1、1 傳統的經濟計量方法是以經濟理論為基礎來描述變量關系的模型。但是，經傳統的經濟計量方法是以經濟理論為基礎來描述變量關系的模型。但是，經濟理論通常并不足以對變量之間的動態聯系提供一個嚴密的說明，而且內生變量濟理論通常并不足以對變量之間的動態聯系提供一個嚴密的說明，而且內生變量既可以出現在方程的左端又可以出現在方程的右端使得估計和推斷變得更加復雜。既可以出現在方程的左端又可以出現在方程的右端使得估計和推斷變得更加復雜。為了解決這些問題而出現了一種用非結構性方法來建立各個變量之間關系的模型。為了解決這些問題而出現了一種用非結構性方法來建立各個變量之間關系的模型。本章所要介紹的向量自回歸模型本章所要

2、介紹的向量自回歸模型( (vector vector autoregressionautoregression，VARVAR) )和向量誤差修正和向量誤差修正模型模型( (vector error correction modelvector error correction model，VEC)VEC)就是非結構化的多方程模型。就是非結構化的多方程模型。本章內容：本章內容：一、向量自回歸理論一、向量自回歸理論二、結構二、結構VAR(SVAR)VAR(SVAR)模型的識別條件模型的識別條件 三、三、VARVAR模型的檢驗模型的檢驗四、脈沖響應函數四、脈沖響應函數五、方差分解五、方差分解六、六、

3、JohansenJohansen協整檢驗協整檢驗七、向量誤差修正模型七、向量誤差修正模型( (VEC)VEC) 2 向量自回歸向量自回歸(VAR)是基于數據的統計性質建立模型，是基于數據的統計性質建立模型，VAR模型把系統中每一個內生變量作為系統中所有內生模型把系統中每一個內生變量作為系統中所有內生變量的滯后值的函數來構造模型，從而將單變量自回歸變量的滯后值的函數來構造模型，從而將單變量自回歸模型推廣到由多元時間序列變量組成的模型推廣到由多元時間序列變量組成的“向量向量”自回歸自回歸模型。模型。VAR模型是處理多個相關經濟指標的分析與預測模型是處理多個相關經濟指標的分析與預測最容易操作的模型之

4、一，并且在一定的條件下，多元最容易操作的模型之一，并且在一定的條件下，多元MA和和ARMA模型也可轉化成模型也可轉化成VAR模型，因此近年來模型，因此近年來VAR模型受到越來越多的經濟工作者的重視。模型受到越來越多的經濟工作者的重視。一、向量自回歸理論一、向量自回歸理論 3 VAR(p) 模型的數學表達式是模型的數學表達式是 (7.1.1)其中：其中：yt 是是 k 維內生變量向量，維內生變量向量，Xt 是是d 維外生變量向量，維外生變量向量，p是滯后階數，樣本個數為是滯后階數，樣本個數為T 。k k維矩陣維矩陣A1，Ap和和k d維矩陣維矩陣B是要被估計的系數矩陣。是要被估計的系數矩陣。 t

5、是是k維擾動向量，它們維擾動向量，它們相互之間可以同期相關，但不與自己的滯后值相關及不與相互之間可以同期相關，但不與自己的滯后值相關及不與等式右邊的變量相關，假設等式右邊的變量相關，假設 是是 t的協方差矩陣，是一個的協方差矩陣，是一個(k k)的正定矩陣。式的正定矩陣。式(9.1.1)可以用矩陣表示為可以用矩陣表示為 （一）（一）VAR模型的一般表示模型的一般表示 ttptpttBXyAyAy 114ktttdttttktttkttktttxxxyyyyyyyyy212122221211211121BAA(7.1.2) 即含有即含有k個時間序列變量的個時間序列變量的VAR(p) 模型由模型由

6、k個方程組成。個方程組成。例如：例如：作為作為VAR的一個例子，假設工業產量（的一個例子，假設工業產量（IP）和貨幣供和貨幣供應量（應量（M1）聯合地由一個雙變量的聯合地由一個雙變量的VAR模型決定，并且讓模型決定，并且讓常數為唯一的外生變量。內生變量滯后二階的常數為唯一的外生變量。內生變量滯后二階的VAR(2)模型是：模型是： 5ttttttCMbIPbMaIPaIP, 1121221111211111ttttttCMbIPbMaIPaM, 2222222112211 , 2111其中，其中， 是要被估計的參數。也可表示成：是要被估計的參數。也可表示成：iijijcba,2121222221

7、12111122211211111CCMIPbbbbMIPaaaaMIPtttttt還可以將式還可以將式(9.1.2)做簡單變換，表示為做簡單變換，表示為 (7.1.3)其中其中 是是yt關于外生變量關于外生變量Xt回歸的殘差。式回歸的殘差。式(7.1.3)可以簡寫可以簡寫為為 tytptpttyAyAy116ttLyA)(7.1.4)其中其中 ，是滯后算子，是滯后算子L的的k k的參數矩陣。一般稱式的參數矩陣。一般稱式(9.1.4)為非限制性向量自回歸為非限制性向量自回歸模型模型(unrestricted VAR)。沖擊向量沖擊向量 t是白噪聲向量，因為是白噪聲向量，因為 t沒有結構性的含義

8、，被稱為簡化形式的沖擊向量。沒有結構性的含義，被稱為簡化形式的沖擊向量。 ppkLLLLAAAIA221)( 為了敘述方便，下面考慮的為了敘述方便，下面考慮的VAR模型都是不含外生變模型都是不含外生變量的非限制向量自回歸模型，用下式表示量的非限制向量自回歸模型，用下式表示 或或 tptpttyAyAy 11ttLyA)(7.1.5)7 如果行列式如果行列式detA(L)的根都在單位圓外，則式的根都在單位圓外，則式(8.1.5)滿足穩定性條件，可以將其表示為無窮階的向量動平均滿足穩定性條件，可以將其表示為無窮階的向量動平均(VMA()形式形式 (7.1.6)其中其中 ttL Cy)(1)()(L

9、LAC2210)(LLLCCCCkIC 08 對對VAR模型的估計可以通過最小二乘法來進行，假如對模型的估計可以通過最小二乘法來進行，假如對 矩陣不施加限制性條件，由最小二乘法可得矩陣不施加限制性條件，由最小二乘法可得 矩陣的估矩陣的估計量為計量為 (7.1.7) 其中：其中： 。當。當VAR的參數估的參數估計出來之后，由于計出來之后，由于A(L)C(L)=Ik，所以也可以得到相應的所以也可以得到相應的VMA()模型的參數估計。模型的參數估計。 ttT1ptpttttyAyAyAy22119 由于僅僅有內生變量的滯后值出現在等式的右邊，所由于僅僅有內生變量的滯后值出現在等式的右邊，所以不存在同

10、期相關性問題，用普通最小二乘法以不存在同期相關性問題，用普通最小二乘法(OLS)能得能得到到VAR簡化式模型的一致且有效的估計量。即使擾動向量簡化式模型的一致且有效的估計量。即使擾動向量 t有同期相關，有同期相關，OLS仍然是有效的，因為所有的方程有相仍然是有效的，因為所有的方程有相同的回歸量，其與廣義最小二乘法同的回歸量，其與廣義最小二乘法(GLS)是等價的。注意，是等價的。注意，由于任何序列相關都可以通過增加更多的由于任何序列相關都可以通過增加更多的yt的滯后而被消的滯后而被消除（除（absorbed），），所以擾動項序列不相關的假設并不要求所以擾動項序列不相關的假設并不要求非常嚴格。非常

11、嚴格。 10（二）二）EViews軟件中軟件中VAR模型的建立和估計模型的建立和估計 1建立建立VAR模型模型 為了創建一個為了創建一個VAR對象，應選擇對象，應選擇Quick/Estimate VAR或者選擇或者選擇Objects/New object/VAR或者在命令窗口中鍵入或者在命令窗口中鍵入var。便會出現下圖的對話框便會出現下圖的對話框(以例以例9.1為例為例)： 11可以在對話框內添入相應的信息：可以在對話框內添入相應的信息：(1) 選擇模型類型（選擇模型類型（VAR Type）：）： 無約束向量自回歸（無約束向量自回歸（Unrestricted VAR）或者向量誤或者向量誤差修

12、正（差修正（Vector Error Correction）。）。無約束無約束VAR模型是模型是指指VAR模型的簡化式。模型的簡化式。 (2) 在在Estimation Sample編輯框中設置樣本區間。編輯框中設置樣本區間。 12 (3) 在在Lag Intervals for Endogenous編輯框中輸入滯后信編輯框中輸入滯后信息，表明哪些滯后變量應該被包括在每個等式的右端。息，表明哪些滯后變量應該被包括在每個等式的右端。這這一信息應該成對輸入：每一對數字描述一個滯后區間。一信息應該成對輸入：每一對數字描述一個滯后區間。例例如，滯后對如，滯后對 1 4表示用系統中所有內生變量的表示用系

13、統中所有內生變量的1階到階到4階滯后變量作為等式階滯后變量作為等式右端的變量。右端的變量。也可以添加代表滯后區間的任意數字，但都要成對輸入。也可以添加代表滯后區間的任意數字，但都要成對輸入。例如：例如： 2 4 6 9 12 12即為用即為用24階，階，69階及第階及第12階滯后變量。階滯后變量。 13 (4) 在在Endogenous Variables和和Exogenous Variables編輯編輯欄中輸入相應的內生變量和外生變量。系統通常會自動給欄中輸入相應的內生變量和外生變量。系統通常會自動給出常數出常數c作為外生變量，但是相應的編輯欄中輸入作為外生變量，但是相應的編輯欄中輸入c作為

14、外作為外生變量，也可以，因為生變量，也可以，因為EViews只會包含一個常數。只會包含一個常數。 其余兩個菜單（其余兩個菜單（Cointegration 和和 Restrictions）僅與僅與VEC模型有關，將在下面介紹。模型有關，將在下面介紹。 142VAR估計的輸出估計的輸出 VAR對象的設定框填寫完畢，單擊對象的設定框填寫完畢，單擊OK按紐，按紐，EViews將會在將會在VAR對象窗口顯示如下估計結果：對象窗口顯示如下估計結果： 15 表中的每一列對應表中的每一列對應VAR模型中一個內生變量的方模型中一個內生變量的方程。對方程右端每一個變量，程。對方程右端每一個變量，EViews會給出

15、系數估計會給出系數估計值、估計系數的標準差值、估計系數的標準差(圓括號中圓括號中)及及t-統計量統計量(方括號方括號中中)。例如，在。例如，在log(GDPTC_P)的方程中的方程中RR(-1)的系數的系數是是 0.003521。 同時，有兩類回歸統計量出現在同時，有兩類回歸統計量出現在VAR對象估計輸對象估計輸出的底部：出的底部： 1617 輸出的第一部分顯示的是每個方程的標準輸出的第一部分顯示的是每個方程的標準OLS回歸回歸統計量。根據各自的殘差分別計算每個方程的結果，統計量。根據各自的殘差分別計算每個方程的結果，并顯示在對應的列中。并顯示在對應的列中。 輸出的第二部分顯示的是輸出的第二部

16、分顯示的是VAR模型的回歸統計量。模型的回歸統計量。殘差的協方差的行列式值由下式得出：殘差的協方差的行列式值由下式得出： tttmT 1det18其中其中m是是VAR模型每一方程中待估參數的個數，模型每一方程中待估參數的個數， 是是k維殘差列向量。通過假定服從多元正態（高斯）分布維殘差列向量。通過假定服從多元正態（高斯）分布計算對數似然值：計算對數似然值： AIC和和SC兩個信息準則的計算將在后文詳細說明。兩個信息準則的計算將在后文詳細說明。 t ln22ln12TTnl19例例9.1 我國貨幣政策效應實證分析的我國貨幣政策效應實證分析的VAR模型模型 為了研究貨幣供應量和利率的變動對經濟波動

17、的長期影為了研究貨幣供應量和利率的變動對經濟波動的長期影響、短期影響及其貢獻度，根據我國響、短期影響及其貢獻度，根據我國1995年年1季度季度2004年年4季度的季度數據，利用季度的季度數據，利用VAR(3)模型對實際模型對實際GDPGDP季值除以居民消費價格指數季值除以居民消費價格指數(1990年為年為100)、實際、實際M1和實和實際利率際利率RR (一年期貸款利率減去居民消費價格指數的變動一年期貸款利率減去居民消費價格指數的變動率率) 3個變量之間的關系進行了實證研究，其中實際個變量之間的關系進行了實證研究，其中實際GDP和和實際實際M1以對數的形式出現在模型中，而實際利率沒有取以對數的

18、形式出現在模型中，而實際利率沒有取對數，由于方程右邊的變量是相同的，所以對數，由于方程右邊的變量是相同的，所以OLS估計模型估計模型是有效的，其結果如下：是有效的，其結果如下： 20ttttttttttttttteeeGDPMRRGDPMRRGDPMRRGDPMRR321333222111)ln() 1ln(54. 011. 0002. 008. 058. 00002. 078.1679. 952. 0)ln() 1ln(36. 1006. 0005. 012. 046. 1002. 009.3539.2866. 1)ln() 1ln(74. 1066. 0004. 010. 094. 100

19、08. 039.1587.1708. 215. 031. 018.10)ln() 1ln( 盡管有幾個系數不是很顯著，我們仍然選擇滯后階盡管有幾個系數不是很顯著，我們仍然選擇滯后階數 為數 為 3 。 3 個 方 程 調 整 的 擬 合 優 度 分 別個 方 程 調 整 的 擬 合 優 度 分 別為：為： 。無論如何，我們可。無論如何，我們可以 利 用 這 個 模 型 進 行 預 測 及 下 一 步 的 分 析 。以 利 用 這 個 模 型 進 行 預 測 及 下 一 步 的 分 析 。 998. 0,999. 0,986. 02212GDPMRRRR21 同時，為了檢驗擾動項之間是否存在同期

20、相關關同時，為了檢驗擾動項之間是否存在同期相關關系，可用殘差的同期相關矩陣來描述。用系，可用殘差的同期相關矩陣來描述。用e i表示第表示第i個個方程的殘差，方程的殘差，i =1，2，3。其結果如表其結果如表9.1所示。所示。 表表7.1 殘差的同期相關矩陣殘差的同期相關矩陣 22 從表中可以看到實際從表中可以看到實際GDP方程和實際利率、實際方程和實際利率、實際M1方程的殘差項之間存在的同期相關系數比較高，進方程的殘差項之間存在的同期相關系數比較高，進一步表明實際一步表明實際GDP和實際貨幣供給量和實際貨幣供給量(M1)、實際利率實際利率之間存在著同期的影響關系，盡管得到的估計量是一致之間存在

21、著同期的影響關系，盡管得到的估計量是一致估計量，但是在本例中卻無法刻畫它們之間的這種同期估計量，但是在本例中卻無法刻畫它們之間的這種同期影響關系。影響關系。 23（三）（三）結構結構VAR模型模型(SVAR) 在式在式(7.1.1)或式或式(7.1.3)中，可以看出，中，可以看出，VAR模型并模型并沒有給出變量之間當期相關關系的確切形式，即在模型沒有給出變量之間當期相關關系的確切形式，即在模型的右端不含有內生變量，而這些當期相關關系隱藏在誤的右端不含有內生變量，而這些當期相關關系隱藏在誤差項的相關結構之中，是無法解釋的，所以將式差項的相關結構之中，是無法解釋的，所以將式(7.1.1)和式和式(

22、7.1.3)稱為稱為VAR模型的簡化形式。模型中的誤差項模型的簡化形式。模型中的誤差項 t是不可觀測的，可以被看作是不可解釋的隨機擾動。是不可觀測的，可以被看作是不可解釋的隨機擾動。本節要介紹的結構本節要介紹的結構VAR模型模型(Structural VAR，SVAR)，實際是指實際是指VAR模型的結構式，即在模型中包含變量之模型的結構式，即在模型中包含變量之間的當期關系。間的當期關系。 241兩變量的兩變量的SVAR模型模型 為了明確變量間的當期關系，首先來研究兩變量為了明確變量間的當期關系，首先來研究兩變量的的VAR模型結構式和簡化式之間的轉化關系。如含有模型結構式和簡化式之間的轉化關系。

23、如含有兩個變量兩個變量(k=2)、滯后一階滯后一階(p=1)的的VAR模型結構式可以模型結構式可以表示為下式表示為下式 ztttttxtttttuzxxbbzuzxzbbx12212121201121111210(7.1.8)25 在模型在模型(7.1.8)中假設：中假設：（1）變量過程）變量過程xt和和zt均是平穩隨機過程；均是平穩隨機過程；（2）隨機誤差）隨機誤差uxt和和uzt 是白噪聲序列，不失一般性，假設是白噪聲序列，不失一般性，假設方差方差 ； （3）隨機誤差）隨機誤差uxt 和和uzt 之間不相關，之間不相關， 。 122zx0),cov(ztxtuu 式式(9.1.8)一般稱為

24、一般稱為一階結構向量自回歸模型一階結構向量自回歸模型(SVAR(1)。 26 它是一種結構式經濟模型，引入了變量之間的作用它是一種結構式經濟模型，引入了變量之間的作用與反饋作用，其中系數與反饋作用，其中系數 b12表示變量表示變量zt的單位變化對變量的單位變化對變量xt的的即時作用即時作用， 21表示表示xt-1的單位變化對的單位變化對zt的的滯后影響滯后影響。雖然雖然uxt 和和uzt 是單純出現在是單純出現在xt和和zt中的隨機沖擊，但如果中的隨機沖擊，但如果b21 0，則作用在則作用在xt上的隨機沖擊上的隨機沖擊uxt 通過對通過對xt的影響，能的影響，能夠即時傳到變量夠即時傳到變量zt

25、上，這是一種上，這是一種間接的即時影響間接的即時影響；同樣，；同樣，如果如果b12 0，則作用在則作用在zt上的隨機沖擊上的隨機沖擊uzt 也可以對也可以對xt產生產生間接的即時影響。沖擊的交互影響體現了變量作用的雙間接的即時影響。沖擊的交互影響體現了變量作用的雙向和反饋關系。向和反饋關系。 27 為了導出為了導出VAR模型的簡化式方程，將上述模型表示模型的簡化式方程，將上述模型表示為矩陣形式為矩陣形式 該模型可以簡單地表示為該模型可以簡單地表示為 ztxtttttuuzxbbzxbb11222112112010211211tttuyyB1100(7.1.9)28 假設假設B0可逆，可導出簡化

26、式方程為可逆，可導出簡化式方程為 其中其中 tttuByBBy101110010ttyAA110(7.1.10)20100100aaBA222112111101aaaaBAtttt2110uB29 從而可以看到，簡化式擾動項從而可以看到，簡化式擾動項 t是結構式擾動項是結構式擾動項ut的的線性組合，因此代表一種復合沖擊。因為線性組合，因此代表一種復合沖擊。因為uxt 和和uzt是不相是不相關的白噪聲序列，則可以斷定上述關的白噪聲序列，則可以斷定上述 1t和和 2 t 也是白噪聲也是白噪聲序列，并且均值和方差為序列，并且均值和方差為 2211222122112222121111111)var(,

27、 0)(, 0)(bbbbbbtsEEzxttst2211221222112221222222111)var(, 0)(, 0)(bbbbbbtsEExzttst30同期的同期的 1t和和 2 t之間的協方差為之間的協方差為 從式從式(7.1.11)可以看出當可以看出當b12 0或或b21 0時，時，VAR模型簡模型簡化式中的擾動項不再像結構式中那樣不相關，正如例化式中的擾動項不再像結構式中那樣不相關，正如例7.1中的表中的表7.1所顯示的情況。所顯示的情況。當當b12 = b21 = 0時，即變量之間時，即變量之間沒有即時影響，上述協方差為沒有即時影響，上述協方差為0，相當于對，相當于對B0

28、矩陣施加矩陣施加約束。約束。 22112122122112212221212111)(),cov(bbbbbbbbEzxtttt(7.1.11)31 2多變量的多變量的SVAR模型模型 下面考慮下面考慮k個變量的情形，個變量的情形，p階結構向量自回歸模階結構向量自回歸模型型SVAR(p)為為 tptptttuyyyyB22110(7.1.13) 其中：其中： 111212211120kkkkbbbbbbBpiikkikikikiiikiii,2, 1)()(2)(1)(2)(22)(21)(1)(12)(1132 可以將式可以將式(7.1.13)寫成滯后算子形式寫成滯后算子形式 kttttEL

29、IuuuyB) (,)(7.1.14) 其中：其中： ，B(L)是滯后算子是滯后算子L的的 k k 的參數矩陣，的參數矩陣，B0 Ik。需要注意的是，本書討論需要注意的是，本書討論的的SVAR模型，模型，B0 矩陣均是主對角線元素為矩陣均是主對角線元素為1的矩陣。的矩陣。如果如果B0 是一個下三角矩陣，則是一個下三角矩陣，則SVAR模型稱為遞歸的模型稱為遞歸的SVAR模型。模型。 ppLLLLBB2210)(33 不失一般性，在式不失一般性，在式(7.1.14)假定結構式誤差項假定結構式誤差項(結構結構沖擊沖擊) ut 的方差的方差-協方差矩陣標準化為單位矩陣協方差矩陣標準化為單位矩陣Ik。同

30、樣，同樣，如果矩陣多項式如果矩陣多項式B(L)可逆，可以表示出可逆，可以表示出SVAR的無窮階的無窮階的的VMA()形式形式 其中：其中： ttL uDy)(7.1.15)1)()(LLBD2210)(LLLDDDD100 BD34 式式(7.1.15)通常稱為經濟模型的通常稱為經濟模型的最終表達式最終表達式，因為，因為其中所有內生變量都表示為外生變量的分布滯后形式。其中所有內生變量都表示為外生變量的分布滯后形式。而且外生變量的結構沖擊而且外生變量的結構沖擊ut 是不可直接觀測得到，需要是不可直接觀測得到，需要通過通過 yt 各元素的響應才可觀測到。可以通過估計式各元素的響應才可觀測到。可以通

31、過估計式(7.1.5)，轉變簡化式的誤差項得到結構沖擊，轉變簡化式的誤差項得到結構沖擊ut 。從式從式(7.1.6)和式和式(7.1.15)，可以得到，可以得到 ttLLuDC)()(7.1.16)35 上式對于任意的上式對于任意的 t 都是成立的，稱為典型的都是成立的，稱為典型的SVAR模型。由于模型。由于C0=Ik，可得可得 式式(8.1.17)兩端平方取期望，可得兩端平方取期望，可得 所以我們可以通過對所以我們可以通過對D0 施加約束來識別施加約束來識別SVAR模型。模型。 ttuD0(7.1.17)DD00(7.1.18)36二、結構二、結構VAR(SVAR)模型的識別條件模型的識別條

32、件 前面已經提到，在前面已經提到，在VAR簡化式中變量間的當期關簡化式中變量間的當期關系沒有直接給出，而是隱藏在誤差項的相關關系的結構系沒有直接給出，而是隱藏在誤差項的相關關系的結構中。自中。自Sims的研究開始，的研究開始，VAR模型在很多研究領域取模型在很多研究領域取得了成功，在一些研究課題中，得了成功，在一些研究課題中，VAR模型取代了傳統模型取代了傳統的聯立方程模型，被證實為實用且有效的統計方法。然的聯立方程模型，被證實為實用且有效的統計方法。然而，而，VAR模型存在參數過多的問題，如式模型存在參數過多的問題，如式(7.1.1)中，一中，一共有共有k(kp+d)個參數，只有所含經濟變量

33、較少的個參數，只有所含經濟變量較少的VAR模模型才可以通過型才可以通過OLS和極大似然估計得到滿意的估計結果。和極大似然估計得到滿意的估計結果。 37 為了解決這一參數過多的問題，計量經濟學家們為了解決這一參數過多的問題，計量經濟學家們提出了許多方法。這些方法的出發點都是通過對參數空提出了許多方法。這些方法的出發點都是通過對參數空間施加約束條件從而減少所估計的參數。間施加約束條件從而減少所估計的參數。SVAR模型就模型就是這些方法中較為成功的一種。是這些方法中較為成功的一種。 （一）（一）VAR模型的識別條件模型的識別條件 在經濟模型的結構式和簡化式之間進行轉化時，在經濟模型的結構式和簡化式之

34、間進行轉化時，經常遇到模型的識別性問題，即能否從簡化式參數估計經常遇到模型的識別性問題，即能否從簡化式參數估計得到相應的結構式參數。得到相應的結構式參數。 38 對于對于k元元p階簡化階簡化VAR模型模型 利用極大似然方法，需要估計的參數個數為利用極大似然方法，需要估計的參數個數為 tptpttyAyAy11(7.2.1)222kkpk(7.2.2) 而對于相應的而對于相應的k元元p階的階的SVAR模型模型 來說，需要估計的參數個數為來說，需要估計的參數個數為 (7.2.4)tptpttuyyyB110(7.2.3)22kpk39 要想得到結構式模型惟一的估計參數，要求識別的要想得到結構式模型

35、惟一的估計參數，要求識別的階條件和秩條件，階條件和秩條件，即簡化式的未知參數不比結構式的未即簡化式的未知參數不比結構式的未知參數多知參數多(識別的階條件和秩條件的詳細介紹請參見聯識別的階條件和秩條件的詳細介紹請參見聯立方程模型的識別立方程模型的識別”)。因此，如果不對結構式參數加。因此，如果不對結構式參數加以限制，將出現模型不可識別的問題。以限制，將出現模型不可識別的問題。 對于對于k元元p階階SVAR模型，需要對結構式施加的限制模型，需要對結構式施加的限制條件個數為式條件個數為式(7.2.4)和式和式(7.2.2)的差，即施加的差，即施加k(k -1)/2個個限制條件才能估計出結構式模型的參

36、數。這些約束條件限制條件才能估計出結構式模型的參數。這些約束條件可以是同期可以是同期(短期短期)的，也可以是長期的。的，也可以是長期的。 40（二）（二）SVAR模型的約束形式模型的約束形式 為了詳細說明為了詳細說明SVAR模型的約束形成，從式模型的約束形成，從式(7.1.16)和式和式(9.1.17)出發，可以得到出發，可以得到 其中其中C(L)、D(L)分別是分別是VAR模型和模型和SVAR模型相應的模型相應的VMA()模型的滯后算子式，模型的滯后算子式， ，這就隱含著，這就隱含著 ttLLuDuDC)()(0(7.2.5)100 BDiDDCi0(7.2.6)41 因此，只需要對因此，只

37、需要對D0 進行約束，就可以識別整進行約束，就可以識別整個結構系統。如果個結構系統。如果D0 是已知的，可以通過估計式是已知的，可以通過估計式(7.1.17) 和式和式(7.2.6)非常容易的得到滯后多項式的結非常容易的得到滯后多項式的結構系數和結構新息構系數和結構新息ut 。在有關在有關SVAR模型的文獻中，模型的文獻中，這些約束通常來自于經濟理論，表示經濟變量和結這些約束通常來自于經濟理論，表示經濟變量和結構沖擊之間有意義的長期和短期關系。構沖擊之間有意義的長期和短期關系。 42 1. 短期約束短期約束 短期約束通常直接施加在矩陣短期約束通常直接施加在矩陣D0 上，表示經濟變量上，表示經濟

38、變量對結構沖擊的同期響應，常見的可識別約束是簡單的對結構沖擊的同期響應，常見的可識別約束是簡單的0約約束排除方法。束排除方法。 （1）通過）通過Cholesky-分解建立遞歸形式的短期約束分解建立遞歸形式的短期約束 Sims提出使提出使D0 矩陣的上三角為矩陣的上三角為0的約束方法，這是一的約束方法，這是一個簡單的對協方差矩陣個簡單的對協方差矩陣 的的Cholesky-分解。下面，首先分解。下面，首先介紹介紹Cholesky-分解的基本思想分解的基本思想 43 對于任意實對稱正定矩陣對于任意實對稱正定矩陣 ，存在惟一一個主對角，存在惟一一個主對角線元素為線元素為1的下三角形矩陣的下三角形矩陣G

39、和惟一一個主對角線元素為和惟一一個主對角線元素為正的對角矩陣正的對角矩陣Q使得：使得： 利用這一矩陣利用這一矩陣G可以構造一個可以構造一個k維向量維向量ut ，構造方法為構造方法為 ut =G-1 t，設設 GGQ(7.2.7)(ttE44 則則QGGGQGGGGGuut111111)()(tttEE 由于由于Q是對角矩陣，可得是對角矩陣，可得ut 的元素互不相關，其（的元素互不相關，其（j, j）元素是元素是ujt 的方差。令的方差。令Q 1/2表示其（表示其（j, j）元素為元素為u jt 的標準的標準差的矩陣。注意到式差的矩陣。注意到式(9.2.7)可寫為可寫為 PPGQGQ2/12/1

40、(7.2.8) 其中其中P=GQ1/2是一個下三角矩陣。式是一個下三角矩陣。式(7.2.8)被稱為被稱為Cholesky (喬利斯基喬利斯基)分解。分解。 45 Sims施加約束的基本過程是：施加約束的基本過程是： 由于由于 是正定矩陣，所以可得到是正定矩陣，所以可得到Cholesky因子因子P，即即 。而且，當給定矩陣。而且，當給定矩陣 時，時，Cholesky因子因子P是惟一確定的。是惟一確定的。 對于對于VAR模型模型兩邊都乘以兩邊都乘以P 1，得到得到PPttLyA)(),(0ktVWN46tttLLuyAyAP)()(*1 其中：其中： 。由于由于 ttPu1kt tttttEEEI

41、PPPPPPuut111111)()()()(7.2.9)(7.2.10) 所以所以 ut 是協方差為單位矩陣的白噪聲向量，是協方差為單位矩陣的白噪聲向量，即即 。 ),(kktVWNI0u47 在向量在向量 t中的各元素可能是當期相關的，而向量中的各元素可能是當期相關的，而向量 ut 中中的各元素不存在當期相關關系，即這些隨機擾動是相互獨的各元素不存在當期相關關系，即這些隨機擾動是相互獨立的。立的。這些相互獨立的隨機擾動可以被看作是導致內生變這些相互獨立的隨機擾動可以被看作是導致內生變量向量量向量yt變動的最終因素。變動的最終因素。 由式由式(8.2.9)還可以得出還可以得出 其中其中 pp

42、LLL*1*0*)(AAAA10 PAiiAPA1PP(7.2.11)48 很明顯，很明顯， 是對角元素為是對角元素為1的下三角矩陣。的下三角矩陣。這意味著這意味著變量間的當期關系可以用遞歸的形式表示出來，變量間的當期關系可以用遞歸的形式表示出來，得到的正得到的正交交VMA()表示表示(或或Wold表示表示)形式為形式為 其中：其中： ， 。注意到。注意到 ，所以沖，所以沖擊擊 ut 對對 yt 中的元素的當期沖擊效應是由中的元素的當期沖擊效應是由Cholesky因子因子P決決定的。定的。 0A00)(iitiitttLuPuCPuCyii(7.2.12)PCiiP 0P 049 更需要注意的

43、是，由于更需要注意的是，由于P是下三角矩陣，由式是下三角矩陣，由式(8.2.9)可知，這要求向量可知，這要求向量yt中的中的y2t，ykt的當期值對第一個分的當期值對第一個分量量y1t沒有影響，因此沒有影響，因此Cholesky分解因子分解因子P的決定和的決定和VAR模模型中變量的次序有關，而且在給定變量次序的模型中，型中變量的次序有關，而且在給定變量次序的模型中，Cholesky分解因子矩陣分解因子矩陣P是惟一的。是惟一的。 綜上所述，可知只要式綜上所述，可知只要式(7.1.13)中的中的B0是主對角線元素是主對角線元素為為1的下三角矩陣，則的下三角矩陣，則SVAR模型是一種遞歸模型，而且是

44、模型是一種遞歸模型，而且是恰好識別的。恰好識別的。 50 （2）依據經濟理論假設的短期約束）依據經濟理論假設的短期約束 但是，一般短期約束的施加不必是下三角形式的。只但是，一般短期約束的施加不必是下三角形式的。只要滿足式要滿足式(7.1.18)，約束可以施加給，約束可以施加給D0 的任何元素。同時，的任何元素。同時，由式由式(7.1.15)可知，可知，SVAR模型中的同期表示矩陣模型中的同期表示矩陣B0 是是D0 的的逆，即逆，即 ，因此也可以通過對，因此也可以通過對B0 施加限制條件施加限制條件實現短期約束。實現短期約束。 例如：例如：對于稅收對于稅收(y1t)、政府支出政府支出(y2t)和

45、產出和產出(y3t)的三變的三變量量SVAR模型來說模型來說 ，由于模型中包含，由于模型中包含3個內生變量，則個內生變量，則k(k-1)/2= 3，因此需要對模型施加因此需要對模型施加3個約束條件，才能識別出個約束條件，才能識別出結構沖擊。結構沖擊。 100 BD51根據經濟理論可作出如下的三個假設：根據經濟理論可作出如下的三個假設： 實際實際GDP影響當期的稅收收入，但不會影響政府支出，影響當期的稅收收入，但不會影響政府支出，即即B0矩陣中矩陣中b23= 0。 稅收沖擊可能對政府支出有影響，但稅收不依賴于同稅收沖擊可能對政府支出有影響，但稅收不依賴于同期的政府支出，即期的政府支出，即B0矩陣

46、中矩陣中b12= 0。 關于稅收的實際產出彈性假設，可以通過回歸模型得關于稅收的實際產出彈性假設，可以通過回歸模型得出平均的稅收的產出彈性為出平均的稅收的產出彈性為1.71，即，即b13= 1.71。52 2. 長期約束長期約束 關于長期約束的概念最早是由關于長期約束的概念最早是由Blanchard 和和 Quah在在1989年提出的，是為了識別模型供給沖擊對產出的長期影年提出的，是為了識別模型供給沖擊對產出的長期影響。施加在結構響。施加在結構VMA()模型的系數矩陣模型的系數矩陣Di (i=1，2，)上的約束通常稱為長期約束。最常見的長期約束的形式是上的約束通常稱為長期約束。最常見的長期約束

47、的形式是對對 的第的第i行第行第j列元素施加約束，典型的是列元素施加約束，典型的是0約束形式，約束形式，表示第表示第i個變量對第個變量對第j個變量的累積乘數影響為個變量的累積乘數影響為0。 關于長期約束更詳細的說明及其經濟含義可參考關于長期約束更詳細的說明及其經濟含義可參考9.4節的脈沖響應函數。節的脈沖響應函數。0iiD53（三）（三）SVAR模型的模型的3種類型種類型 SVAR模型根據其建模特點，主要分模型根據其建模特點，主要分3種類型：種類型：K-型，型，C-型和型和AB-型，其中型，其中AB-型是最通常的類型，而型是最通常的類型，而K-型、型、C-型都可視為是型都可視為是AB-型的特殊

48、形式。這里，為簡便起見，我型的特殊形式。這里，為簡便起見，我們考慮常數項為們考慮常數項為0的情況。的情況。 1. K-型型 假定假定K是一個是一個(k k)的可逆矩陣，的可逆矩陣，K矩陣左乘式矩陣左乘式(8.1.5)形形式的式的VAR模型，則得模型，則得 54其中其中 式式(8.2.16)導致擾動項導致擾動項 t 轉變為正交擾動項轉變為正交擾動項ut (協方差矩陣協方差矩陣是一個單位陣是一個單位陣)，因此向量，因此向量yt中各元素間的當期相關關系是中各元素間的當期相關關系是由可逆矩陣由可逆矩陣K來決定的。假定知道來決定的。假定知道 t 的方差的方差-協方差矩陣的協方差矩陣的真實形式：真實形式：

49、 ttLKyKA)(7.2.16)ttuK ktE0u)(kttEIuu)(ttuK kttttIEE)()(uuKK55從而有從而有 這意味著對矩陣施加了這意味著對矩陣施加了k(k+1)/2個非線性的限制，個非線性的限制，K中剩中剩下下k(k 1)/2個自由參數，還須給出個自由參數，還須給出k(k 1)/2個短期約束條件。個短期約束條件。例例7.2所描述的所描述的SVAR模型即為模型即為K-型型SVAR模型。模型。 kIKK 2. C-型型 假定假定C是一個是一個(k k)的可逆矩陣，對于的可逆矩陣，對于VAR模型模型 56ttLyA)(7.2.17)如果滿足下列條件：如果滿足下列條件： 則

50、稱上述模型為則稱上述模型為C-型型SVAR模型。模型。 在這一模型中，在這一模型中，ut是相互獨立的擾動，而是相互獨立的擾動，而 t是獨立正是獨立正交的擾動項交的擾動項ut的線性組合。與的線性組合。與K-型模型所不同的是：在這型模型所不同的是：在這個模型中，內生變量之間沒有同期關系，每個變量對正交個模型中，內生變量之間沒有同期關系，每個變量對正交擾動項的響應是通過矩陣擾動項的響應是通過矩陣C模擬的。模擬的。 ttCu ktE0u)(kttEIuu)(57 由由 ，可以得到，可以得到 。假定假定 的形式已知，的形式已知， 意味著對意味著對C 矩陣施加了矩陣施加了k(k+1)/2個非線性的限制性條

51、件，個非線性的限制性條件，C中剩下中剩下k(k 1)/2個自由個自由參數。如果參數。如果C矩陣是下三角矩陣，則矩陣是下三角矩陣，則C矩陣就相當于矩陣就相當于Cholesky-分解的分解的P矩陣。矩陣。 )()(CuCuttttEECCCC 3. AB-型型 假定假定A、B是是(k k)的可逆矩陣，的可逆矩陣，A矩陣左乘式矩陣左乘式(7.1.5)形式形式的的VAR模型，則得模型，則得 58如果如果A、B滿足下列條件：滿足下列條件：則稱上述模型為則稱上述模型為AB-型型SVAR模型。模型。 注意到注意到AB-模型是最典型的模型是最典型的SVAR模型，可以涵蓋模型，可以涵蓋K-模型和模型和C-模型。

52、如果模型。如果AB-模型中的模型中的A矩陣為單位矩陣，則矩陣為單位矩陣，則AB-模型就轉化為模型就轉化為C-模型。如果模型。如果AB-模型中的模型中的B矩陣為單位矩陣為單位矩陣，則此矩陣，則此AB-模型為模型為K-模型。模型。 ttyLAAA)(7.2.18)ttBuA ktE0u)(kttEIuu)(59由由得到得到如果如果 的形式已知，則的形式已知，則 是對矩陣是對矩陣A、B的參數施加了的參數施加了k(k+1)/2個非線性限制條件，剩下個非線性限制條件，剩下2k2 k (k+1)/2個自由參數。個自由參數。 )()(BuBuAAttttEEBBAABBAA60 （四）（四）在在Eviews

53、中如何估計中如何估計SVAR模型模型 在在VAR估計窗口中選擇：估計窗口中選擇：Procs /Estimate Structural Factorization 即可。下面對這一操作進行詳細說明：即可。下面對這一操作進行詳細說明： 在在EViews中中SVAR模型采用模型采用7.2節所介紹的節所介紹的AB-型：型： 其中其中et，ut是是k維向量，維向量，et是可觀測到的（或簡化式的）殘是可觀測到的（或簡化式的）殘差，相當于前文的差，相當于前文的 t，而而ut 是不可觀測的結構新息是不可觀測的結構新息(結構式結構式殘差殘差)。A、B是待估計的是待估計的k k矩陣。簡化式殘差矩陣。簡化式殘差et

54、的協方差的協方差矩陣為矩陣為 ttBuAe 61eettE結構新息結構新息ut 被假定是標準化正交的，即其協方差矩陣是單被假定是標準化正交的，即其協方差矩陣是單位矩陣：位矩陣：新息新息ut標準正交的假設對矩陣標準正交的假設對矩陣A、B強加了下面這樣的約束：強加了下面這樣的約束： 為了估計正交的因子分解矩陣為了估計正交的因子分解矩陣A、B，需要提供附加的可需要提供附加的可識別約束。對于短期和長期約束都能被指定為文本形式或識別約束。對于短期和長期約束都能被指定為文本形式或矩陣模式。矩陣模式。 kttEIuuBBAA621. 用矩陣模式表示的短期約束用矩陣模式表示的短期約束 在許多問題中，對于在許多

55、問題中，對于A、B矩陣的可識別約束是簡單矩陣的可識別約束是簡單的排除的排除0約束。在這種情況下，可以通過創建矩陣指定約束。在這種情況下，可以通過創建矩陣指定A、B的約束，矩陣中想估計的元素定義為缺省值的約束，矩陣中想估計的元素定義為缺省值NA，在矩陣在矩陣中所有非缺省的值被固定為某一指定的值。中所有非缺省的值被固定為某一指定的值。例如：例如：假定約束假定約束A為主對角元素是為主對角元素是1的下三角矩陣，的下三角矩陣，B為一為一對角矩陣，對于對角矩陣，對于k = 3個變量的個變量的VAR模型，其矩陣模式可定模型，其矩陣模式可定義為：義為： 63101001NANANAANANANA000000B

56、 用菜單用菜單Objects/NewObjects可以創建兩個新的可以創建兩個新的3 3的矩陣的矩陣A、B，然后用表格視圖然后用表格視圖(speadsheet view)來編輯這些值。來編輯這些值。 一 旦 創 建 了 矩 陣 ， 從一 旦 創 建 了 矩 陣 ， 從 VA R 對 象 窗 口 的 菜 單 中 選 擇對 象 窗 口 的 菜 單 中 選 擇Procs/Estimate Structural Factorization，在下圖所示的在下圖所示的SVAR Options的對話框中，擊中的對話框中，擊中Matrix按鈕和按鈕和Short-Run Pattern按鈕，并按鈕，并在相應的編

57、輯框中填入模版矩陣的名字。在相應的編輯框中填入模版矩陣的名字。 64652. 用文本形式表示的短期約束用文本形式表示的短期約束 對于更一般的約束，可用文本形式指定可識別的約束。對于更一般的約束，可用文本形式指定可識別的約束。在文本形式中，以一系列的方程表示關系：在文本形式中，以一系列的方程表示關系：Aet = But ，并并用特殊的記號識別用特殊的記號識別et和和ut向量中的每一個元素。向量中的每一個元素。A、B矩陣矩陣中被估計的元素必須是系數向量中被指定的元素。中被估計的元素必須是系數向量中被指定的元素。例如：例如：像上例所假定的一樣，對于有像上例所假定的一樣，對于有3個變量的個變量的VAR

58、模型，模型，約束約束A矩陣為主對角線是矩陣為主對角線是1的下三角矩陣，的下三角矩陣，B矩陣是一對角矩陣是一對角矩陣。在這些約束條件下，矩陣。在這些約束條件下，Aet = But 的關系式可以寫為下的關系式可以寫為下面的形式。面的形式。 66tttttttttubeaeaeubeaeube333232131322212121111 為了以文本形式指定這些約束，從為了以文本形式指定這些約束，從VAR對象窗口選擇對象窗口選擇Procs/Estimate Structure Factorization，并單擊并單擊Text按按鈕，在編輯框中，應鍵入下面的方程：鈕，在編輯框中，應鍵入下面的方程： 3*)

59、6(2*)5(1*)4(32*)3(1*)2(21*) 1 (1ucececeuceceuce67 特殊的關鍵符特殊的關鍵符“e1”， “e2”， “e3”分別代表分別代表et向量中的第一、第二、第三個元素，而向量中的第一、第二、第三個元素，而“ u1”， “ u2”， “ u3”分別代表分別代表ut 向量中的第一、第二、第三個元素。在向量中的第一、第二、第三個元素。在這個例子中，這個例子中，A、B矩陣中的未知元素以系數向量矩陣中的未知元素以系數向量c中的元中的元素來代替。并且對素來代替。并且對A、B矩陣的約束不必是下三角形式，矩陣的約束不必是下三角形式，可以依據具體的經濟理論來建立約束。可以

60、依據具體的經濟理論來建立約束。683. 長期約束長期約束 體現在關系式體現在關系式Aet = But 中的可識別約束，通常指短期中的可識別約束，通常指短期約束。約束。Blanchard 和和Quah(1989)提出了另外一種可識別的提出了另外一種可識別的方法，是基于脈沖響應長期性質的約束。由式方法，是基于脈沖響應長期性質的約束。由式(7.4.17)，可，可推出結構新息的長期響應推出結構新息的長期響應 ： 長期可識別約束依矩陣長期可識別約束依矩陣 的形式指定，典型的是的形式指定，典型的是0約束約束形式。形式。 ij = 0的約束表示第的約束表示第i個變量對第個變量對第j個結構沖擊的長個結構沖擊的