1、全等三角形問題中常見的輔助線的作法（有答案）總論：全等三角形問題最主要的是構造全等三角形，構造二條邊之間的相等，構造二個角之 間的相等【三角形輔助線做法】圖中有角平分線, 角平分線平行線, 線段垂直平分線, 三角形中兩中點,可向兩邊作垂線。等腰三角形來添。常向兩端把線連。連接則成中位線。也可將圖對折看, 角平分線加垂線, 要證線段倍與半, 三角形中有中線,對稱以后關系現。三線合一試試看。延長縮短可試驗。延長中線等中線。1 ,等腰三角形“三線合一”法： 遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三 線 合一”的性質解題?信長中 倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形3 .角平分線在三種添

2、輔助線4 .垂直平分線聯結線段兩端5 .用“截長法”或“補短法” : 遇到有二條線段長之和等于第三條線段的長，6 .圖開2未卜全法：有一個角為60度或120度的把該角添線后構成等邊三角形7.角度數為30、60度的作垂線法： 遇到三角形中的一個角為30度或60度，可以從 角一邊上一點向角的另一邊作垂線，目的是構成30-60-90的特殊直角三角形，然后計算邊的長度與角的度數，這樣可以得到在數值上相等的二條邊或二個角。從而為證明全等三角形創造邊、角之間 的相等條件。8 .計算數值法：遇到等腰直角三角形，正方形時，或30-60-90的特殊直角三角形，或40-60-80的特殊直角三角形，常計算邊的長度與

3、角的度數，這樣可以得到在數值上相等的二條邊 或二個角，從而為證明全等三角形創造邊、角之間的相等條件。常見輔助線的作法有以下幾種：最主要的是構造全等三角形，構造二條邊之間的相等，二個角之間的相等。1）遇到等腰三角形，可作底邊上的高，利用“三線合一”的性質解題，思維模式是全等變換中的“對折”法構造全等三角形2）遇到三角形的中線，倍長中線，使延長線段與原中線長相等，構造全等三角形，利用的思維 模式是全等變換中的“旋轉”法構造全等三角形.3）遇到角平分線在三種添輔助線的方法，（1 ）可以自角平分線上的某一點向角的兩邊作垂線， 利用的思維模式是三角形全等變換中的“對折”，所考知識點常常是角平分線的性質定

4、理或逆 定理.（2 ）可以在角平分線上的一點作該角平分線的垂線與角的兩邊 相交，形成一對全等三 角形。（3）可以在該角的兩邊上，距離角的頂點相等長度的位 置上截取二點，然后從這兩點 再向角平分線上的某點作邊線，構造一對全等三角形。4）過圖形上某一點作特定的平分線，構造全等三角形，利用的思維模式是全等變換中的“平移”或“翻轉折疊”5）截長法與補短法，具體做法是在某條線段上截取一條線段與特定線段相等，或是將某條線段延 長，是之與特定線段相等，再利用三角形全等的有關性質加以說明.這種作法，適合于證明 線段的和、差、倍、分等類的題目.6）已知某線段的垂直平分線，那么可以在垂直平分線上的某點向該線段的兩

5、個端點作連線，出一對 全等三角形。特殊方法：在求有關三角形的定值一類的問題時，常把某點到原三角形各頂點的線段連接起 來，利用三角形面積的知識解答.一、倍長中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3,則中線AD的取值范圍是例2、如圖， ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE ± DF , D是中點，試比較BE+CF與EF 的大小.例3、如圖， ABC中，BD=DC=AC , E是DC的中點，求證：AD平分/ BAE.應用：1、( 09崇文二模)以ABC的兩邊AB、AC為腰分別向外作等腰RtABD和等腰Rt ACE, bad CAE 90,連接

6、de, M、N分別是BC、DE的中點.探究：AM與DE的位置關系及數量 關系.(1)如圖當ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關系是線段AM與DE的數量關系是；將圖中的等腰RtABD繞點A沿逆時針方向旋轉(0vv90)后，如圖所示,(1 )問中得到的兩個結論是否發生改變？并說明理由.二、截長補短1、如圖，ABC 中，AB=2AC ,AD平分BAC,且AD=BD,求證:CD工AC2、如圖，AD / BC, EA,EB 分別平分/ DAB, / CBA,CD 過點 E,求證;AB =AD+BC。3、如圖，已知在VABC內，AP, BQ分別是 BAC,00BAC 60, C40°, P,

7、 Q 分別在 BC, CA±,并且4、如圖，在四邊形 ABCD中,求證：AC 180°5、如圖在A ABC 中，AB > AC, / 1 =Z 2 , P 為 AD 上任意一點，求證；AB-AC > PB-PC如虱在四邊Jg/微申點丘昆皿上一個動點.若乙療朋二血 R 肚”叭判斷J/J >航?？耳心的關系并征期你的結i：、平移變換例1 AD ABC的角平分線，直線MN_L AD于A.E為MN上一點， ABC周長記為Fa, EBC周長記為Pb.求證Pb > Pa.DC例2如圖，在a ABC的邊上取兩點D、E,且BD=CE,求證：AB+AOAD+AE.四、

8、借助角平分線造全等, ABC的角平分線AD,CE相交于點0,求證:1、如圖，已知在么ABC中，/ B=60OE=OD2、如圖， ABC +, AD 平分/ BAC, DG，BC 且平分 BC ,DF ± AC于F.(1 )說明BE=CF的理由；(2)如果AB=a, AC=b,求AE、BE的長.應用: 1、如圖，0P是/ MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以0P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：如圖，在a ABC中，/ ACB是直角，/ B=60 0 , AD、CE分別是/ BAC、/BCA的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與

9、FD之間的數量 關系;如圖，在a ABC中，如果/ ACB不是直角，而 中的其它條件不變，請問，t成立？若成立，請證明；若不成立，請說明理山。五、旋轉例1正方形ABCD中，E為BC上的一點，F為CD上的一點，BE+DF=EF ,求/ EAF的度數例2 D為等腰Rt ABC斜邊AB的中點，DM ± DN,DM,DN(1 )當MDN繞點D轉動時，求證DE=DF。(2)若AB=2,求四邊形DECF的面積。分別交BC,CA于點E,F。例3如圖，ABC是邊長為3的等邊三角形,BDC是等腰三角形，且BDC120。,以D為頂點做一個60。角，使其兩邊分別交AB于點M,交AC于點N,連接MN,貝ij

10、 AMN的周長為AD應用: 1、已知四邊形 ABCD 中，AB AD , BC CD , AB BC , / ABC 120°,ZMBN60。，/MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD, DC （或它們的延長線）于E,F.當Z MBN繞B點旋轉到AE CF時（如圖1）,易證AE CF EF .當ZMBN繞B點旋轉到AECF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成 立？若成立，請給予證明；若不成立，線段 AE, CF , EF又有怎樣的數量關系？請寫出 你的猜想，不需證明.（圖1）（圖2）（圖3）2、(西城09年一模)已知：PA=2,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩

11、點落在直線AB的兩側.(1)如圖，當/APB=45°時，求AB及PD的長；(2)當/APB變化，且其它條件不變時，求PD的最大值,及相應/ APB的大小.3、在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點MDN 60 , BDC120 ,BD=DC. 探究：當 M、BM NC、MN之間的數量關系及AMN的周長Q與等邊DDM、N, D為VABC外一點，且N分別在直線AB、AC上移動時，ABC的周長L的關系.C圖1圖2圖3（I）如圖1,當點M、N邊AB、AC上，且DM=DN時，BM、NC、MN之間的數Q量關系是；此時一；L（II ）如圖2,點M、N邊AB、AC上，且當DM DN時，猜想

12、（I）問的兩個結論 還成立嗎? 寫出你的猜想并加以證明；（III）如圖3,當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=X,貝UQ= （用X、L表示）.參考答案與提示一、倍長中線（線段）造全等例1、（“希望杯”試題）已知，如圖 ABC中，AB=5, AC=3,則中線AD的取值范圍是解：延長AD至E使AE=2AD,連BE,由三角形性質知AB-BE <2AD<AB+BE 故 AD 的取值范圍是 1 <AD<4例2、如圖， ABC中，E、F分別在AB、AC上，DE ± DF , D是中點，試比較BE+CF 與EF的大小.解：（倍長中線，等腰三角形“三線合一”法）延

13、長FD至G使FG= 2EF,連BG , EG, 顯然BG=FC,在ZxEFG中，注意到DE_LDF,由等腰三角形的三線合一知EG 二 EF 在Zs BEG中，由三角形性質知EG<BG+BE故：EFvBE+FC例3、如圖， ABC中，BD=DC=AC , E是DC的中點，求證：AD平分/ BAE.解：延長AE至G使AG=2AE,連BG , DG,顯然 DG = AC ,/ GDC= / ACD由于 DC=AC,故 / ADC=/ DAC在么ADB與Zx ADG中，BD = AC=DG , AD = AD ,/ ADB= /ADC+ / ACD= / ADC+ / GDC =Z ADG故Zx

14、 ADB ADG,故有/ BAD=/ DAG,即 AD 平分/ BAE應用:1、(09崇文二模)以的兩邊AB、AC為腰分別向外作等ABC腰RtABD和等腰RtACE, bad CAE 9。連接DE, M、N分別是BC、DE的中點探究：AM與DE的位置關系及數量關系.(1)如圖當ABC為直角三角形時，AM與DE的位置關系是線段AM與DE的數量關系是；將圖中的等腰RtABD繞點A沿逆時針方向旋轉(0vv90)后，如圖所示,(1 )問中得到的兩個結論是否發生改變？并說明理由.解：（1 ） ED 2AM , AM ED ；證明：延長AM到G,使MGAM,連BG,貝UABGC是平行四邊形ACBG, AB

15、G BAC 180 又 DAEBAC180 ABG DAE再證：DAE ABG DE 2AM , BAG EDA延長MN交DE于H/ BAGDAH 90 HDADAH 90AM ED(2)結論仍然成立.證明：如圖，延長CA至F,使ACFA, FA交DE于點P,并連接BFDA BA, EA AF BAF 90 DAF EAD在FAB和 EAD中FA AEBAF EADBA DA FAB EAD (SAS ) BF DE, F AEN FPDFAPEAEN90 FB DE 又 CA AF, CMMB AM/FB,且 AM1 FB2 AM DE , AM -DE2二、截長補短1、如圖，ABC中，AB

16、=2AC , AD平分BAC,且AD=BD,求證：CD ± AC解：(截長法)在AB上取中點F,連FD ADB是等腰三角形，F是底AB中點，由三線合一知DF± AB,故/ AFD = 90 0 ADF ©A ADC (SAS )/ ACD =ZAFD 二 90o 即：CD ± AC解：(截長法)在AB上取點 ADE ©A AFE (SAS )2、如圖，AD / BC, EA,EBF,使 AF = AD,連FE分別平分/ DAB, / CBA, CD過點E,求證;AB =AD+BC/ADE =Z AFE,/ ADE+/ BCE = 180

17、76;/ AFE+/ BFE = 180 0故/ ECB =Z EFB FBE CBE (AAS )故有 BF = BC 從而;AB = AD+BC0c3、如圖，已知在 ABC內，BAC 60 ,C40°, P, Q分別在BC, CA±,并且AP,BQ分別是BAC, ABC的角平分 求證：BQ+AQ=AB+B巳j解：(補短法，計算數值法)延裂°AB至D,使BD二BP,連DP在等腰a BPD 中，可得/ BDP = 40/ ；從而/ BDP = 40。=Z ACP/ ADP ACP ( ASA)故p IAD = AC又/ QBC = 40 ° =Z QCB

18、 故 BQ = QC、BD 二 BPC從而 BQ+AQ=AB+BP4、如圖，在四邊形ABCD中，BC> BA,AD=CD, BD平分ABC ,求證： A C 180°解：(補短法)延長BA至F,使BF=BC,連FD BDF ©A BDC ( SAS )故/ DFB =Z DCB ,FD = DC又 AD 二 CD故在等腰Zx BFD中/ DFB =Z DAF故有/ BAD+/ BCD = 1805、如圖在Zx ABC中，AB > AC, / 1 =Z 2 , P為AD上任意一點，求證;AB-AC > PB-PC解：(補短法)延長AC至F,使AF=AB,連P

19、D ABP OA AFP (SAS )故 BP= PF由三角形性質知PB PC - PF PC v CF = AF AC = AB AC應用:如虱在四邊Jg AlfCO中*仞/7骯'點遐是曲上一個誦點，若AB«CBC, FI!-j BC的關系并證明你的結口念.分析：此題連接AC,把梯形的問題轉化成等邊三角形的問題，然后 利用已知條件和等邊三角形的性質通過證明三角形全等解決它們的問 題。解:有 BC AD AE連接AC,過E作EF BC并AC于F點則可證AEF為等邊三角形即 AE EF, AEFAFE 60 CFE 120又 AD/BC, B60BAD 120又 DEC 60

20、AED FEC在ADE與FCE中EAD CFE , AEEF, AED FEC ADE FCE AD FC BC AD AE點評：此題的解法比較新穎，把梯形的問題轉化成等邊三角形的問 題，然后利用全等三角 形的性質解決。、平移變換例1 AD為4 ABC的角平分線，直線MN _L AD于A.E為MN上 一點， ABC周長記為Pa, EBC周長記為Pb.求證Pb > Fa.解：(鏡面反射法)延長BA至F,使AF二AC,連FEAD ABC的角平分線,MN ± AD知/ FAE =Z CAE故有 FAE ©A CAE ( SAS )故 EF 二 CE在Zx BEF 中有：BE

21、+EF>BF=BA+AF=BA+AC從而 Pb=BE+CE+BC>BF+BC=BA+AC+BC=例2如圖，在a ABC的邊上取兩點D、E,且BD=CE,求證: AB+AC>AD+AE.證明：取BC中點M,連AM并延長至N,使MN=AM,連 BN,DN. BD=CE, DM=EM,A DMN EMA(SAS), DN=AE,同理BN=CA.延長 ND 交 AB 于 P,貝 U BN+BP>PN,DP+PA>AD,相加得 BN+BP+DP+PA>PN+AD,各減去 DP得 BN+AB>DN+AD,AB+AC>AD+AE 。四、借助角平分線造全等1、如

22、圖，已知在Zx ABC中，/ B=60 0OE=OD , DC+AE =AC證明（角平分線在三種添輔助線則/ BAC+/ BCA=120 度；AD,CE均為角平分線，貝 U/ OAC+ / OCA=60 度=/ AOE= / COD;/ AOC=120 度.在AC上截取線段AF=AE,連接OF.又 AO=AO; / OAE= / OAF.則/ OAE OAF(SAS),OE=OF;AE=AF;/ AOF= / AOE=60 度.貝 U/ COF= / AOC- / AOF=60 度=/ COD;又 CO=CO; / OCD= / OCF.故/ OCD 也 A OCF(SAS),OD=OF;CD

23、=CF.OE=ODDC+AE=CF+AF=AC.2、如圖， ABC 中，AD 平分/ BAG, DG _L BC 且平分 BC , DE _L AB 于 E ,(1 )說明BE=CF的理由；如果AB=a, AC=b,求AE、BE的長.解：(垂直平分線聯結線段兩端)連接BD, DCDG垂直平分BC,故BD二DC由于 AD 平分/ BAG, DE LAB于 E, DF±AC F,故有ED 二 DF故 RT DBE 也 RT DFC ( HL)故有BE=CFoAB+AC = 2AEAE=( a+b) /2BE=(a-b)/2應用:1、如圖，OP是/ MON的平分線，請你利用該圖形畫一對以0

24、P所在直線為對稱軸的全等三角形。請你參考這個作全等三角形的方法，解答下列問題：（1）如圖，在 ABC 中，/ ACB 是直角，/ B=60 0 , AD、CE 分別是/ BAC、/ BCA 的平分線，AD、CE相交于點F。請你判斷并寫出FE與FD之間的數量 關系；（2）如圖，在a ABC中，如果/ ACB不是直角，而（1）中的其它條件不變，請問，（第23題圖）解：（1） FE與FD之間的數量關系為FE FD（2）答：（1 ）中的結論FEFD仍然成立。證法一：如圖1,在AC上截取AGAE,連結FG12, AF為公共邊,AEF AGFAFE AFG , FE FGBC于點H圖2BCA的平分線/B6

25、0, AD、CE 分別是 BAC、 23 60 AFE CFD AFG 60CFG 60 34及FC為公共邊CFG CFDFG FDFE FD正法二：如圖2,過點F分別作FG AB于點G, FH/B60, AD、CE分別是BAC、BCA的平分線可得23 60, F是ABC的內心GEF60 1, FH FG又 HDFB 1GEFHDF可證EGF DHFFE FD五、旋轉例1正方形ABCD中，E為BC上的一點，F為CD上的一點，BE+DF=EF ,求/ EAF的度數證明：將三角形ADF繞點A順時針旋轉90度，至三角形ABG貝 U GE=GB+BE=DF+BE=EF又 AE=AE , AF=AG ,

26、所以三角形AEF全等于AEG所以/ EAF=/ GAE=/ BAE+/ GAB= / BAE+/ DAF又/ EAF+ / BAE+ / DAF=90所以/ EAF=45度例2 D為等腰Rt ABC斜邊AB的中點，DM ± DN,DM,DN分別交BC,CA于點E,F。（D當MDN繞點D轉動時，求證DE=DF。若AB=2,求四邊形DECF的面積。解：（計算數值法）（1）連接DC,D為等腰Rt ABC斜邊AB的中點，故有CD±AB, CD=DACD 平分 / BCA = 90°, / ECD =Z DCA = 45 °由于 DM± DN,有/ ED

27、N = 90 °由于 CD± AB,有/ CDA = 90 0從而/ CDE =Z FDA =故有 CDE ©A ADF （ASA ）故有 DE=DF（2）Sa ABC =2, S 四 DECF= S ACD =1例3如圖，ABC是邊長為3的等邊三角形，BDC是等腰三角形，且BDC120。，以D為頂點做一個60。角，使其兩邊分別交AB于點M,交AC于點N,連接MN,則AMN的周長為解：（圖形補全法，“截長法”或“補短法”，計算數值法）AC的延長線與BD的延長線交于點F,在線段CF上取點E,使CE二BMBDC=120 0/ ABC為等邊三角形， BCD為等腰三角形，

28、且/ / MBD= / MBC+ / DBC=60 0 +30 0 =90 0 , / DCE=180 ° -/ ACD=180 0 - / ABD=90 0 , 又BM=CE , BD=CD , CDE ©A BDM ,/ CDE=/ BDM , DE=DM ,-60 0 =60 0NDE=/ NDC+/ CDE=/ NDC+/ BDM= / BDC-/ MDN=120 0在 DMN 和Zx DEN 中，DM=DE/ MDN= / EDN=60 °DN=DN DMN ©A DEN , MN=NE在 DMA和Zx DEF中,DM=DE/ MDA=6 0

29、0 -/ MDB=6 0 0 -/ CDE= / EDF （/ CDE= / BDM）/ DAM= / DFE=3 0 0 DMN ©A DEN （AAS）, MA=FEAMN 的周長為 AN+MN+AM=AN+NE+EF=AF=6應用：1、已知四邊形 ABCD 中，AB AD , BC CD , AB BC , Z ABC 120°,Z MBN 60°, Z MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD, DC （或它們的延長線）于 E, F.當Z MBN繞B點旋轉到AE CF時（如圖1）,易證AE CF EF .當ZMBN繞B點旋轉到AE CF時，在圖2和圖3這兩種情

30、況下，上述結論是否成立？若成 立，請給予證明；若不成立，線段AE, CF, EF又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證 明.（圖1）（圖2）（圖3）解：(1) ABAD, BCCD, AB BC, AE CFABECBFABECBF(SAS)； ,BEBFABCABE120, CBFMBN60BEF為等邊三角形BE EF BFCFAE-BE2AE CF BEEF(2)圖2成立，圖3不成立。證明圖2,延長DC至點K,使CKAE,連接BK則BAE BCK落在直線AB的兩側. BE BK , FBE 60 ,ABEABCFBCABE60FBCKBC60KBFFBE60KBFEBFKBC120KF

31、EFKCCF即 AE CF圖3不成EFEFAECF、EF的關系是AECF EF2、(西城09年一模)已知:PA= 2,PB=4,以AB為一邊作正方形ABCD,使P、D兩點(1)如圖，當/APB=45°時，求AB及PD的長；(2)當/APB變化，且其它條件不變時，求PD的最大值,及相應/ APB的大小.分析：(1)作輔助線，過點A作AEPB于點E,在RtPAE中，已 知APE, AP的值，根據三角函數可將AE, PE的值求出，由PB 的值，可求BE的值，在Rt ABE中，根據勾股定理 可將AB的值求 出；求PD的值有兩種解法，解法一：可將PAD繞點A順時針旋轉90 得到PAB,可得PA

32、D PAB,求PD長即為求PB的長，在RtAPP中，可將PP的值求出，在RtPPB中，根據勾股定理 可將PB 的值求出；解法二：過點P作AB的平行線，與DA的延長線交于F,交PB于G,在Rt AEG中，可 求出AG, EG的長，進而可知PG的值，在RtPFG中，可求出PF,在RtPDF中，根據勾股定理可將PD的值求出;(2)將PAD繞點A順時針旋轉90,得到PAB,PD的最大值即為PB的最大值,故當P、P、B三點共線時，PB取得最大值，根據時PBPPPB可求PB的最大值，此APB 180 APP 135.解：(1 )如圖，作AEPB于點E/ Rt PAE 中,APB 45 , PA .,2 A

33、E PE/ PB4 BE PB PE 3在Rt ABE中,AEB90AB .AE2 BE2,10解法一：如圖,因為四邊形ABCD為正方形,可將將至ij PAB,可得 PAD PAB, PD P B, PAPAPAP 90, APP 45, P PB90PD P B.PP 2PB2 .2242解法二：如圖，過點P作AB的平行線,與DAPAD繞點A順時針旋轉90得的延長線交于PB 于 G.在RtAEG也可得AGAEAE10COS EAGCOS ABE5 EG,PG PE3兩側V10PFG 中,在Rt可得PFABE5PAD繞點A順時針旋轉90，得到PAB,PDPG cos FPG PG cos(2)

34、如圖所示，將 的最大值PP B 也 PB PP PB, PP、2PA2EG-FG2x5PD的最大值，即為PB,PB 4且P、D兩點落在直線AB的PBDPB此時PBPPPB 6,即PB的最大值為6此時 APB 180 APP 1353、在等邊ABC的兩邊AB、AC所在直線上分別有兩點M、N, D為VABC外一點，且MDN60,BDC120,BD=DC.探究：當M、N分別在直線AB、AC上移動時,BM、NC、MN之間的數量關系及AMN的周長Q與等邊ABC的周長L的關系.圖1如圖1,量關系是一圖2當點M、N邊AB、AC上, ;此時且 DM=DN 時，BM、圖3NC、MN之間的數Q(II)如圖2,點M、N邊AB、AC上，且當DM DN時, 你的猜想并加以證明；猜想(I)問的兩個結論 還成立嗎？寫出(III)示).分析如圖3,當M、N分別在邊AB、CA的延長線上時，若AN=X,貝UQ=(用X、L表：(1 )如果DM DN,DMNDNM ，因為BDDC ,那么DBG中因為DCBBD30,也就有MBDDC, DM DN,根據NCD 60HL定理,3090,直角三角形兩三角形全等。那么MBD、NCDBM NC,BMDDNCDMDN60,三角形NCD中,MDN 60,因此三NDC 30 , DN 2NC,在三角形 DNM 中,:角形DMN是個等邊三角形，