(g c)M ( pc)pcpcdbgcpccMMGMPMMKKGMlg201lg201801.3 改變增益的作用是使幅值曲線上下平移，而相角曲線不變。如果 那么dBKKlg206lg205 . 0lg205 . 0lg206lg202lg202lg20dBdBKKKKKK.4 考慮下面的例子： K=0.1 轉折頻率為 1, 0.5, 0.34 奈奎斯特穩定性判據：當相角為-180o時，如

2、果系統幅值小于或等于1，那么這個系統是穩定的。 在伯德圖中， 單位幅值對應于 MdB=0。 例子中: 相位為-180時， 幅值約為 18dB ，因此系統是穩定的。 sssKsGH3121.5 0.01 0.1 1.0 1040200-20-40dbM-90-180-270圖16.1 例子系統的伯德圖0相位穿越點增益穿越點.6 增加K 將使幅值曲線向上平移動，從而使幅值穿越點向右移。但是相角穿越點保持不變。 系統最終處在臨界不穩定點上。 計算臨界不穩定時系統的幅值。 dBdBNKNKNKNKlg20 lg20lg20lg20.710logdbM90180270K1K2K cK3.81K1K2K3

3、KcReI m Re圖.16.2 具有變化K的系統伯德圖、奈奎斯特圖和根軌跡I mK3KcK2K1.9 在相位-180時， K dB 幅值約為 18dB， 如果系統不穩定： 這個結果接近于先前分析的結果K=0.832. 誤差是由伯德圖的相角曲線用直線近似引起的。 94. 718lg20NNNdBdBN 180794. 0 NKKc.10l伯德圖中的增益裕度 增益裕度 (用分貝表示)為 Kc 的分貝值與增益K的分貝值之差。 KKGMcKKGMcdBlg20lg20.11伯德圖中的相位裕度：- 相位裕度是使相角曲線向下移動 直到增益和相角穿越點發生在同一頻率時的純相角滯后量 。 - 在圖16.1中

4、 54PM.12l 在伯德圖中獲得增益裕度和相位裕度: 增益裕度是通過相角穿越頻率得出的。 它是該頻率處的幅值分貝值與0dB線之間的差值(用分貝表示) 。 相角裕度是通過增益穿越頻率得出的， 它是此頻率處的相角與-180o線之間的差值。.1310log10logdbM0db0180圖.16.3 增益裕度和相位裕度GMPM.14l一般開環傳遞函數 當 趨于 0 時 knmbpspspsszszszsKsGH/1/1/1/1/1/12121 nbsKsGH.15l0型系統 10logdbM1020logPK圖.16.4 0型系統的伯德圖0( )bnGH sK()pGH jK.16l1型系統 幅值增

5、益 如果k=1 ，那么當 = 1 時，圖形經過Mdb= 0dB線。()vKGH j( )bbKKGH ssj10logdbM1020logvK10180-20db/decade圖.16.5 1型系統的伯德圖.17 Kv的值可以通過測量在 =1處的增益來獲得。如果其他環節在頻率 =1之前作用于對數幅頻特性， 那么應該用低頻漸近線的延長線求出。10logdbM-20db/decade1020logvK1 圖.16.6 1 型系統的另一種伯德圖.18l2型系統 如果 ka=1。對數幅頻特性在當 =1時，其低頻段或它的延長線會以40db/decade 的斜率穿過 零分貝線 。 Ka 的值可以通過測量

6、= 1 處的增益值來獲得。 2sKsGHb2jKjGHa.19110log1020logaKdbM-40db/decade圖.16.7 2 型系統的伯德圖.20l相角裕度是確定系統穩定性的唯一可靠的參數。l無頻率穿越點：- 考慮下面的例子 - 相角絕不會穿過 -180 線。 但是相位裕度可以從增益穿越點 PM=45處獲得， 系統是穩定的。 10/112sssKsGH.21 0.01 0.1 1.0 1040200-20-40dbM-90-180-270 圖16.8 無相位穿越點的伯德圖0K=1.22MATLAB 仿真 10/112ssssGHsys=tf(1 1,0.2 1 0 0);bode

7、(sys) pause .23.24 用根軌跡來驗證： ReI m-10-1圖.16.9 系統的根軌跡圖.25l 多個頻率穿越點： 考慮下面的例子 增益穿越頻率在=1處, 相角裕度為-45, 可判斷出系統是不穩定的。 1000/1100/110/113sssssKsGH.26 這里有兩個相位穿越頻率，分別為=3 和=300。在每個頻率處增益裕度是正的， 表明系統是穩定的系統。 但相位裕度判斷系統的確是不穩定的。.27 0.01 0.1 1.0 10 40 0-40-80dbM-90-180-270圖16.10 具有兩個相位穿越點的系統0GM1=K (db)K=1GM2=K(db)-20-40-

8、40-60PM.28MATLAB 仿真 1000/1100/110/113ssssssGHsys=tf(0.1 1.1 1,0.00001 0.011 1 0 0 0);bode(sys) pause .29.30 用根軌跡來驗證： 在kk1時， 系統是不穩定的； 在 k1kk2時， 系統再次不穩定。 圖.16.11 系統的根軌跡圖1122dbdbGMKGMK-1-10-100-1000ReI mK=K2K=K13 polesK=1.31l單一頻率穿越點: 增加相位考慮下面的例子相位裕度是負的，表明系統是不穩定的。增益裕度是正的，表明系統是穩定的。 考慮相位裕度，系統是穩定的。 322/1ss

9、sGH.32 0.1 1 10 10040 0-40-40dbM-90-180-270 圖16.12 具有單一漸增相位穿越點的系統的伯德圖0-40-60PMGM=K1(db).33MATLAB 仿真 322/1sssGHsys=tf(0.25 1 1,1 0 0 0);bode(sys) pause .34.35從根軌跡得到證實， 系統是條件穩定的。 當kk1時， 系統是不穩定的。 3 poles2 zeroes-2K=K1K=1ReI m圖.16.13 系統的根軌跡圖.36l通過伯德圖判斷穩定性的可靠方法是:l- 如果系統有正的相角裕度，那么系統是穩定的。l- 相角裕度是由伯德圖判定系統穩定

10、性的唯一可靠的方法。 .37改進的奈奎斯特判據： 根據沿著頻率增加方向的頻率特性，觀察臨界點是在其左邊還是右邊通過，是由極坐標圖判斷穩定性的唯一可靠的方法。 .38 當 k k1時， 系統是穩定的-1 0ReI m 圖.16.14 穩定系統的奈奎斯特圖.39l問題: 如圖所示的系統， 畫出當K=45時的伯德圖， 并確定增益裕度和相位裕度。 計算使系統穩定的最大K值， 并用勞斯陣列驗證其結果。例題 16.1K31(2)(3)ss-+RC圖.SP16.1.1.40l解:開環傳遞函數： 轉折頻率發生在=2 和=3處， 將會在以下的頻率范圍畫出伯德圖： 223112115 . 23245sssssGH

11、1001 . 0dBKdB 85 . 2lg2050 11PMdBGM.41 0.1 1 10 10020 0-20-40dbM-90-180-270 圖.SP16.1.20PMGM.42MATLAB 仿真 223112115 . 23245sssssGHsys=tf(45,1 8 21 18);bode(sys) pause .43.44獲得最大值 Kmax=NK用勞斯陣列來驗證結果： 特征方程為 誤差與增益裕度的精確性有關101120log3.5545 3.55160NNK232(2)(3)821180ssKsssK210:8181:(16818)08:180sKsKsK3:s121168

12、 180150Kk.45l問題: 一個單位反饋控制系統，其開環傳遞函數為：l 畫出當 K=0.8時系統的伯德圖， 并確定增益裕度和相位裕度。 使系統的相位裕度約為 60的K為何值?l解:例題 16.2 4152sssssKsG 2224/4/115/125. 14/4/1145/15sssssKsssssKsGH.46 轉折頻率: =1( 兩次), =5 (零), n=2 (二階系統的轉折頻率). 將在以下頻率范圍內畫出伯德圖： 畫出每一個環節的增益和相位曲線0.25 412n1001 . 0dB 025. 1K.47 0.01 0.1 1.0 1040200-20-40dbM-90-180-270圖16.2.10.48 0.01 0.1 1.0 104020