1、新課標高中數學圓的方程典型例題類型一：圓的方程例1求過兩點、且圓心在直線上的圓的標準方程并判斷點與圓的關系分析：欲求圓的標準方程，需求出圓心坐標的圓的半徑的大小，而要判斷點與圓的位置關系，只須看點與圓心的距離和圓的半徑的大小關系，若距離大于半徑，則點在圓外；若距離等于半徑，則點在圓上；若距離小于半徑，則點在圓內解法一：（待定系數法）設圓的標準方程為圓心在上，故.圓的方程為.又該圓過、兩點.解之得：，所以所求圓的方程為.解法二：（直接求出圓心坐標和半徑）因為圓過、兩點，所以圓心必在線段的垂直平分線上，又因為，故的斜率為1，又的中點為，故的垂直平分線的方程為：即.又知圓心在直線上，故圓心坐標為半徑

2、.故所求圓的方程為.又點到圓心的距離為點在圓外.說明：本題利用兩種方法求解了圓的方程，都圍繞著求圓的圓心和半徑這兩個關鍵的量，然后根據圓心與定點之間的距離和半徑的大小關系來判定點與圓的位置關系，若將點換成直線又該如何來判定直線與圓的位置關系呢？例2求半徑為4，與圓相切，且和直線相切的圓的方程.分析：根據問題的特征，宜用圓的標準方程求解.解：則題意，設所求圓的方程為圓.圓與直線相切，且半徑為4，則圓心的坐標為或.又已知圓的圓心的坐標為，半徑為3.若兩圓相切，則或.（1）當時，或（無解），故可得.所求圓方程為，或.（2）當時，或（無解），故.所求圓的方程為，或.說明：對本題，易發生以下誤解：由題意

3、，所求圓與直線相切且半徑為4，則圓心坐標為，且方程形如.又圓，即，其圓心為，半徑為3.若兩圓相切，則.故，解之得.所以欲求圓的方程為，或.上述誤解只考慮了圓心在直線上方的情形，而疏漏了圓心在直線下方的情形.另外，誤解中沒有考慮兩圓內切的情況.也是不全面的.例3求經過點，且與直線和都相切的圓的方程.分析：欲確定圓的方程.需確定圓心坐標與半徑，由于所求圓過定點，故只需確定圓心坐標.圓與兩已知直線相切，故圓心必在它們的交角的平分線上.解：圓和直線與相切，圓心在這兩條直線的交角平分線上，又圓心到兩直線和的距離相等兩直線交角的平分線方程是或又圓過點，圓心只能在直線上設圓心到直線的距離等于，化簡整理得解得

4、：或圓心是，半徑為或圓心是，半徑為所求圓的方程為或說明：本題解決的關鍵是分析得到圓心在已知兩直線的交角平分線上，從而確定圓心坐標得到圓的方程，這是過定點且與兩已知直線相切的圓的方程的常規求法例4、設圓滿足：(1)截軸所得弦長為2；(2)被軸分成兩段弧，其弧長的比為，在滿足條件(1)(2)的所有圓中，求圓心到直線的距離最小的圓的方程分析：要求圓的方程，只須利用條件求出圓心坐標和半徑，便可求得圓的標準方程滿足兩個條件的圓有無數個，其圓心的集合可看作動點的軌跡，若能求出這軌跡的方程，便可利用點到直線的距離公式，通過求最小值的方法找到符合題意的圓的圓心坐標，進而確定圓的半徑，求出圓的方程解法一：設圓心

5、為，半徑為則到軸、軸的距離分別為和由題設知：圓截軸所得劣弧所對的圓心角為，故圓截軸所得弦長為又圓截軸所得弦長為2又到直線的距離為當且僅當時取“=”號，此時這時有或又故所求圓的方程為或解法二：同解法一，得將代入上式得：上述方程有實根，故將代入方程得又.由知、同號故所求圓的方程為或.說明：本題是求點到直線距離最小時的圓的方程，若變換為求面積最小呢？類型二：切線方程、切點弦方程、公共弦方程例5已知圓，求過點與圓相切的切線.解：點不在圓上，切線的直線方程可設為根據解得所以即因為過圓外一點作圓得切線應該有兩條，可見另一條直線的斜率不存在.易求另一條切線為.說明：上述解題過程容易漏解斜率不存在的情況，要注

6、意補回漏掉的解.本題還有其他解法，例如把所設的切線方程代入圓方程，用判別式等于0解決(也要注意漏解).還可以運用，求出切點坐標、的值來解決，此時沒有漏解.例6兩圓與相交于、兩點，求它們的公共弦所在直線的方程.分析：首先求、兩點的坐標，再用兩點式求直線的方程，但是求兩圓交點坐標的過程太繁.為了避免求交點，可以采用“設而不求”的技巧.解：設兩圓、的任一交點坐標為，則有：得：.、的坐標滿足方程.方程是過、兩點的直線方程.又過、兩點的直線是唯一的.兩圓、的公共弦所在直線的方程為.說明：上述解法中，巧妙地避開了求、兩點的坐標，雖然設出了它們的坐標，但并沒有去求它，而是利用曲線與方程的概念達到了目標.從解

7、題的角度上說，這是一種“設而不求”的技巧，從知識內容的角度上說，還體現了對曲線與方程的關系的深刻理解以及對直線方程是一次方程的本質認識.它的應用很廣泛.例7、過圓x2y21外一點M(2,3)，作這個圓的兩條切線MA、MB，切點分別是A、B，求直線AB的方程。練習：1求過點M(3,1)，且與圓(x1)2y24相切的直線I的方程解：設切線方程為y1k(x3)，即kxy3k10,圓心(1,0)到切線l的距離等于半徑2,|k3k丄2，解得k3,1243切線方程為y1(x3)，即3x4y130,x3，圓心(1,0)到此直線的距離等于半徑2，4當過點M的直線的斜率不存在時，其方程為故直線x3也適合題意。所

8、以，所求的直線l的方程是3x4y132、過坐標原點且與圓x2y24x2y50相切的直線的方程為解：設直線方程為ykx，即kxy0.圓方程可化為(x2)2(y1)25，圓心為(2,2-1),半徑為10上10.依題意有22k1k21.101，解得k3或kJ：直線方程為y3x或1y3x.3、已知直線5x12ya0與圓x22xy20相切，貝Ua的值為解：T圓(X1)21的圓心為(1,0),半徑為1,二|5a5212218.類型三:弦長、弧問題例&求直線l:3x0被圓C:x2y22x4y0截得的弦AB的長.例9、直線3xy0截圓x24得的劣弧所對的圓心角為解：依題意得，弦心距3，故弦長AB2.r

9、2d22，從而OAB是等邊三角形,故截得的劣弧所對的圓心角為AOB-3例10、求兩圓x2y2y25的公共弦長類型四：直線與圓的位置關系例11、已知直線3xy2.30和圓x22y4，判斷此直線與已知圓的位置關系例12、若直線yxm與曲線y.4x2有且只有一個公共點，求實數m的取值范圍.222解：曲線y.4x表示半圓xy4(y0)利用數形結合法，可得實數m的取值范圍是2m2或m2、.2.例13圓上到直線的距離為1的點有幾個？分析：借助圖形直觀求解或先求出直線、的方程，從代數計算中尋找解答.解法一：圓的圓心為，半徑.設圓心到直線的距離為，貝L如圖，在圓心同側，與直線平行且距離為1的直線與圓有兩個交點

10、，這兩個交點符合題意.又.與直線平行的圓的切線的兩個切點中有一個切點也符合題意.符合題意的點共有3個.解法二：符合題意的點是平行于直線，且與之距離為1的直線和圓的交點.設所求直線為，則，,即，或，也即，或.設圓的圓心到直線、的距離為、，貝U與相切，與圓有一個公共點；與圓相交，與圓有兩個公共點.即符合題意的點共3個.說明：對于本題，若不留心，則易發生以下誤解：設圓心到直線的距離為，貝U.圓到距離為1的點有兩個.顯然，上述誤解中的是圓心到直線的距離，只能說明此直線與圓有兩個交點，而不能說明圓上有兩點到此直線的距離為1.到一條直線的距離等于定值的點，在與此直線距離為這個定值的兩條平行直線上，因此題中

11、所求的點就是這兩條平行直線與圓的公共點求直線與圓的公共點個數，一般根據圓與直線的位置關系來判斷，即根據圓心與直線的距離和半徑的大小比較來判斷.22練習1：直線xy1與圓xy2ay0(a0)沒有公共點，貝Ua的取值范圍是a1jj解：依題意有a，解得<21a<21.：a0,0a721.練習2:若直線ykx2與圓(x2)2(y3)21有兩個不同的交點，貝Uk的取值范圍是.、亠，|2k1,44解：依題意有.1，解得0k,k的取值范圍是(0,).W1333、圓上到直線的距離為的點共有（）.（A）1個（B）2個（C）3個（D）4個分析：把化為，圓心為，半徑為，圓心到直線的距離為，所以在圓上共有

12、三個點到直線的距離等于，所以選C.4、過點作直線，當斜率為何值時，直線與圓有公共點，如圖所示.分析：觀察動畫演示，分析思路.解：設直線的方程為即根據有整理得解得類型五：圓與圓的位置關系例14、判斷圓G:X2y22x6y260與圓C2:x22y4x2y40的位置關系,問題導學四：圓與圓位置關系如何確定?2222例15：圓xy2x0和圓xy4y0的公切線共有條。解：圓（x1）2y21的圓心為0,1,0），半徑R1，圓x2（y2）24的圓心為。2（0,2）,半徑22。1。2丄5,123,211./21。1。212，二兩圓相交共有2條公切線。練習1：若圓x2y22mxm240與圓x2y22x4my4m

13、280相切，則實數m的取值集合是2222解：圓（xm）y4的圓心為OmQ），半徑r12，圓（x1）（y2m）9的圓心為。2（1,2m）,半徑23,且兩圓相切，OQ212或OQ221,二.（丁廠（靳）25或廠（靳）21，解得m號或m2，或m0或m2，125實數m的取值集合是一-,0,2.5'22：求與圓x2y25外切于點P(1,2)，且半徑為2.、5的圓的方程.22解：設所求圓的圓心為O,a,b)，則所求圓的方程為(xa)(yb)20.兩圓外切于點P,1122-OP丄00,，二(1,2)(a,b),a3,b6，所求圓的方程為(x3)(y6)20.33類型六：圓中的對稱問題22例16、圓x

14、y2x6y90關于直線2xy50對稱的圓的方程是例17自點發出的光線射到軸上，被軸反射，反射光線所在的直線與圓相切(1) 求光線和反射光線所在的直線方程.(2) 光線自到切點所經過的路程.分析、略解：觀察動畫演示，分析思路根據對稱關系，首先求出點的對稱點的坐標為，其次設過的圓的切線方程為根據，即求出圓的切線的斜率為或進一步求出反射光線所在的直線的方程為或最后根據入射光與反射光關于軸對稱，求出入射光所在直線方程為或光路的距離為，可由勾股定理求得.說明：本題亦可把圓對稱到軸下方，再求解.類型七：圓中的最值問題22例18：圓xy4x4y100上的點到直線xy140的最大距離與最小距離的差是解：圓(x

15、2)(y2)18的圓心為(2,2),半徑r3、2，圓心到直線的距離d105-、2r,直線與圓相離，圓上的點到直線的最大距離與最小距離的差是72(dr)(dr)2r62例19(1)已知圓，為圓上的動點，求的最大、最小值.(2)已知圓，為圓上任一點求的最大、最小值，求的最大、最小值.分析：(1)、(2)兩小題都涉及到圓上點的坐標，可考慮用圓的參數方程或數形結合解決.解：(1)(法1)由圓的標準方程.可設圓的參數方程為(是參數).則(其中).所以，.(法2)圓上點到原點距離的最大值等于圓心到原點的距離加上半徑1,圓上點到原點距離的最小值等于圓心到原點的距離減去半徑1.所以.所以.(2)(法1)由得圓

16、的參數方程：是參數.貝U.令，得，所以，.即的最大值為，最小值為.此時.所以的最大值為，最小值為.(法2)設，則.由于是圓上點，當直線與圓有交點時，如圖所示，兩條切線的斜率分別是最大、最小值.由，得.所以的最大值為，最小值為.令，同理兩條切線在軸上的截距分別是最大、最小值.由，得.所以的最大值為，最小值為.例20：已知A(2,0),B(2,0)，點P在圓(x3)2(y4)24上運動，則PA2PB2的最小值是.解：設P(x,y)，則PA2PB2(x2)2y2(x2)2y22(x2y2)82OP28.設圓心22為C(3,4)，則0PminOCr523，二PAPB的最小值為232826.練習：1：已

17、知點P(x,y)在圓x2(y1)21上運動.(1)求丄的最大值與最小值；(2)求2xy的最大值與最小值.x2解：(1)設丄k,則k表示點P(x,y)與點(2,1)連線的斜率.當該直線與圓相切時，k取得x2最大值與最小值.由.汰1，解得k仝，以的最大值為仝，最小值為仝.Vk213x233(2)設2xym，則m表示直線2xym在y軸上的截距.當該直線與圓相切時，m取得最大值與最小值由11,解得m1J5,2xy的最大值為1J5,最小值為1J5.J52設點是圓是任一點，求的取值范圍.分析一：利用圓上任一點的參數坐標代替、，轉化為三角問題來解決.解法一：設圓上任一點則有，即()又解之得：.分析二：的幾何

18、意義是過圓上一動點和定點的連線的斜率，利用此直線與圓有公共點，可確定出的取值范圍.解法二：由得：，此直線與圓有公共點，故點到直線的距離.解得：.另外，直線與圓的公共點還可以這樣來處理：由消去后得：，此方程有實根，故，解之得：.說明：這里將圓上的點用它的參數式表示出來，從而將求變量的范圍問題轉化成三角函數的有關知識來求解.或者是利用其幾何意義轉化成斜率來求解，使問題變得簡捷方便.3、已知點A(2,2),B(2,6),C(4,2)，點P在圓x2y24上運動，求PA2PB2PC2的最大值和最小值類型八：軌跡問題1例21、基礎訓練：已知點M與兩個定點0(0,0),A(3,0)的距離的比為-，求點M的軌

19、跡方程2例22、已知線段AB的端點B的坐標是(4,3),端點A在圓(x1)2y24上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程例23如圖所示，已知圓與軸的正方向交于點，點在直線上運動，過做圓的切線，切點為，求垂心的軌跡.分析：按常規求軌跡的方法，設，找的關系非常難由于點隨，點運動而運動，可考慮，三點坐標之間的關系.解：設，連結，則,是切線，所以，所以四邊形是菱形.所以，得又滿足，所以即是所求軌跡方程.說明：題目巧妙運用了三角形垂心的性質及菱形的相關知識采取代入法求軌跡方程做題時應注意分析圖形的幾何性質，求軌跡時應注意分析與動點相關聯的點，如相關聯點軌跡方程已知，可考慮代入法.例24已知圓的方程為，圓內

20、有定點，圓周上有兩個動點、，使，求矩形的頂點的軌跡方程.分析：利用幾何法求解，或利用轉移法求解，或利用參數法求解.解法一：如圖，在矩形中，連結，交于，顯然，在直角三角形中，若設，則.由，即也即，這便是的軌跡方程.解法二：設、，則,又，即又與的中點重合，故，即+，有.這就是所求的軌跡方程.解法三：設、，由于為矩形，故與的中點重合，即有,又由有聯立、消去、，即可得點的軌跡方程為.說明：本題的條件較多且較隱含，解題時，思路應清晰，且應充分利用圖形的幾何性質，否則，將使解題陷入困境之中.本題給出三種解法其中的解法一是幾何方法，它充分利用了圖形中隱含的數量關系.而解法二與解法三，從本質上是一樣的，都可以

21、稱為參數方法解法二涉及到了、四個參數，故需列出五個方程；而解法三中，由于借助了圓的參數方程，只涉及到兩個參數、，故只需列出三個方程便可.述三種解法的共同之處是，利用了圖形的幾何特征，借助數形結合的思想方法求解.練習:2201、由動點P向圓xy1引兩條切線PA、PB，切點分別為A、B,APB=60，則動點的軌跡方程是.解：設P(x,y)APB=60°,.OPA=30°.tOAAPOP2OA2,.x2y22,化簡得x2y24,.動點P的軌跡方程是x2y24.練習鞏固：設A(c,0),B(c,0)(c0)為兩定點，動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a(a0)，求P點的軌跡

22、.解：設動點P的坐標為P(x,y).由匸Aa(a0)，得$xc)a，lPB；(xc)2y2化簡得(1a2)x2(1a2)y22c(1a2)xc2(1a2)0.2.2當a1時，化簡得x2y22c(1a)xc20，整理得(x打皂c)2y2(二筍)2；1aa1a1當a1時，化簡得x0.所以當a1時，P點的軌跡是以(!_呂c,0)為圓心，|2*°|為半徑的圓；a1|a1當a1時，P點的軌跡是y軸.2、已知兩定點A(2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足PA2PB，則點P的軌跡所包圍的面積等于解：設點P的坐標是(x,y).由|PA2PB，得J(x2)2y22(x1)2寸，化簡得(x2)2y24

23、,點P的軌跡是以(2,0)為圓心，2為半徑的圓，二所求面積為4.4、已知定點B(3,0)，點A在圓x2y21上運動，M是線段AB上的一點，且AM1MB,3解：設M(x,y),A(x1,y1)./AMMB,3(xX1,yyj1、4,xX1(3x)X1x133.占八、A在圓x2y214yy1-yy1-y33問點M的軌跡是什么？1孑3x,y),1上運動，x12y121，二42423(-x1)(-y)1，即(X-)2334y216，點M的軌跡方程是(x-)2y2-416例5、已知定點B(3,0)，點A在圓x2y21上運動,AOB的平分線交AB于點M，則點M的軌跡方程是解：設M(x,y),Agy)./O

24、M是AOB的平分線,.AMPA1MB|OB3AM訓B.由變式1可得點M的軌跡方程是(x練習鞏固：已知直線ykx1與圓x2y24相交于A、B兩點，以OA、OB為鄰邊作平行四邊形OAPB，求點P的軌跡方程解：設P(x,y)，AB的中點為OAPB是平行四邊形，M是OP的中點，點M的坐標為(二丫)，且OMAB.22OMCM(x,y)(罕1)2222t直線ykx1經過定點C(0,1),OMCM，(Z)2沁1)0，化簡得222x2(y1)21.點P的軌跡方程是x2(y1)21.類型九：圓的綜合應用例25、已知圓與直線相交于、兩點，為原點，且，求實數的值.分析：設、兩點的坐標為、，則由，可得，再利用一元二次方程根與系數的關系求解或因為通過原點的直線的斜率為，由直線與圓的方程構造以為未知數的一元二次方程，由根與系數關系得出的值，從而使問題得以解決.解法一：設點、的坐標為、.一方面，由，得，即，也即：另一方面，、是方程組的實數解，即、是方程的兩個根.,又、在直線上，將代入，得.將、代入，解得，代入方程，檢驗成立，解法二：由直線方程可得，代入圓的方程，有整理，得.由于，故可得,是上述方程兩根故得，解得.經檢驗可知為所求.說明：求解本題時，應避免去求、兩點的坐標的具體數值除此之外，還應對求出的值進行必要