1、全等三角形經(jīng)典模型總結(jié)全等三角形相關(guān)模型總結(jié)一、角平分線模型（一）角平分線的性質(zhì)模型A、例題1、如圖，在ABC中，/C=90°,AD平分/CAB,BC=6cm,BD=4cm,那么點(diǎn)D到直線AB的距離是cm.2、如圖，已知，/1=/2,/3=/4,求證：AP平分/BAC.B、模型鞏固1、如圖，在四邊形ABCD中，BOAB,AD=CD,BD平分/ABC,求證:/A+/C=180°.(二)角平分線+垂線，等腰三角形必呈現(xiàn)A、例題輔助線：延長(zhǎng)ED交射線OB于F輔助線：過點(diǎn)E作EF/射線OB例1、如圖，在ABC中，/ABC=3/C,AD是/BAC的平分線，BEXAD于F.,、一1求證

2、：BE-(ACAB).例2、如圖，在ABC中，/BAC的角平分線AD交BC于點(diǎn)D,且AB=1_AD,作CMXAD父AD的延長(zhǎng)線于M.求證：AM-(ABAC).1/（三）角分線，分兩邊，對(duì)稱全等要記全兩個(gè)圖形飛輔助線都是在射線ON上取點(diǎn)B,使OB=OA,從而使OAC04OBC.A、例題1、如圖，在ABC中，/BAC=60°,CC=40°,AP平分/BAC交BC于P,BQ平分/ABC交AC于Q,求證：AB+BP=BQ+AQ.BpC2、如圖，在ABC中，AD是/BAC的外角平分線，P是AD上異于點(diǎn)A的任意一點(diǎn)，試比較PB+PC與AB+AC的大小，并說明理由.AB、模型鞏固1、在A

3、BC中，AB>AC,AD是/BAC的平分線，P是線段AD上任意一點(diǎn)（不與合）.求證：AB-AOPB-PC.2、如圖，ABC中，AB=AC,/A=100°,/B的平分線交AC于D,求證：AD+BD=BC.3、如圖，ABC中，BC=AC,/C=90°,/A的平分線交BC于D,求證：AC+CD=AB.二、等腰直角三角形模型(一)旋轉(zhuǎn)中心為直角頂點(diǎn)，在斜邊上任取一點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)全等:操作過程：(1)將4ABD逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°,彳4ACM應(yīng)AABD,從而推出ADM為等腰直角三角形.(2)輔助線作法：過點(diǎn)C作MCXBC,使CM=BD,連結(jié)AM.操作過程：連結(jié)AD.(1)使BF

4、=AE(或AF=CE),導(dǎo)出BDF應(yīng)AADE.(2)使/EDF+/BAC=180°，導(dǎo)出BDFAADE.A、例題1、如圖，在等腰直角ABC中，/BAC=90°,點(diǎn)M、N在斜邊BC上滑動(dòng)，且/MAN=45°,試探究BM、MN、CN之間的數(shù)量關(guān)系.2、兩個(gè)全等的含有30°,60°角的直角三角板ADE和ABC,按如圖所示放置，E、A、C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD,取BD的中點(diǎn)M,連接ME、MC.試判斷EMC的形狀，并證明你的結(jié)論.B、模型鞏固1、已知，如圖所示，RtABC中，AB=AC,/BAC=90°,O為BC中點(diǎn),若M、N分別在線段AC

5、、AB上移動(dòng)，且在移動(dòng)中保持AN=CM.(1)試判斷OMN的形狀，并證明你的結(jié)論.(2)當(dāng)M、N分別在線段AC、AB上移動(dòng)時(shí)，四邊形AMON的面積如何變化？2、在正方形ABCD中,BE=3,EF=5,DF=4,求/BAE+/DCF為多少度.（三）構(gòu)造等腰直角三角形（1）利用以上（一）和（二）都可以構(gòu)造等腰直角三角形（略）；（2）利用平移、對(duì)稱和弦圖也可以構(gòu)造等腰直角三角形.A、例題應(yīng)用1、如圖，在等腰直角ABC中，AC=BC,/ACB=90°,P為三角形ABC內(nèi)部一點(diǎn)，滿足PB=PC,AP=AC,求證：/BCP=15°.、三垂直模型（弦圖模型）RCREC由AREgARCD導(dǎo)

6、出由ABEg/XBCD導(dǎo)ED=AE-CD出EC=AB-DA、例題已知：如圖所示，在ABC中，AB=AC,/BAC=，BD于點(diǎn)E,交BC于F,連接DF.求證：/ADB=/CDF.8FC變式1、已知：如圖所示，在ABC中，AB=AC,/E,交BC于F,連接NF.求證：(1)/AMB=/CNF;(2)BM=AF+FN.aD占由ABEWZSRCD導(dǎo)出B=RE+EI>=AB+CD90°,D為AC中點(diǎn)，AFAM=CN,AFBM于F£變式2、在變式1的基礎(chǔ)上，其他條件不變，只是將BM和FN分別延長(zhǎng)交于點(diǎn)P,求證：(1)PM=PN;(2)PB=PF+AF.四、手拉手模型1、4ABE和

7、4ACF均為等邊三角形結(jié)論：(1)AABFAAEC.(2) /BOE=/BAE=60°.(3) OA平分/EOF.(四點(diǎn)共圓證)拓展：ABC和4CDE均為等邊三角形結(jié)論：(1)AD=BE;(2) /ACB=/AOB;(3) 4PCQ為等邊三角形；(4) PQ/AE;(5) AP=BQ;(6) CO平分/AOE;(四點(diǎn)共圓證(7) OA=OB+OC;(8) OE=OC+OD.(7),(8)需構(gòu)造等邊三角形證明例、如圖，點(diǎn)M為銳角三角形ABC內(nèi)任意一點(diǎn)，連接AMBMCM以AB為一邊向外作等邊三角形ABE將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN連接EN.(1)求證：AM壁AENB(2

8、)若AM+BM+CM值最小，則稱點(diǎn)M為ABC勺費(fèi)爾馬點(diǎn).若點(diǎn)M為4ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn)，試求此時(shí)/AMB/BMC/CMA勺度數(shù)；(3)小翔受以上啟發(fā)，得到一個(gè)作銳角三角形費(fèi)爾馬點(diǎn)的簡(jiǎn)便方法：如圖，分別以ABC勺ABAC為一邊向外作等邊ABE和等邊ACF連接CEBF,設(shè)交點(diǎn)為M則點(diǎn)M即為ABC的費(fèi)爾馬點(diǎn).試說明這種作法的依據(jù).B國(guó)1C衛(wèi)圄2。2、AABD和AACE均為等腰直角三角形結(jié)論：（1）BE=CD;（2）BEXCD.3、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形結(jié)論：（1）BD=CF;（2）BDXCF.變式1、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，ASLBC交FD于T,求證：（1）丁為5口中

9、點(diǎn)；（2）SVABCSVADF.變式2、四邊形ABEF和四邊形ACHD均為正方形，T為FD中點(diǎn)，TA交BC于S,求證：ASXBC.產(chǎn)4、如圖，以ABC的邊AB、AC為邊構(gòu)造正多邊形時(shí)，總有:2180360五、半角模型1條件：1,且+=180,兩邊相等.2思路：1、旋轉(zhuǎn)輔助線：延長(zhǎng)CD至ijE,使ED=BM連AE或延長(zhǎng)CB至UF,使FB=DN連AF將ADNgg點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得4ABF注意：旋轉(zhuǎn)需證F、BM三點(diǎn)共線結(jié)論：(1)MN=BM+DN;(2) CVCmn=2AB;(3) AM、AN分別平分/BMN、/MND.2、翻折(對(duì)稱)輔助線：作APXMN交MN于點(diǎn)P點(diǎn)共線.將AADNAABM分別沿ANAM翻折，但一定要證明MP、NA、例題MN=例1、在正方形ABCD中，若M、N分別在邊BC、CD上移動(dòng)，且滿足BM+DN,求證：(1)/MAN=45°(2) CVCmn=2AB;(3) AM、AN分別平分/BMN和/DNM.變式：在正方形ABCD中，已知/MAN=45°,若M、N分別在邊CB、DC的延長(zhǎng)線上移動(dòng)，AHXMN,垂足為H,(1)試探究線段MN、BM、DN之間的數(shù)量關(guān)系；(2)求證：AB=AH例2、在四邊形