1、2019-2020年高中數學213余弦定理(一)教案北師大版必修5知識梳理余弦定理：(1) 形式一：，形式二：，(角到邊的轉換)(2)解決以下兩類問題1)、已知三邊，求三個角；(唯一解)2)、已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他兩個角；(唯一解)題型一根據三角形的三邊關系求角_abcsinAsinBsinC例1.已知ABC中,sinA:sinB:sinC=('3+1):一1):吋10，求最大角.sinA:sinB:sinC=a:b:c=（冷3+1）:（；31）:顧設a=（/3+1）k，b=（；31）k，c=：10k則最大角為C.cosC+一2（k0）解：(3+1)2+(31)2212X

2、(石+1)(V3-1)2C=120°.評析：在將已知條件中角的關系轉化為邊的關系時，運用了正弦定理的變形式：a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC，這一轉化技巧，應熟練掌握.在三角形中，大邊對大角，所以角C最大。題型二已知三角形的兩邊及夾角解三角形例2.在ABC中，=，二，且，是方程的兩根,。(1) 求角C的度數；(2) 求的長；(3) 求厶ABC的面積。解：(1)(2) 因為，是方程的兩根，所以.AB2=b2+a2-2abcosl20o=(a+b)2ab=10nAB=*'10(3)評析：在余弦定理的應用中，注意與一元二次方程中韋達定理的應用。方程的根往往不必直

3、接求出，要充分利用兩根之和與兩根之差的特點。備選題正、余弦定理的綜合應用例3.在中，內角A、B、C的對邊長分別為、，已知，且sinAcosC=3cosAsinC,求b解法一：在中sinAcosC=3cosAsinC,則由正弦定理及余弦定理a2+b2c2-b2+c2a2有：aa廠=3-ib屮化簡并整理得：又由已知.解得解法二:由余弦定理得:.又,。所以又sinAcosC二3cosAsinC,/.sinAcosC+cosAsinC二4cosAsinCsin(A+C)=4cosAsinC，即由正弦定理得，故由，解得。評析:從近年高考考綱中就明確提出要加強對正余弦定理的考查.在備考中應注意總結、提高自

4、己對問題的分析和解決能力及對知識的靈活運用能力.此題事實上比較簡單,但考生反應不知從何入手.對已知條件(1)左側是二次的右側是一次的,學生總感覺用余弦定理不好處理,而對已知條件(2)sinAcosC=3cosAsinC,過多的關注兩角和與差的正弦公式,甚至有的學生還想用現在已經不再考的積化和差,導致找不到突破口而失分.例3.在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為，證明：。證明：由余弦定理知：a2=b2+c2一2bc-cosA，b2=a2+c2一2ac-cosB則=b2-a2-2bc-cosA+2ac-cosB，整理得:a2一b2_acosB一bcosAc2c又由正弦定理得:，a2一b2sinA

5、cosB一cosAsinBc2sinC評析：三角形中的證明，應充分利用正、余弦定理，三角函數的公式，在邊、角關系中，明確證明思路，都化為邊的關系或都化為角的關系。.點擊雙基1. 在ABC中，若a=2,b=2/2,c6+.12，則ZA的度數是()(A)30°(B)45°(C)60°(D)75°解：=，A=30°答案：A2. 在AABC中，若(a+b+c)(b+ca)=3bc,貝g()ABCD解：(a+b+c)(b+c一a)=3bc,(b+c)2a2=3bc,=3bc,cosA=b2+c2一a22bc=A=600答案：B3. 在AABC中，若2co

6、sBsinA二sinC，則ABC的形狀一定是（）A.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形解：由2cosBsinA=sinC得Xa=c,Aa=b.答案：C4. 在AABC中，若：，則。解：，a2+b2-c21/令C0SC=2ab=一2'C=1200答案：5. 在AABC中，a,b,c分別是角A,B,C所對的邊，已知則A=解：由余弦定理可得c2=3+9一2x；3x3cos30=3,oc=a二、-'3nA=C=300答案：課后作業1邊長為的三角形的最大角與最小角的和是（）ABCDC52+82721c解：設中間角為，則cos0=入,0=60o,180o-60。=12

7、00為所求2x5x82答案：B2. 以4、5、6為邊長的三角形一定是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.銳角或鈍角三角形解：長為6的邊所對角最大，設它為，則答案：A3. 如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為（）A.B.C.D.解：設頂角為C,因為，a2+b2一c24c2+4c2一c27由余弦定理得：cosC=2ab2x2cx2c8答案：D_4. 在中，角A、B、C的對邊分別為、，若（a2+c2b2）tanB=f3ac，貝角B的值為（）A.B.C.或D.或解：由（a2+c2-b2）tanB=p3ac得即，又B為厶ABC的內角，所以B為或答案：D5. 在ABC中

8、，若，則最大角的余弦是（）ABCD解：c2=a2+b22abcosC=9,c3，為最大角,答案：C6.在中，則三角形為（A.直角三角形）B.銳角三角形C.等腰三角形D.等邊三角形解：由余弦定理可將原等式化為答案：C7. 的內角的對邊分別為，若c空2，b=、6B120，則等于（）0AB2CD解：由余弦定理得，b2a2+c22ac-cosB，6=&+2+&&=或-2（舍去）答案：D8. 三角形的兩邊分別為5和3，它們夾角的余弦是方程的根，則三角形的另一邊長為（）A.52B.C.16D.4解：由題意得或2（舍去）答案：B二填空題9. ABC中，若，則A=解：=A=答案：10.

9、 在ABC中，若則ABC的形狀是。解：為最大角，為銳角答案：銳角三角形11. 在銳角厶ABC中，若，則邊長的取值范圍是。a2+b2>c213>c2解：<a2+c2>b2,<4+c2>9,5<c2<13,巧<c<c2+b2>a2c2+9>4答案：三解答題12. 在厶ABC中:(1) 已知b=8,c=3,A=60，求a；已知a=20，b=29，c=21，求B；(3) 已知a=3：3,c=2,B=150°，求b；已知a=2,b=；2,c=；3+1,求A.解：(1)由a2=b2+C22bccosA得a2=82+322X8

10、X3cos60°=49,.°.a=7.(2)由cosB=C2+a2b22ca=0,.B=90°.n202+212292cos=2X20X21(3)由b2=a2+c22accosB得b2=(,'3)2+222X3X2cos150°=49,：b=7.(4)由cosA=b2+C2a22bc.A=45°.A(寸2)2+(p3+1)222cosA=2p2(p3+1)C=1800-(A+B)ul8Oo(56o2O'+32o53)13在AABC中，A=12Oo,c>b,a=21,S=，求。ABC解：SnA=、j3,bc=4,NABC2a

11、2=b2+c22bccosA,b+c=5,而所以14半徑為R的圓外接于ABC,且2R(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB.求角C；-a_b_=2RsinAsinBsinCacbsm2A=()2,sm2C=()2,smB=*.*2R(sin2A-sin2C)=(ab)sinB2R2R2R2R()2()2】=(ab)a2C2=abb2Q.cosC=,.解:(1)VC=30°2019-2020年高中數學2.1.5向量共線的條件與軸上向量坐標運算教案新人教B版必修4(一) 教學目標1. 知識與技能:(1) 理解掌握向量共線的條件(平行向量基本定理)及其應用;(2) 了解單位向量、軸

12、上向量、基向量、軸上向量的坐標等概念;(3) 理解掌握軸上向量的坐標公式、數軸上兩點間距離公式及公式的應用.2. 過程與方法:(1)借助幾何直觀引導學生理解平行向量基本定理和軸上向量的坐標運算;(2) 通過平行向量基本定理的得出過程,體會由特殊到一般的思維方法;(3) 通過解題實踐,體會平行向量基本定理的應用.3. 情感、態度與價值觀:通過本節課的學習,使學生體會到向量的深刻的幾何背景,它是解決幾何問題的有力工具,從而激發學生的學習興趣.(二) 教學重點、難點教學重點是平行向量基本定理.教學難點是平行向量基本定理的應用.(三) 教學方法在平行向量基本定理的教學中,利用幾何直觀讓學生觀察、抽象、

13、概括的方式,得出定理;在定理的運用中,引導學生分析思路,體驗解題方法.(四) 教學過程教學環節教學內容師?；釉O計意圖復習提問1共線向量、零向量2兩個向量平行與幾何中兩直線平行有何區別？3數乘向量的定義4零向量與任何向量平行嗎？學生回答復習舊知識，引出新知識定理形成引例:幾何直觀，教材中圖2-25,226平行向量基本定理：如果a=Ab,則ab；反之,如果ab,且bHO,則一定存在唯個實數入，使a=入b教師提問：通過幾何直觀；再由向量平行和數乘向量的定義可得出什么呢？學生思考，回答教師完善通過學生觀察，比較,抽象,概括得出定理,讓學生體會由特殊到一般的思維方法.應用舉例例1如圖228,M,N杲A

14、BC的中位線，求證:MN二BC且MNBC教師提問：此題是一道幾何題，同學們考慮可否用今天學的有關向量知識解決呢？學生思考，回答，師生共同完成，并歸納解題方法通過分步設問，引導學生體會解題思路的形成過程，體會平行向量基本定理在解幾何題中的應用.課堂練習練習A2學生獨立完成及時鞏固所學知識教學環節教學內容師?；釉O計意圖應用舉例例2已知:a=3e,b=2e,試問向量a與b是平行？教師提問：根據剛學的定理，如何判斷兩個向量平行鞏固平行向量基本定理的應用并求1a|：|b|呢？引導學生做出此題.課堂練習練習A1學生獨立完成及時鞏固所學知識概1單位向量:給定一個非零向教師用幾何直觀講解這些幾何直觀講解便于

15、念量a,與a冋方向且長度等于1概念理解.這些概念為介的向量，叫作向量a的單位向學習后面的三個公紹量.式2軸:規定了方向和長度單位的直線叫做軸(圖229)3基向量.軸上向量的坐標在軸l上取單位向量e,使e的方向與l同方向，對軸上任意向量a,定存在唯一實數x,使a=xe,x叫做a在l上的坐標.當a與e同方向時,x是正數，當a與e反方向時，x是負數；提問軸與數軸的區別做準備.e叫做軸l的基向量.a叫軸l教師提問：實數與數軸上的搞清實數與軸上向的軸上向量.小結:實數與軸上的向量建立起一一對應關系.于是可用數向量建立了什么關系？學生回答向量可用什么表示？學生回答.量的關系.利用前面學過的概值表示向量.教

16、師板書推理過程：設a=xie,b=x2e;念定理推出新的結論,說明向量是可4軸上兩個向量相等的條件如果a=b,則X=x2以進行推理運算軸上兩個向量相等的條件是它們的坐標相等；軸上兩個向量和的坐標等于兩個向量坐標的和.反之，如果X=x2,則a=b另夕卜；a+b=xe+xe=(x+x)e1212的.軸上向量公式AB+BC=AC教師采用幾何直觀按照教為公式的推導坐標公式.數軸上兩點間距離公式材的方法推導出公式(1)注意：的坐標又常用AB表示教師采用幾何直觀講解并板書公式(2)的推導：做準備公式(2)AB=x2xi(軸上向量設e是軸x的基向量，向量體現本節課的重點坐標公式)即軸上向量的坐標a平行于x軸，以原點0為始難點內容，平行向等于向量終點的坐標減去始點作=a,則點P的位置被向量基本定理的應點的坐標公式(3)|AB|=|xx|21量a所唯一確定貝y=xe(平行向量基本定理)x是點P的位置向量在x軸上的坐標;反之亦然.在數軸x上,已知點A的坐標為x,點B的坐標為x(如12圖232)由公式(1)得AB=AO+OB=OA+OB=xx21用；還有公式的應用.公式應用例3已知數軸上三點A,B,C的坐標分別是