1、高等數學一一 無窮小無窮小二二 無窮大無窮大三三 無窮小與無窮大的關系無窮小與無窮大的關系1.4 1.4 無窮小與無窮大無窮小與無窮大高等數學一 無窮小(Infinitely Small Quantity)1 定義定義 極限為極限為0的變量叫無窮小量。的變量叫無窮小量。說明：說明：注注1 不要認為無窮小量是一個很小很小的數；不要認為無窮小量是一個很小很小的數；注注2 一個函數是無窮小量，必須指明自變量的一個函數是無窮小量，必須指明自變量的 變化趨勢；變化趨勢；注注3 0 是唯一可稱為無窮小量的數。是唯一可稱為無窮小量的數。 時的無窮小時的無窮小稱為稱為數列數列特別地，以零為極限的特別地，以零為

2、極限的 nxn xxxxxx總總有有只只要要為為無無窮窮小小量量時時，：當當用用極極限限的的定定義義可可敘敘述述為為,0, 0, 000高等數學例如：例如：0coslim2 xx ,lim01xx, 0)1(lim nnn、時時31,xx 01002 xc、時時1,1 xx01)1(2 xxn、如：如：nn1, 0)1(10052 qqncnn、高等數學2 無窮小和極限的關系無窮小和極限的關系 證明1不妨設不妨設Axfxx )(lim0, 0, 0 時時，當當 00 xx Axf)(有有令令Axf )( （ 為無窮小量）為無窮小量） Axf)(則則,)(lim)1Axf 若若,)()2 Axf

3、若若Axf )(lim則則那么那么當當 為無窮小量，也有為無窮小量，也有 =A+0 xx )(xf定理定理1高等數學, 0, 0 .)( Axf 即有即有例如：例如：, 11lim xxx有有xxx111 其中其中)(01 xx時時，當當 00 xx所以，所以， 以以A為極限。為極限。)(xf2假設假設 =A+，那么，那么= -A, 為無窮小為無窮小量量,由于由于為無窮小量，故對為無窮小量，故對)(xf)(xf高等數學思考題：思考題：時，時，當當0 xx 是是無無窮窮小小)(x 是是“當當0 xx 時，時，)(x 是無窮小的是無窮小的(A) 充分但非必要條件；充分但非必要條件；(B) 必要但非

4、充分條件；必要但非充分條件；(C) 既非充分也非必要條件；既非充分也非必要條件；(D) 充分必要條件充分必要條件D高等數學二二 無窮大無窮大,10軸軸無限接近于無限接近于時，函數時，函數當當yxyx y無限增大，稱無限增大，稱xy1 是一個無窮大量。是一個無窮大量。X0Y(Infinitely Large Quantity)高等數學 時時的的無無窮窮大大或或為為當當則則稱稱函函數數總總滿滿足足不不等等式式函函數數值值對對應應的的或或適適合合不不等等式式只只要要或或正正數數總總存存在在正正數數不不論論它它多多么么大大正正數數如如果果對對于于任任意意給給定定的的大大于于某某一一正正數數時時有有定定

5、義義或或義義的的某某一一去去心心鄰鄰域域內內有有定定在在設設函函數數定定義義)(,)(0,)(,)(.)(.2000 xxxxfMxfxfXxxxxXMxxxf 是是無無窮窮大大”，并并記記作作我我們們也也說說“函函數數的的極極限限在在的的，但但為為敘敘述述方方便便，這這時時函函數數的的極極限限是是不不存存 )lim(lim0 xfxfxxx或或高等數學注注1 無窮大量不是一個數無窮大量不是一個數,不可與很大的不可與很大的 數數混為一談混為一談. 無窮大量是一個變量，絕對值無限增無窮大量是一個變量，絕對值無限增大的變量；大的變量；注注2 函數是無窮大量，必須指明其變化趨勢。函數是無窮大量，必須

6、指明其變化趨勢。比如比如.01lim,1lim0 xxxx但但高等數學上述定義也常常簡記為上述定義也常常簡記為 )(lim) 10 xfxx, 0, 0 M.)(Mxf 00 xx當當 時，時，有有 )(lim) 2xfx, 0, 0 XM時時，當當Xx .)(Mxf 有有高等數學 11lim. 21xx例例證證明明證證0 MMx 11要要使使Mx11 只要只要M1取取 有有時時當當,10 xMx 11 11lim1xx 的的圖圖形形的的鉛鉛直直漸漸近近線線是是直直線線xfyx 1 鉛鉛直直漸漸近近線線的的圖圖形形的的是是則則直直線線一一般般地地若若xfyxxxfxx 0,lim0高等數學注注

7、3：無窮大量一定是無界量；但是無界量不一：無窮大量一定是無界量；但是無界量不一定是無窮大量。定是無窮大量。例：證明函數例：證明函數xxysin在在), 0(是無界的，但是無界的，但x時，不是無窮大量。時，不是無窮大量。證明：取證明：取0,2 nnynx , 0),( ,2 nnynnx 不是無窮大不是無窮大. ,22,212 nxfnxxnn時時 無無界界充充分分大大時時，當當 ,Mxfnn高等數學20406080100-75-50-25255075100說明：證明函數的極限不存在時，只須找說明：證明函數的極限不存在時，只須找一串點一串點 , 使使 的極限不存在。的極限不存在。nxxx,21)(nxf高等數學三三 無窮小量與無窮大量的關系無窮小量與無窮大量的關系注注:（倒數關系）（倒數關系）, 0)( 0)(li