1、高考數學沖刺圓錐曲線重要公式與定理在高考解題中的應用一：定點問題定理1:圓錐曲線直角弦的性質：1：設尼人,九)為橢圓鳥+ 4 = 11。0)上的一個定點，R是動弦，則 a b利為直角弦的充要條件是超過定點+b a +b* ,2：設4(%,%)為雙曲線- = l(a0)上的一個定點，鳥是動弦,則利為直角弦的充要條件是利過定點M傳竺與,-養D a -b )3:設外人,凡)為拋物線V =2px上的一個定點，6鳥是動弦，貝IJ片鳥為 直角弦的充要條件是片鳥過定點“卜+2p,-%)例1:已知橢圓。的中心在原點，焦點在x軸上，橢圓C上的點到焦點 距離的最大值為3,最小值為1.(1)求橢圓C的標準方程；(2

2、)若直線y = Zx+m與橢圓C相交于兩點(A,B不是左右頂點)， 且以43直徑的圓過橢圓。的右頂點。求證直線過定點，并求出該定 點得到坐標。2例2：已知橢圓C：5+y2=i（ai）的兩焦點與短軸的一個端點的連線 a構成等腰直角三角形。（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的動直線交,橢圓于兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點T，使得以A3為直徑的圓恒過點7?若存在，求出T的坐標；若不存在請說明理由.例3：在平面直角坐標系中，。為坐標原點，已知拋物線C： y2=2px 的準線方程為x = -l, M(h-3), N(5,若動點P滿足麻=由彳，且點尸的 軌跡與拋物線C交于AB兩點。(1 )求證

3、：OA1OB(2)在軸上是否存在一點Q,0X?h。)，使得過點。的直線/交拋物線 C于。,E兩點，且以線段DE為直徑的圓都過原點？若存在，求出以 線段OE為直徑的圓的圓心軌跡方程；若不存在，請說明理由。例4：已知橢圓C的中心在原點，焦點在x軸上，兩焦點儲,工之間的 距離為26，橢圓上第一象限內的點尸滿足且APGK的面積 為1.（1）求橢圓C的標準方程；（2）若橢圓C的右頂點為A,直線/:曠=履+加（女工0）與橢圓C相交于不 同的兩點且滿足4M_LAN。求證:直線/過定點，并求出定點得 到坐標。例5.已知點、B（-1,O）,C（1,O）,P是平面上一動點，且滿足 PCBC= PBCB（1）求點尸

4、的軌跡C對應的方程；(2)已知點A(m,2)在曲線。上，過點A作曲線。的兩條弦AD和AE,且ADLAE,判斷：直線是否過定點？試證明你的結論.例6:已知A,8是拋物線1 =2py(p0)上的兩個動點，0為坐標原點， 非零向量滿足.(I )求證：直線A8經過一定點；(II)當A8的中點到直線9-2x = 0的距離的最小值為苧時，求的 值定理2：圓錐曲線的相關弦問題（設A8為圓錐曲線C的任意一條不 垂直于焦點所在軸的弦，作點A關于焦點所在軸的對稱點今，則稱弦 A B與弦AB為一對相關弦）定理：設AB為橢圓0+=1 （ ab0 ）（雙曲線三-2=1）的一 a ba b條不垂直于x軸的弦，AB為相關弦

5、。點（肛0）,（加#0）為已定點，則直線A8過定點的充要條件是直線A B過點M 幺,（）。5 ） 設A8為拋物線V =2px (p 0)的任意一條不垂直于對稱軸的弦，AB 為相關弦。點M的,0),(2 H 0)為已定點，則直線A8過定點M(z,0)的充要 條件是直線A B過點M (_私0)。推論：設A8為圓錐曲線C的任意一條不垂直于焦點所在軸的弦，A B 為相關弦。則直線A8過焦點的充要條件是直線AB過對應準線與對稱 軸的交點。例1:：橢圓m+4=1(。0)經過點(0,1),離心率為6 =出。a b2(1)求橢圓C的標準方程；(2)在橢圓C上任取不同兩點A8,點A關于x軸對稱的點為A ,當 A

6、8變化時，如果直線AB經過x軸上的一個定點7(1,0),問直線A8是 否也經過軸上的一個定點？若是，求出這個定點的坐標；若不是，請 說明理由。定理2：設橢圓+q=1 （ ab0 ）（雙曲線S-2=1）的長軸（虛 a ba b軸）端點為A,B,點0（,）是直線x=/n上的一點，直線QAQ8與橢圓 （雙曲線）分別交于點例,N,則直線MN過x軸上的一定點P（二,0）例1:在平面直角坐標系中，已知焦距為4的橢圓C: +1 = l的左右 a- b頂點分別為A,8,右焦點為尸，過尸作垂直于x軸的直線與橢圓相交 于凡S兩點，若線段RS的長為與（1）求橢圓C的標準方程；（2）設Q（9,）是直線x = 9上的點

7、，直線QAQB與橢圓。分別交于 M,N ,求證：直線MN過x軸上的一定點，并求出此點的坐標。例2.已知橢圓E的中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過A（-2,0）、8（2,0）、三點.（1）求橢圓E的方程：（2）若點D為橢圓E上不同于A、8的任意一點，F（-l,0）,/7（l,0）,當OFH內切圓的面積最大時。求內切圓圓心的坐標；(3)若直線/:y = k(xl)0tHO)與橢圓E交于M、N兩點，證明直線AM與直線BN的交點在直線x = 4上.8(2,0)、三點.過橢圓的右焦點F任做一與例3.已知橢圓E中心在坐標原點，焦點在坐標軸上，且經過A(-2,0)、(1)求橢圓E的方程:線/與橢圓E交于

8、M、N兩點,AW與6N所在的直線交手(2)是否存在這樣直線?，使得點Q恒在直線m上移動”若存在,求出直線,方程,若不存在,請說明理由.相交于一定點N?若交于定點N,請求出N品并給予證明；否則說明理由。定理1:過橢圓+J=1 （雙曲線的焦點的直線/與橢圓 （雙曲線）交于AB兩點，過4,8作橢圓（雙曲線）的垂線交橢圓（雙 曲線）的準線于。,E兩點，則直線AE與80相交于點（上左。2:過拋物線V =2px的焦點的直線/與拋物線交于A8兩點，過A,8作 拋物線的準線的垂線交準線于兩點，則直線AE與8。相交于點 （0,0）o1.如圖，已知直線L： x =毆+1過橢圓C: + / = l（ab 0）的右焦

9、點F,且交橢圓C于A,8兩點，點A,B在直線G:x = 上的射影依次為點D,E 0（1）若拋物線/ =4/y的焦點為橢圓C的上頂點，求橢圓C的方程;x=a（2）（理）連接AE、BD,試探索當m變化時，直線AE、班）是否（文）若n（F，）為無軸上一點，求證：麗屜二：斜率為定值（定點，定向問題） 22定理10：橢圓 = l（a60）上定點P&,%）與橢圓上兩點小外連 線的斜率存在，則（1 ）動弦片鳥所在的直線必過定點 -%（我/0）的充要條件Pq,PH是的斜率之和為定值-2k）； （2）動弦片2必有定向二.=1 區的充要條件是P&PH的 aI 。斜率之和為0。推論（1）滿足定理（1）條件的動弦片6

10、所過定點在?關于橢圓的長軸對稱點P-的切線上（2）滿足定理（2）條件的動弦片名與關于橢圓的長軸對稱點P的切線平行。定理11:雙曲線5-=1 上定點p（x。,光）與雙曲線上兩點路/連線的斜率存在，貝|1）動弦62 所在的直線必過定點（o T7 y（rxo h。）的充要條件 PP，PPi 是的V bk ak ）斜率之和為定值2； （2）動弦牝必有定向的充要 aV - a y0）條件是PP,PP2的斜率之和為0。推論（1 ）滿足定理（1 ）條件的動弦打 所過定點在尸關于雙曲線的實軸對稱點P的切線上（2）滿足定理（2） 條件的動弦45與P關于雙曲線的實軸對稱點P,的切線平行。定理10:拋物線y2=2p

11、x上定點P（x。,方）與拋物線上兩點小鳥連線的斜 率存在，則（1）動弦片8所在的直線必過定點-生一治的 充要條件小,Pg是的斜率之和為定值2ph （2）動弦必有定向 叱=-方的充要條件是P&PP?的斜率之和為0。推論（1）滿足定理 （1）條件的動弦P,P2所過定點在P關于拋物線的對稱軸對稱點戶的切 線上（2）滿足定理（2）條件的動弦片外與P關于拋物線的對稱軸對稱 點P,的切線平行。例1：已知A（l,l）是橢圓5 + = l（a00）上一點，尺鳥是橢圓的兩個 焦點，且滿足|AFj+|A瑪1 = 4（1）求橢圓C的標準方程；（2）設C,。是橢圓上兩點，直線4C,AD的傾斜角互補，求直線CD的斜率。

12、（3）在（2）的條件下求AAC。面積的最大值。例2:已知橢圓經過尸（2,3）,且中心在原點，焦點在x軸上的橢圓。的離 心率為!。2（1）求橢圓C的方程（2）若橢圓。的弦所在的直線分別交x軸于點CD,且1Pq =儼4,求證：直線AB的斜率為定值。例3：如圖，已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上，離心率為多且經過點M(4,l).直線l:y = x + m交橢圓于A, 3兩不啰加撫一求橢圓的方程；(2)求/弼取值范圍；yO若直線/不過點M,求證：直線M4, M8與x軸圍成一個等腰三角形.例4：已知拋物線C： r =2pXp0)|1M:(x-4)2 + / = 1 ,過拋物線C上 一點”5,%乂% 21

13、)作兩條直線與圓M相切于A8兩點，分別交拋物線 。于瓦尸兩點，圓心點M到拋物線C的準線的距離為口。4(1)求拋物線C的方程；(2)當ZAH6的角平分線垂直x軸時，求直線E/的斜率。(3)若直線A3在y軸上的截距f為，求f的最小值。例5：已知拋物線。的頂點在坐標原點，焦點f在x軸上，拋物線上的 點A到尸的距離為2,且點A的橫坐標為1,過點A做拋物線的兩條動 弦ARAE,且ARAE的斜率滿足七= 2。(1)求拋物線。的方程；(2)直線DE是否過定點？若過定點，請求出該點坐標；若不過定點, 請說明理由。例6：已知點F(1,O), P是平面上一動點，P在直線x = -l上的射影為點N,且滿足麗+ ；而

14、卜赤=0(1)求點尸的軌跡C的方程(2)若直線/同時與圓(x+lF + y2=i和曲線c相切，求直線/的方程。(3)過點M(l,2)做曲線。的兩條動弦MRME,設MRME所在直線的斜率為人歡2,滿足堆2 = 1，求證：直線。E過定點，并求出這個定點。三：點到直線的距離為定值 22定理一：已知橢圓3 + 3 = l(ab0), 0為坐標原點，P、Q為橢圓上兩動點，且OP_LOQ. (1) 77A+ 4 =2+占設直線OP的斜率為左|OPF |OQa- h-則|QP| =。2若? ； (2) |0P+|0Q|2 的最小值為孳1 ；|0P+|0Q|2 bcrktr+Zr的最大值為/+(3) Saop

15、。的最小值是.，J ,最大值為nb (4)并 a +b且點0到PQ的距離為定值I曲 yla2+b2定理二：已知雙曲線與-1=1伯。0), 0為坐標原點，P、Q為雙曲 a b線上兩動點，且6OP1OQ. (1)1二 += = 2-，設直線。尸的 |OP| OQ |2 a2 b-斜率為左則向(2) |OP|2+|OQ-的最小值為半空；(3) b -a k.b -aSa色的最小值是二絲 (4)并且點。到PQ的距離為定值下幺b2-a2向/例1:已知曲線C上任意一點P到兩個定點E(6,0)和工(6,0)的距離 之和為4.(1)求曲線。的方程；(2)設過(0,-2)的直線/與曲線。交于兩點，且蘇瓦=0 (

16、0 為坐標原點)，求直線/的方程.例2：已知橢圓C：鳥+4=1(400)的離心率為e,以橢圓上任一a a2點與左，右焦點八為頂點的三角形的周長為4(版+ 1)。(1)求橢圓C的方程(2)若直線L過原點，直線乙與直線。相交于點尸，|。 = 1，且，2口， 直線4與橢圓相交與兩點，問是否存在這樣的直線4,使Q麗=1成 立。若存在，求出直線，2的方程；若不存在，請說明理由。例3 :已知橢圓。+營=1（260）的離心率為停，拋物線 x2 = 2py（p 0）o（1）若拋物線的焦點F在橢圓的頂點上，求橢圓和拋物線的方程。（2）若拋物線的焦點尸為（0,；）在拋物線上是否存在點P,使得過 點P的切線與橢圓相

17、交于A6兩點，且滿足若存在，求出P 點的坐標；若不存在，請說明理由.例4：已知橢圓C： + 2 = 1（4/0）過加（2閭（向）兩點，O為坐 標原點（1）求橢圓C的方程（2）是否存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與橢圓C 恒有兩個交點AB,且。4_LO8?若存在，寫出該圓的方程，并求出|A且 的取值范圍；若不存在，說明理由。22例5：在平面直角坐標系中，橢圓C： = +4=1（”力0）的左右焦點分 a別為仁鳥，乃也是拋物線G： 丁=4尤的焦點，點M為G與G在第一象限的交點，且|M段=|.（1）求a的方程（2）平面上的點N滿足赤=赤1 +近，直線/|N,且與G交于點A,B,若蘇麗=0,求

18、直線/的方程例6:已知雙曲線K = Wa0）,。為坐標原點，離心率e = 2,點 在雙曲線上（1）求雙曲線的方程若直線/與雙曲線交于尸,Q兩點，且麗麗=0,求|0可+02的最小值22例7.設橢圓J +與= l（a/,0）的離心率為e =衛 a2 b2（1）橢圓的左、右焦點分別為儲,鳥，A是橢圓上的一點，且點A到此兩焦點的距離之和為4,求橢圓的方程.（2）求b為何值時，過圓/ + 丫2=/上一點（2,忘）處的切線交橢圓于A8兩點，而且Q4J_OB.例 8：.已知橢圓 C： 4+4-1（/0）.a b（1）若橢圓的長軸長為4,離心率為立，求橢圓的2標準方程；（2）在（1）的條件下，設過定點M（0,

19、2）的直線/與橢圓C交于不同 的兩點A8,且乙408為銳角（其中。為坐標原點），求直線/的斜率攵 的取值范圍；（3）如圖，過原點。任意作兩條互相垂直的直線與橢圓 + = 1（。80）相交于。5尺。四點，設原點。到四邊形PQSR一邊 a h的距離為d,試求d = l時a為滿足的條件.22例9：已知直線/:y = x+l與曲線C:二+ = 1 （a0力0）交于不同的兩 a b點A8, 0為坐標原點.（I ）若|。4|斗。8|,求證：曲線C是一個圓；（II ）若。4_LOB,當ab且aw四，巫時，求曲線C的離心率e的取值范圍.22例10:已知橢圓C： + = 1上動點P到定點M(m,0)淇中0(加2

20、的 距離|PM|的最小值為1.(1)請確定M點的坐標(2)試問是否存在經過M點的直線/，使/與橢圓C的兩個交點A、B 滿足條件|次+而卜|同(。為原點)，若存在,求出/的方程，若不 存在請說是理由。2211:若橢圓|：二+2=1和橢圓后:a b；滿足馬=4=加（m0）,則稱這兩個橢圓相似，加稱為其相似比。 a2 b2（1）求經過點（2,后），且與橢圓m+=1相似的橢圓方程。 42（2）設過原點的一條射線/分別與（1）中的兩個橢圓交于A、B兩 點（其中點A在線段0B上），求|。4| +血的最大值和最小值.三：圓錐曲線切線垂直問題2222定理一：已知橢圓+當= l（aZ;0）（雙曲線=-3= l（

21、a80）的兩a ba b條垂直切線的交點的軌跡是/ +/=/+苗+丫2=心的。易知雙曲線 存在兩條垂直切線的充要條件是且a=b當時我們可以把它看做 是兩條漸近線此時漸近線垂直。定理二：已知拋物線的方程為y2=2pHp0）。點4（%,凹）,8卜,為）是拋物 線上的兩點，則AB兩點的切線的交點為彳與，后并且當直線 并且P在拋物線的準線=-K上。A3過拋物線的焦點時,PA 上 PB,此時交點尸的坐標為制2定理三：已知拋物線的方程為=2py（p 0）。點A（x, y）, B（x2, %）是拋物 線上的兩點，則A,6兩點的切線的交點為/士也,擔,并且當直線 AB過拋物線的焦點時，PAA.PB,此時交點尸

22、的坐標為（七強,_|,并且P在拋物線的準線y =上。例1 ：已知雙曲線-尸=i的左，右頂點分別為a*,點 2P（xqJ,Q&,-X）是曲線上不同的兩個動點（1）求直線AJ與&Q交點的軌跡E的方程；（2）若過點”（0,力）（力1）的兩條直線/1和/2與軌跡只有一個交點，且d求的值例2:拋物線G：f=4y在點48處的切線垂直交于點人 直線AB與 橢圓0,：三+二=1相交于。,0兩點。42（1）求拋物線G的焦點/與橢圓。2的左焦點片的距離；（2）設點尸到直線A8的距離為d,試問：是否存在直線AB,使得中d,成等比數列？若存在，求直線AB的方程；若不存在，說明理由。例3:已知拋物線G：/=4y的焦點為

23、F ,過點F作直線/交拋物線G于 A3兩點；橢圓G的中心在原點，焦點在x軸上，點廠是它的一個頂 點，且橢圓的離心率為e = 2（1）求橢圓G的方程；（2）過4,8點分別作拋物線G的切線4與，2相交于點求證： ABLMF（3）橢圓g上是否存在點“，經過點”作拋物線G的兩條切線 8 （ A ,8為切點），使得直線A8過點尸？若存在，求出切線“A,8的方程；若不存在說明理由。四：圓錐曲線的中點弦，切線方程，切點弦方程問題221: 45,%）在橢圓鼻+2=1上，則過外的橢圓的切線方程是 a b毛工上先曠-v - a2 b2222：若外如為）在橢圓二+二=1外，則過此作橢圓的兩條切線切點為, a b則切

24、點弦6A的直線方程是否+誓=1 a b223: A8是橢圓，+斗=1的不平行于對稱軸的弦，MQo，%）為A3的中點, a b則自“.448=_匕，W AB =- oaa y04：若片（X。,）在橢圓:+（ = 1內，則被4所平分的中點弦的方程是/X = a2始2 b2 a2 b2221：若4（%,%）在雙曲線-9=（a0,b0）上，則過用的雙曲線的切 cT b線方程是誓-誓=1.a b222：若兄（%,為）在雙曲線3-七=1（。力0）外，則過不作雙曲線的兩條切線切點為4P,則切點弦Pf,的直線方程是警-笄=1. a b-3: A3是雙曲線0-1=1 （。0,0）的不平行于對稱軸的弦，M（x0,

25、y0） a b為A8的中點，則端”.38=，即K=1%。aa y0224：若4（%,%）在雙曲線0-2=1（。0力0）內，則被4所平分的中點 cr b弦的方程是華一曄=三.a b a b-例1.有如下結論：“圓x2+V =/上一點p（%,yo）處的切線方程為22xoJ + Joy = r-,類比也有結論：“橢圓= + = = l（a0）上一點P（Xo，%）處 a b的切線方程為 +渾=1，過橢圓C：二+產=1的右準線1上任意 a h4一點M引橢圓C的兩條切線，切點為A,B.（1 ）求證：直線A8恒過一定點；（2）當點M在的縱坐標為1時，求AA8M的面積例2:已知中心在原點，焦點在坐標軸上的橢圓

26、C的離心率為,，一個 2焦點和拋物線y2 =一4元的焦點重合，過直線/： x = 4上一點“引橢圓C的兩條切線，切點分別是A3。（1）求橢圓的方程22（2）若在橢圓會+營=1上的點（林先）處的切線方程是鏟+竽=1,求證：直線恒過定點P,并求出定點P的坐標。（3）是否存在實數人使得|人外+忸丹=44日怛中恒成立？（點P為直線恒過的定點）若存在，求出力的值，若不存在，說明理由。例3：設K，G分別是橢圓c： +1 = 1(4人0)的左右焦點a b設橢圓C上的點(6岑)到耳，6兩點距離之和等于4,寫出橢圓C 的方程和焦點坐標(2)設K是(1)中所得橢圓上的動點，求線段時的中點B的軌跡方 程(3)設點P是橢圓C上的任意一點，過原點的直線L與橢圓相交于M, N兩點,當直線PM , PN的斜率都存在，并記為kpM，KpN 試探究 Zpm-Kw的值是否與點P及直線L有關，并證明你的結論。例3： .已知直線/與曲線C：上+匕=1交于48兩點，A3的中點為， m n若直線AB和QM (。為坐標原點)的斜率都存在，則心屋心“=_己. m這個性質稱為有心圓錐曲線的“垂徑定理”.(I)證明有心圓錐曲線的“垂徑定理”；(II)利用有心圓錐曲線的“垂徑定理